Групповое поступление требований в систему обслуживания. Описание неординарного входного потока в случае, когда моменты поступления групп требований образуют пуассоновский поток.
Преобразование Лапласа-Стилтьеса (ПЛС). Определение. Написать ПЛС неотрицательной случайной величины с экспоненциальной функцией распределения.
Ответ.
Определение. Пусть имеется неотрицательная случайная величина (СВ) ξ с функцией распределения (ФР)
F(x) = Pr{ ξ <x}.
Тогда ПЛС ФР F(x) называется интеграл вида
F*(s) = 
(1)
Экспоненциальная ФР СВ ξ с параметром λ имеет вид:
F(x) = Pr{ ξ <x} = 1- exp(-λx)
dF(x) = λexp(-λx)dx; Подставляя в формулу (1) и беря в указанных пределах интеграл, получаем: F*(s) = λ/(s+ λ)
Вопрос:
2.ПЛС. Формулы для расчета моментов распределения случайной величины с помощью ПЛС.
Ответ.
mn = (-1)n*dnF*(s)/dsn|s=0, где mn = 
В частности M[ξ] = -F*’(0); D[ξ] = -F*’’(0) – [F*(0)]2
Доп.. вопросы
1 Найти математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение и коэффициент вариации СВ с экспоненциальной ФР.
2 Найти характеристики (ПЛС и все, что в 1) распределения Эрланга порядка К
Указание. Сумма К случ. величин с экспоненц. распределением имеет распределение Эрланга порядка К
Вопрос:
Производящая функция (ПФ) распределения целочисленной неотрицательной случайной величины. Свойства ПФ.
Ответ.
Определение. Пусть ξ – неотрицательная целочисленная СВ, принимающая значения 0, 1, 2, …, n, … с вероятностями p0, p1, …
Тогда производящей функцией (ПФ) распределения СВ ξ называется
Pξ(z) = 
pnzn
Свойства ПФ:
1. Pξ(1) = 1
|
|
|
2. Mξ = P’ξ(z)|z=1
3. Dξ = P’’ξ(z) + P’ξ(z) – [P’ξ(z)]2|z=1
4. Если ξ = 
, где 
Pξ(z) = П 
i=1до n
В частности, если 
n
Вопрос:
ПФ суммы случайного числа независимых одинаково распределенных целочисленных неотрицательных случайных величин. Расчет двух первых моментов.
Ответ.
Еслиξ = 
,
где 
Pξ(z) = P 
(2)
Дифференцируя (2) нужное число раз, получаем:
Mξ = Mμ*M 
Dξ = Dμ*[M 
2 + D 
Вопрос:
5.Пуассоновский входной поток, его свойства. Вывод функции распределения интервалов между событиями пуассоновского потока.
Ответ.
Если входной поток событий обладает свойствами стационарности, ординарности и отсутствия последействия, то его называют пуассоновским потоком, так как распределение количества событий, поступивших в течение фиксированного интервала времени длины t имеет распределение Пуассона:
где a = λt, λ – интенсивность потока (среднее число событий в единицу времени).
Распределение не зависит от расположения интервала на оси времени (стационарность), от того, сколько событий произошло до начала интервала (отсутствие последействия), и вероятность появления более одного события за малый интервал dt – величина более высокого порядка малости, чем dt, т.е.
|
|
|
Pm(dt) = o(dt) для m>1 (ординарность – 
= 0).
Легко показать, что распределение длительности интервалов (τ) между событиями пуассоновского потока – экспоненциальное:
Fτ(t) = Pr{τ<t} = 1 - P0(t) = 1 – exp(-λt), для t>0
Вопрос:
Групповое поступление требований в систему обслуживания. Описание неординарного входного потока в случае, когда моменты поступления групп требований образуют пуассоновский поток.
Ответ.
Пусть потокмоментов поступления в систему групп сообщений (моментов вызова) – пуассоновский с интенсивностью λ. Пусть числа сообщений на входе в каждый момент вызова i – одинаково распределенные случайные величины σi с известным математическим ожиданием M[σi] и дисперсией D[σi].
Обозначим ξ(t) – число сообщений, поступивших за время (0,t) и ν(t) – число моментов вызова за время (0,t). Тогда
ξ(t) = 
Используя свойство производящей функции суммы случайного числа независимых целочисленных СВ (см. Вопрос 4), имеем:
Pξ(t)[z] = Pν(t)[P 
(z)] (3).
Вычислив из пуассоновского распределения математическое ожидание и дисперсию моментов вызова за время (0,t), и зная M[σi] и D[σi], можно использовать следствия выражения (3):
|
|
|
M[ξ(t)] = M[ν(t)]*M[σi] = λt*M[σi]
D[ξ(t)] = D[ν(t)]*M[σi]2 + D[σi]* M[ν(t)] = λt*(M[σi]2 + D[σi])
Вопрос:
Дата добавления: 2023-02-21; просмотров: 68; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!