Канонические уравнения прямой
Лекция №2 от 13.09.21
Итак, начнем.
Что такое аберрации оптической системы и как они проявляются?
АБЕРРА́ЦИИ ОПТИ́ЧЕСКИХ СИСТЕ́М (от лат. aberratio – уклонение), искажения изображений, создаваемых оптич. системами. Проявляются в том, что оптич. изображения не вполне отчётливы, неточно соответствуют объектам или оказываются окрашенными.
Аберра́ция оптической системы — ошибка или погрешность изображения в оптической системе, вызываемая отклонением луча от того направления, по которому он должен был бы идти в идеальной оптической системе. Аберрацию характеризуют различного вида нарушения гомоцентричности в структуре пучков лучей, выходящих из оптической системы.
Аберрации – это погрешности изображения, образуемого оптической системой. Проявляются они в том, что оптические изображения точек не вполне отчетливы, представляют собой размытые точки.
Можно ли полностью устранить аберрации в оптической системе?
Как было показано Максвеллом [1-4], в общем случае не существует идеальных оптических систем, дающих стигматическое изображение некоторого объекта и, следовательно, оптический прибор дает в какой-то мере размытое изображение точек, то есть обладает неустранимыми аберрациями. Причем величина аберраций зависит как от внешних характеристик оптической системы, так и от внутреннего строения и сложности самой системы (число поверхностей и их расположение, наличие асферических поверхностей, используемые марки стекла и т.п.).
|
|
|
Можно ли записать в явном аналитическом виде зависимость аберраций от конструктивных параметров оптической системы?
Следует отметить, что природа аберраций такова, что не существует практически полезной явной аналитической зависимости реальных аберраций от конструктивных параметров системы, а само вычисление аберраций представляет собой длительный и трудоемкий процесс расчета хода луча.
Поэтому для приближенного описания аберраций оптических систем используют разложение этой сложной функции в полиномиальный ряд, в который входят только члены ряда нечетных порядков. И для первых членов третьего порядка найдены точные аналитические зависимости, приближенно описывающие аберрации ОС. Указанный подход приближенного описания аберраций называется теорией аберраций 3 порядка, который мы будем осваивать в этом семестре.
Какие основные этапы проектирования ОС можно выделить?
В чем заключается трудоемкость разработки оптических систем?
Трудоемкость разработки сложных ОС заключается в том, что до настоящего времени расчет ОС во многом остается «искусством», зависящим от опыта и интуиции разработчика, а не точной инженерной дисциплиной, строго и однозначно алгоритмизирующей процесс проектирования. Поэтому требуются высококвалифицированные специалисты с достаточно большим опытом работы в области проектирования новых ОС, а разработка сложных ОС требует иногда многих месяцев напряженной работы.
|
|
|
Роль теории аберраций 3 порядка?
Именно теория аберраций третьих порядков была разработана для построения (синтеза) оптических систем по требованиям технического задания.
Итак, переходим к первому разделу теории аберраций: аберрации монохроматических лучей.
И первый параграф: Гауссова теория изображения и эйконалы.
Теория аберраций оптических систем, наряду с гауссовой теорией изображения, лежит в основе всех методов расчета оптических систем. Теория аберраций может быть разработана на основании особой теории (нам надо найти соответствие …) соответствия между двумя совокупностями прямых (лучей), одна из которых находится в пространстве предметов, а вторая – в пространстве изображения. Эти соответствия устанавливаются при помощи функций, которые называются эйконалами и которые определяют свойства изображений. Они выражают оптические расстояния между специальным образом выбранными точками. Напомним, что оптическим путем между двумя точками А и В называется сумма произведений показателей преломления на отрезки, отсчитываемые вдоль пути луча, соединяющие точки А и В.
|
|
|
L = 
В качестве параметров, определяющих луч, обычно используют направляющие косинусы μ, ν, λ, падающего и μ’, ν’, λ’ преломленного лучей.
Надо учитывать, что направляющие косинусы лучей подчиняются следующим соотношениям
μ 2 + ν2 + λ2 = 1
μ’ 2 + ν’2 + λ’2 = 1 (2.1)
Направляющие косинусы вектора – это косинусы углов, которые вектор образует с положительными полуосями координат.
