Как найти предел знакочередующейся последовательности?

Пример 13

Найти предел последовательности

Решение: на первом шаге следует найти предел последовательности , которая составлена из модулей членов. Знак модуля уничтожает возможный минус, поэтому чтобы получить , нужно попросту убрать множитель, обеспечивающий знакочередование. Чаще всего это «мигалка»:

Теперь как ни в чём не бывало, вымучиваем наш обычный предел:

Получено конечное число. Очевидно, что знакочередование не поменяет сути – члены последовательности будут «прыгать» вокруг своего предела, бесконечно близко приближаясь к нему.

Ситуация принципиально такая же, как, например, у более простых последовательностей .

Ответ: так как последовательность является знакочередующейся и , то .

Если в ходе исследования знакочередующейся последовательности получен бесконечный результат (или если предела нет), то у последовательности предела не существует вообще. Такой инцидент напоминает историю с .

Решения и ответы:

Пример 2: Решение:

Используем формулу суммы первых членов арифметической прогрессии .
В данном случае

Пример 4: Решение:

Пример 6: Решение:

Пример 8: Решение:

Пример 10: Решение: последовательность – ограничена: , а последовательность , значит, по соответствующей теореме:

Пример 12: Решение:

Заменим бесконечно малую эквивалентной: при .
В данном примере .

Предел функции

?12.2. Вычислите предел функции в точке:

а) = === = =16-20+4=0

=[0/0] = =

= =

Замечательные пределы

1. Первый замечательный предел

2. Второй замечательный предел

3. Третий замечательный предел

4. Четвертый замечательный предел

Здесь вводится новая показательная функция с основанием e, чаще всего называемая экспонентой.

Непрерывность функции в точке и на интервале

Введем несколько определений непрерывной функции в точке.

Определение 1. Функция называется непрерывной в точке , если предел этой функции при х ,стремящемся к а, равен значению функции в этой точке, то есть f(a).

Определение 2. Функция непрерывна в точке , если

Поскольку оба определения предела функции эквивалентны, эти два определения непрерывной функции также следуют одно из другого.

Определение 3. Предел приращения функции стремится к нулю при стремлении к нулю приращения ее аргумента. Пусть приращение аргумента ▲x, то есть число, на которое изменилось значение аргумента . Приращение может быть как положительным, так и отрицательным. Обозначим приращение функции ▲y, то есть ее изменение в результате приращения аргумента.

2.6. Вычислите предел функции с помощью замечательных пределов:

а)