Принцип сжатой переменной или принцип двух полицейских.
Если 
, причём 
. Тогда существует 
.
Неравенство Бернулли 
(1)
Докажем методом математической индукции.
1. База индукции. При n =1 имеем равенство. Неинтересно
Неравенство Бернулли верно при n =2.
2. Индукционное предположение. Предположим, что неравенство (1) верно при n = k , то есть 
3. Докажем справедливость неравенства (1) при n = k +1.
Лч( k +1)= 
чтд.
Число е
е≈ 2,7182818284 е≈ 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 662 50
Утверждение. Рассмотрим последовательность 
Эта последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху.
Доказательство. Докажем монотонность, то есть, что последующий член больше предыдущего.
Итак х n +1 > xn , то есть последовательность монотонно возрастает.
Докажем ,что последовательность ограничена сверху
Так как последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху, то существует её предел, который назвали числом е, то есть
=е≈ 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 662 50
Также 
Это уже предел функции. Сделаем замену 
.Получаем 
Вычислим 
Предел функции.
Определение предела по Коши и Гейне
Пусть функция f(x) определена на некотором открытом интервале X,
содержащем точку x=a.
(При этом не требуется, чтобы значение f(a) было обязательно
определено.) Число A называется пределом функции f(x) при x→a предел функции
обозначают так
 = А, если для каждого ε>0 существует такое
число δ>0, что при условии0<|x−a|<δ следует |f(x)−A|<ε. Данное
определение предела известно как ε−δ− определение или определение
по Коши Коши. Существует также определение предела функции по Гейне, согласно которому
функция f(x)
имеет предел A в точке x=a, если для каждой последовательности {xn},
сходящейся к точке a, последовательность f(xn) сходится к A.
Определения предела функции по Коши и Гейне эквивалентны.
Число A называют пределом функции f (x) при x,
стремящемся к числу a,
если для любого положительного числа ε найдется
такое положительное число δ , что при всех  , удовлетворяющих
неравенству| x – a | < δ ,будет выполняться неравенство| f (x) – A | < ε .
Предел функции обозначают так
|
Односторонние пределы
Символом 
обозначается левосторонний предел, в котором переменная x, приближаясь к a, принимает
значения x<a. Соответствующий предел 
называется
левосторонним пределом функции f(x) в точке x=a.
Аналогично, символом 
обозначается правосторонний предел, в котором переменная x, приближаясь к a, принимает значения x>a. Соответствующий предел называется правосторонним пределом функции f(x) в точке x=a.
Отметим, что двусторонний предел существует тогда и только тогда, когда существуют оба односторонних предела, которые равны друг другу,
Свойства пределов функций
Если у функций f (x) и g (x) при x , стремящемся к a , существуют
пределы
и 
,
где A и B – некоторые числа, то при x , стремящемся к a , существуют также и пределы суммы, разности и произведения этих функций, причем
| 
|
|
| 
|
|
| 
|
Если, кроме того, выполнено условие
то при x , стремящемся к a , существует предел дроби
причем
|
| 
|
Для любой непрерывной функции F (x) справедливо равенство
|
| 
|
Дата добавления: 2021-11-30; просмотров: 70; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!