Основные гипотезы идеализации свойств материала и некоторые допущения, приводящие к линейности постановки задачи
Важным этапом постановки задачи расчёта динамики и прочности является идеализация свойств материала и характера деформирования конструкции, определяемого рядом гипотез и допущений.
Гипотеза сплошности предполагает, что материал сплошным образом, непрерывно, без пустот, заполняет весь объём элемента конструкции. Молекулярное строение при этом во внимание не принимается.
Гипотеза однородности предполагает, что свойства материала одинаковы во всех точках тела.
Гипотезы изотропности или характера анизотропности (например, ортотропности) определяют характер свойств материала конструкции по основным направлениям выбранной системы координат.
Гипотеза упругости материала предполагает способность тела восстанавливать свои первоначальные размеры и форму после снятия внешней нагрузки.
Гипотеза линейной зависимости между напряжениями и деформациями, называемая законом Гука, при трёхмерном напряжённом состоянии выражается следующими соотношениями (иногда носящими название физических соотношений):
.
Здесь 
и 
относительные деформации в направлении декартовых осей координат 
и 
,
и 
деформации сдвига в плоскостях 
и 
,
и 
нормальные напряжения в направлениях соответствующих осей,
и 
касательные напряжения в соответствующих плоскостях,
и 
- модуль упругости первого рода (модуль Юнга), модуль упругости второго рода (модуль сдвига) и коэффициент поперечной деформации (Пуассона).
|
|
|
Последние три характеристики материала связаны между собой соотношением
.
Соотношения закона Гука обеспечивают линейность постановки задачи.
При расчётах на прочность как правило используется принцип независимости действия сил, в соответствии с которым предполагается, что результат воздействия системы сил на конструкцию не зависит от порядка их приложения и может быть подсчитан сложением эффектов действия каждой отдельно приложенной силы. Считается, что достаточными обоснованиями этого принципа являются закон Гука и предположение о малости деформаций. Следует заметить, что использование этого принципа можно считать правильным лишь для системы однонаправленных сил. Силы, направленные по нормали друг к другу, должны своими проекциями, появляющимися за счёт деформаций объекта, входить в единые расчётные соотношения, не нарушая линейности уравнений равновесия или движения. Примером этого положения может служить, как это будет показано в дальнейшем, необходимость учёта центробежной силы при изгибе рабочих лопаток компрессора и турбины.
Перечисленные здесь гипотезы направлены на то, чтобы постановка задачи динамики и прочности элементов конструкции приводила по возможности к достаточно простым расчётным соотношениям и, в частности, к линейным дифференциальным уравнениям равновесия или движения с постоянными коэффициентами. Это далеко не всегда оказывается возможным. Так, при расчёте балок переменного сечения в уравнениях появляются переменные коэффициенты. В задачах динамики и прочности оболочек приходится иметь дело с дифференциальными уравнениями в частных производных. В этих случаях, как будет показано в последующих лекциях, приходится использовать некоторые приёмы перехода от уравнений в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям, а для решения уравнений с переменными коэффициентами пользоваться приближёнными методами.
|
|
|
Примечания и методические рекомендации
Суть гипотезы плоских сечений (гипотезы Бернулли) в современном её изложении состоит в том, что все плоские поперечные сечения балки остаются при её изгибе плоскими и нормальными к изогнутой оси.
Предпосылкой такого подхода послужила работа Мариотта (Е. Mariotte , Trailed u movement des eaux , Paris , 1686). Он полагал, что половина волокон изогнутой балки испытывает растяжение, а половина – сжатие. Отсюда он сделал вывод о том, что изогнутая ось расположена на половине высоты сечения. В 1705 году Яковом Бернулли в своём “мемуаре” ( Vtritable hypothese de laresistance det scilides , avec la demonstration de la courbure des corps , qui font resort , Geneva 1744) предположил, что сопротивление балки изгибу выражается моментом, пропорциональным кривизне изогнутой оси. Уравнение изогнутой оси получено Леонардом Эйлером ( Histoire de l , Academie , т.13, Btrlin , 1757).
|
|
|
Использование гипотезы плоских сечений даёт право считать, что при чистом изгибе нормальные напряжения в сечении изменяются линейно по мере удаления от оси и связаны с изгибающим моментом соотношением:
, ( 
)
где 
изгибающий момент в рассматриваемом сечении,
момент сопротивления сечения, выражающийся через момент инерции формулой:
,
где 
расстояние от нейтральной оси балки до заданной точки сечения по нормали к оси.
Гипотеза плоских сечений в сочетании с предположением о пропорциональности кривизны 
изогнутой оси балки изгибающему моменту и может быть приближённо выражена через перемещение 
, благодаря допущению о малости деформаций соотношением 
приводит к тому, что задача определения перемещений и напряжений при изгибе сводится к решению линейного дифференциального уравнения, называемого уравнением изогнутой оси:
|
|
|
,
и расчету напряжений по формуле ( ).
Аналогичную роль при построении расчётной модели оболочки играет гипотеза прямых нормалей, носящая название гипотезы Кирхгофа-Лява ( A . E . H . Love , A Treatise on the Mathematical Theorv of Elasticity , Cambridge , 1927).
При рассказе о законе Гука можно упомянуть, что впервые допущение о пропорциональности деформации действующей силе было высказано ещё Галилео Галлилеем ( Galileo Galilei , Discorsi e Dimonstrazioni matematiche , Leiden , 1638). Роберт Гук в 1678 году подтвердил это положение экспериментально ( Robert Hooke , De Potentia restitutiva , London , 1678).
Кроме того, закон Гука можно трактовать как ограничение первым членом представления напряжений в форме степенного ряда по деформациям.
Дата добавления: 2023-02-21; просмотров: 53; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!