Y X
Z
Вспомним, какими уравнениями можно описывать прямую в пространстве.
Канонические уравнения прямой
1. Если известна некоторая точка пространства 
, принадлежащая прямой, и направляющий вектор 
данной прямой, то канонические уравнения этой прямой выражаются формулами:
(2.2)
|
|
|
Приведённая запись предполагает, что координаты направляющего вектора 
не равны нулю.
Направляющий вектор прямой - это любой ненулевой вектор, лежащий на данной прямой или на параллельной ей прямой
Естественно, вместо координат р1, р2, р3 направляющего вектора можно использовать направляющие косинусы луча λ, μ , ν.
2. Если известны две точки пространства 
, то уравнения прямой, проходящей через данные точки, выражаются формулами:
(2.3)
3. Параметрические уравнения прямой в пространстве имеют вид ,
где x1, y1 и z1 – координаты некоторой точки прямой, ax, ay и az (ax, ay и az одновременно не равны нулю) - соответствующие координаты направляющего вектора прямой, а t - некоторый параметр, который может принимать любые действительные значения.
T вместо λ
При любом значении параметра t по параметрическим уравнениям прямой в пространстве мы можем вычислить тройку чисел 
, она будет соответствовать некоторой точке прямой (отсюда и название этого вида уравнений прямой).
Параметрические уравнения можно записать в каноническом виде
.
Для решения задачи о расчете аберраций особенно удобно использовать так называемый угловой эйконал, то есть оптический путь между точками Р и Р’- точками пересечения луча R - R’ с перпендикулярами к ним, опущенными из точек О и О', в которых плоскости предмета и изображения пересекают оптическую ось системы.
1 Итак, О и О’ – две сопряженные точки на оси системы в пространстве предметов и пространстве изображений.
2 RMM’R’ – луч.
3 Опустим из точек О и О’ перпендикуляры на лучи RM и M’R’. Получим точки Р и Р’.
Для установления зависимости углового эйконала от переменных
μ, ν, и μ’, ν’,
4 рассмотрим новый луч R1 , бесконечно близкий к лучу R и параллельный ему в пространстве предметов, т.е. луч R1 имеет те же направляющие косинусы μ, ν, но проходит через другую точку y + dy, z + dz плоскости YZ.
После преломления через ОС луч R’1 займет положение, определяемое направляющими косинусами
μ’ + dμ’, и ν’ + dν’.
В общем случае луч R’1 в пространстве изображений не будет параллельным лучу R’, и не будет пересекать его. Опустим из точек О и О’ перпендикуляры на лучи R1 и R1’. Получим точки Р1 и Р1’. Так
5 Найдем на обоих лучах R’ и R’1 две ближайшие точки N’ и N1' с координатами X’, Y’, Z’ и X’+d X’ и Y’+d Y’, Z’+dZ’ .
Снова обратимся к аналитической геометрии.
Кратчайшее расстояние между прямыми R’ и R’1 есть длина их общего перпендикуляра, в нашем случае это отрезок N’N1', то есть отрезок N’N1' пер
6 Введем функцию W, выражающую собой длину оптического пути между точками Р и Р’ в зависимости от значений μ , μ’, ν и ν’ .
Измененное для луча R ’1 значение той же функции W дает длину оптического пути между точкой Р1 (пересечение перпендикуляра ОР1, опущенного из начала координат О на луч R1) и точкой Р1’.
7 Два бесконечно близких параллельных луча R и R’ в пространстве предметов можно рассматривать как нормали к элементу плоской волны, находящейся в плоскости ОРР1; в таком случае
В пространстве изображений точки N’ и N1', лежащие на общем перпендикуляре N’N1' к лучам R’ и R’1, также принадлежат одному элементу плоскости волны.
8 Согласно теореме Малюса-Дюпина, система лучей, ортогональных поверхности волны в пространстве предметов, сохраняет свойство ортогональности по отношению к поверхности волны после всех преломлений и отражений при прохождении ее через оптическую систему.
Поэтому можно считать, что отрезки РР1 и N’N1' лежат на поверхности волны, проходящей через систему. В этом случае оптические длины между точками Р и N’, с одной стороны, и точками Р1 и N1', с другой, одинаковы. Поэтому приращение функции W определяется произведением n’на разность путей N1'P1’ и N’Р’.
