Основное свойство направляющих косинусов
Правая и левая тройки векторов
Определение
Три некомпланарных вектора ,
и
, приведенных к общему началу, образуют так называемую связку трех векторов (или тройку векторов).
Тройка векторов называется упорядоченной, если четко сказано, какой вектор в ней идет первым, и так далее.
Тройка векторов ,
и
называется левой, если поворот от вектора
к вектору
, видимый с конца третьего вектора
, осуществляется по ходу часовой стрелки (рис. 1).
Тройка векторов ,
и
называется правой, если поворот от вектора
к вектору
, видимый с конца третьего вектора
, осуществляется против хода часовой стрелки (рис. 2).
Координаты вектора. Направляющие косинусы
Для решения задач с векторами необходимо определить вектор на плоскости или в пространстве, то есть дать информацию о его направлении и длине.
Координаты вектора
Пусть задана прямоугольная декартова система координат (ПДСК) и произвольный вектор
, начало которого совпадает с началом системы координат (рис. 1).
Определение
Координатами вектора называются проекции
и
данного вектора на оси
и
соответственно:
Величина называется абсциссой вектора
, а число
- егоординатой. То, что вектор
имеет координаты
и
, записывается следующим образом:
.
Пример
Запись означает, что вектор
имеет следующие координаты: абсцисса равна 5, ордината равна -2.
Сумма двух векторов, заданных координатами
|
|
Пусть заданы и
, тогда вектор
имеет координаты
(рис. 2).
Определение
Чтобы найти сумму двух векторов, заданных своими координатами, надо сложить их соответствующие координаты.
Пример
Задание. Заданы и
. Найти координаты вектора
Решение.
Умножение вектора на число
Если задан , то тогда вектор
имеет координаты
, здесь
- некоторое число (рис. 3).
Определение
Чтобы умножить вектор на число, надо каждую координату этого вектора умножить на заданное число.
Пример
Задание. Вектор . Найти координаты вектора
Решение.
Рассмотрим далее случай, когда начало вектора не совпадает с началом системы координат. Предположим, что в ПДСК заданы две точки и
. Тогда координаты вектора
находятся по формулам (рис. 4):
Определение
Чтобы найти координаты вектора, заданного координатами начала и конца, надо от координат конца отнять соответствующие координаты начала.
Пример
Задание. Найти координаты вектора , если
Решение.
Направляющие косинусы
Определение
Направляющими косинусами вектора называются косинусы углов, образованных вектором с положительными направлениями осей координат.
Направление вектора однозначно задается направляющими косинусами. Дляединичного вектора
|
|
Если в пространстве задан вектор , то его направляющие косинусы вычисляются по формулам:
Здесь ,
и
- углы, которые составляет вектор с положительными направлениями осей
,
и
соответственно.
Основное свойство направляющих косинусов
Определение
Сумма квадратов направляющих косинусов равна единице.
1
Если известны направляющие косинусы вектора , то его координаты могут быть найдены по формулам:
Аналогичные формулы имеют место и в трехмерном случае - если известны направляющие косинусы вектора , то его координаты могут быть найдены по формулам:
Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 2155; Мы поможем в написании вашей работы! |
![](/my/edugr4.jpg)
Мы поможем в написании ваших работ!