Градиентный метод в сочетании с методом наискорейшего спуска.

Понятие оптимизации. Основные задачи оптимизации в электроэнергетике. Степени свободы электроэнергетической системы. Допустимый и оптимальный режимы

Оптимизация – задача выявления оптимального процесса из числа прочих, сопоставляемых по критерию оптимальности.

В оптимизации можно выделить:

1. определение оптимальной стратегии развития энергосистем - сооружение или реконструкция систем электроэнергетики и отдельных объектов (выбор месторасположе­ния и мощности, установление сроков ввода в экс­плуатацию новых электростанций, подстанций и ЛЭП;

2. выбор наилучшей конфигурации электрических сетей;

3. распределение нагрузок между отдельными элек­тростанциями работающей или проектируемой системы;

4. выбор стратегии наилучшего использования ма­териальных ресурсов (видов топлива и т. д.);

Уравнения установившегося режима W (X,Y) = 0 связывают между собой параметры установившегося режима электроэнергетической системы. Обо­значим совокупность этих параметров вектор - столбцом Z=( Z1, Z2, ..., Zm).При расчете установившегося режима параметры режима Z делятся на заданные независимые Y и неизвестные зависимые X переменные. Число уравнений установившегося режима в системе W (X,Y) = 0 2n равно числу зависимых параметров режима X. Число т параметров режима Z, входящих в уравнение W (X,Y) = 0, больше 2n— числа этих уравнений. Такие системы уравнений называются недоопределеннымн. Избыток числа переменных по сравнению с числом уравнений физически означает, что электроэнергетическая система имеет т2n степеней свободы. Наличие степени свободы позволяет ре­гулировать режим. Например, пусть имеется система из двух станций и одного нагрузочного узла (см. рисунок).

Предположим, что уравнения установив­шегося режима имеют вид баланса мощностей для нагру­зочного узла, т. е. РГ1 + РГ2 + РН3 = 0; QГ1 + QГ2 + QН3 = 0.

Нагрузки РН3, QН3 заданы. Два уравнения баланса Р и Q содержат четыре переменные. Эти уравнения можно удовле­творить при различных сочетаниях РГ1и РГ2, QГ1и QГ2. Две из этих мощностей можно задавать произвольно в пределах между минимально и максимально возмож­ными их значениями. Остальные мощности будут определе­ны из условий баланса. В данном случае система имеет две степени свободы.

1.2 Понятие оптимизации. Основные задачи оптимизации в электроэнергетике. Степени свободы электроэнергетической системы. Допустимый и оптимальный режимы

Степени свободы определяются возможностью регули­рования Р и Q станций, наличием регулируемых трансфор­маторов, возможностью включения и отключения оборудо­вания и т. д. Именно наличие степеней свободы и определяет существование множества возможных режимов, удовлетво­ряющих заданной нагрузке потребителей. Среди режимов этого множества практический интерес представляют лишь допустимые режимы, при которых параметры режима оста­ются в допустимых пределах. Цель управления — среди допустимых режимов найти наиболее экономичный.

При оптимизации за счет наличия степеней свободы параметров режима, т. е. в ре­зультате возможности их изменения, выбираются такие зна­чения параметров режима, которые обеспечивают меньшие суммарные потери активной мощности в сети или меньший суммарный расход условного топли­ва.

Допустимый режим должен удовлетворять условиям на­дежности электроснабжения и качества электроэнергии. При расчетах допустимых режимов условия надежности электроснабжения и качества электроэнергии учитываются в виде ограничений-равенств и неравенств на контроли­руемые параметры режима.

Оптимальный режим — это такой из допустимых, при ко­тором обеспечивается минимум суммарного расхода условного топлива при заданной в каждый мо­мент времени нагрузке потребителей.

Наиболее часто решаются оптимизационные задачи трех видов:

Оптимизация режима энергосистем по Р тепловых элек­тростанций, или распределение активных мощностей между тепловыми станциями, позволяет найти активные мощности станций, соответствующие минимуму суммарного расхода условного топлива на тепловых электрических станциях с приближенным учетом потерь в сети при задан­ных нагрузках потребителей.

Оптимизация режима электрической сети приводит к уменьшению потерь активной мощности в результате оп­тимального выбора напряжений узлов, реактивной мощно­сти источников и коэффициентов трансформации регули­руемых трансформаторов и автотрансформаторов при учете технических ограничений.

Комплексная оптимизация режима позволяет находить оптимальные значения как активных мощностей станций, так и генерируемых реактивных мощностей, а также моду­лей и фаз напряжений в узлах сети при учете технических ограничений.

 

2 Применение метода множителей Лагранжа при решении задач оптимизации в электроэнергетике

Этот метод позволяет отыскать условный (относительный) экстремум непрерывной функции, являющейся максимумом или минимумом при выполне­нии дополнительных условий в форме равенств (урав­нений связи).