9 Но расстояния N’Р’ и N1'P1’ равны проекциям радиус-векторов O’N’ и O1’N1’ на лучи R’ и R’1.
Снова возвращаемся к аналитической геометрии. По определению, скалярное произведение двух векторов равно, с одной стороны
1) Сумме произведений их координат
(a,b) = a1b1 + a2b2 + a3b3
А с другой стороны 2) скалярное произведение ненулевых векторов определяется как произведение длин этих векторов на косинус угла между ними, что равносильно следующему определению: скалярное произведение есть произведение длины проекции первого вектора на второй и длины второго вектора. И если длина второго вектора равна единице (его координаты равны его направляющим косинусам – единичный вектор), то скалярное произведение рано проекции первого вектора на единичный вектор.
10 Поэтому
O’N’ = (X’, Y’, Z’), так как координаты точки О равны (0,0,0), а точки N’- (X’, Y’, Z’). Направляющий вектор луча R’ равен (λ’, μ’, ν’). Поэтому
N’Р’ = λ’X’ + μ’Y’ + ν’Z’ (2.5) (СII.2)
11 И аналогично
N1’Р1’ = ( λ’ + dλ’)( X’+d X’) + (μ’ + dμ’)( Y’+d Y’) + (ν’ + dν’)(Z’+dZ’)/
(2.6) (CII.3)
12 Отсюда
N1’Р1’ - N’Р’ = λ’dX’ + μ’dY’ + ν’dZ’ + X’dλ’ + Y’dμ’ + Z’dν’.
При этом произведения второго порядка малости во внимание не принимаются.
В этой разности сумма трех первых членов равна нулю
λ’dX’ + μ’dY’ + ν’dZ’ = 0,
так как прямая N’N1’ перпендикулярна лучу R’ с направляющими косинусами (λ’, μ’, ν’).
13 Таким образом
dW = n’(X’dλ’ + Y’dμ’ + Z’dν’). (2.6) (CII.4)
dW = -n’(X’dλ’ + Y’dμ’ + Z’dν’)
14 В силу соотношения (2.1)
dλ’ = - (μ’dμ’ + ν’dν’)/ λ’
Следовательно
dW = n’(Y’ - X’μ’/ λ’) dμ’ + n’(Z’ – X’ν’/ λ’) dν’
15 откуда
dW/ dμ’ = n’(Y’ - X’μ’/ λ’)
dW/ dν’ = n’(Z’ - X’ ν’/ λ’) (2.7)
16 Рассмотрим геометрическое толкование этих двух уравнений. Точка N’ с координатами (X’, Y’, Z’) лежит на луче R’, поэтому каноническое уравнение луча можно записать в виде
(x’ – X’)/ λ’ = (y’ – Y’)/μ’ = (z’ - Z’)/ν’ (2.8)
При этом x’, y’, z’ – координаты произвольной точки луча R’. Луч пересекает плоскость изображения в точке L’ при
x’ = 0.
17 Отсюда из уравнения (2.8) сразу находим координаты точки L’ пересечения луча R’ с плоскостью изображения
y’ = Y’ - X’μ’/ λ’, z’ = Z’ - X’ ν’/ λ’,
что совпадает с правыми частями уравнений (2.7 Отсюда получаем
dW/dμ’ = - n’y’
dW/ dν’ = -n’z’ (2.9)
С помощью таких же рассуждений можно прийти к выводу, что
dW/dμ = ny
dW/ dν = nz (2.10)
Рассматривая ряд лучей, исходящих из одной и той же точки плоскости предмета, и вычисляя все производные dW/dμ’ и dW/ dν’, соответствующие этим лучам, можно получить ряд значений для точек пересечения этих лучей с плоскостью изображения.
Следует отметить, что только такой подход позволяет получать очень ценные при расчете сведения общего характера об аберрациях и построить аналитическую теорию аберраций, которая позволяет увязать аберрационные функции с конструктивными параметрами оптических систем.
В следующей лекции мы получим общий вид выражений для аберраций третьего порядка.
Дата добавления: 2021-11-30; просмотров: 18; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!