Метод множителей Лагранжа дает возможность най­ти такую систему уравнений, которой должен удовлетво­рять экстремум функции f (X1,..., Xm)на множестве N, определяемом системой уравнений gi (X)для i=1, 2, ..., т.

Для того чтобы найти точку экстремума, характери­зующуюся на множестве N неким вектором X, необхо­димо найти т чисел λ1,…, λm, которые вместе с векто­ром X удовлетворяли бы следующей системе (т+п) уравнений с (т+п) неизвестными: ; j = 1,…,n; =0; i = 1,…,m.

Эти уравнения получены как условия экстремума функции Лагранжа , где числа λ1,…, λm называются множителями Лагранжа.

Задача заключается в применении метода Лагранжа к определению наивыгоднейших режи­мов энергетических установок, в частности к нахожде­нию оптимального распределения нагрузки между не­сколькими агрегатами. Например, если котельная, имею­щая п котлов, должна выдать тепло в количестве Q, а расход топлива Вi на каждом i-м котле известен, то минимум суммарного расхода топлива устанавливается с помощью метода Лагранжа, позволяющего найти экстремальное значение целевой функции. Для этого, приравнивая нулю частные производные функции Лагранжа, находbv, что усло­вием относительного минимума суммарного расхода топ­лива будет одинаковость (idem) относительных приро­стов расхода топлива всех агрегатов, т. е. величин .

 

 

3.1 Оптимальное распределение перетоков мощности в замкнутых контурах электрической сети

Оптимизация распределения мощностей в замкнутом контуре - это частная задача оптимизации режима элек­трической сети. Будем считать, что в узлах сети заданы не­изменные токи, т. е. уравнения установившегося режима линейны. Если в узлах заданы неизменные мощности, то будем определять их по номинальному напряжению:   (1) , где ,  - заданные комплексные мощность и ток в каж­дом узле;  - номинальное напряжение сети.

При этом ток в ветви kj определяется следующим обра­зом: . (2)

При выполнении условий (1) или (2) уравнения установившегося режима остаются линейными, т. е. вместо заданных комплексных токов в узлах можно использовать комплексные мощности в узлах, а вместо токов в ветвях — мощности в ветвях.

Найдем распределение мощностей в сети на рис. 13.2, соответствующее наименьшим потерям активной мощности, при выполнении первого закона Кирхгофа для мощностей при условии (1). Иными словами, определим такие зна­чения мощностей в линиях , , , которые соответствуют минимуму потерь активной мощности в сети min ΔP при выполнении следующих ограничений-равенств первого закона Кирхгофа для узлов 2 и 3:  или для активных и реак­тивных мощностей:

;

                                   (3)             

;

Потери активной мощности в сети на рис. 13.2 с уче­том условия (2) равны .

Условие минимума потерь запишем так:

 (4)

3.2 Оптимальное распределение перетоков мощности в замкнутых контурах электрической сети

Потери мощности, записанные в таком виде — это целе­вая функция задачи оптимизации режима сети, условия (3)—это ограничения-равенства первого закона Кирх­гофа. Задача (3), (4) - одна из простейших форму­лировок задачи оптимизации режима электрической сети.

Система ограничений (3) содержит четыре уравнения и шесть неизвестных активных и реактивных потоков мощ­ности в ветвях P12, P13, P23, Q12, Q13, Q23. Она имеет беско­нечное множество решений. Можно задать любые значения, например, четырех потоков P13, Р23, Q13,Q23 и из (3) найти значения потоков P12, Q12, удовлетворяющие первому закону Кирхгофа. Параметры режима имеют две степени свободы. Изменяя параметры режима, можно найти такие их значения, при которых потери мощности ΔР в сети ми­нимальны.

Определим потоки мощности, соответствующие миниму­му потерь. Для этого выразим P13, Р23, Q13,Q23 из (3) через неизвестные потоки Р12, Q12 и заданные нагрузки в узлах:

                                           (5)

Подставим (5) в целевую функцию (4) и выразим потери через два неизвестных потока Р12 и Q12:

.

Получили целевую функцию, которая зависит только от двух неизвестных Р12 и Q12. При этом задача определения условного экстремума функции шести неизвестных сведена к отысканию безусловного экстремума функции двух пере­менных. Последний определяется из усло­вия равенства нулю частных производных от ΔР по Р12 и Q12:

 

Решив эти уравнения, получим следующие аналити­ческие выражения для оптимальных по­токов мощности Р12 и Q12.

 

4.1 Применение метода множителей Лагранжа для оптимизации перетоков мощности в электрической сети

Применение метода Лагранжа для решения задачи оп­тимального распределения потоков мощности в сети состоит в определении минимума функции Лагранжа, в которую входят потери активной мощности

 и уравнения пер­вого закона Кирхгофа (1):

;

                                                     

; каждое из которых умножа­ется на соответствующий множитель Лагранжа. Рассмот­рим задачу оптимизации режима сети на рис. 13.2, когда потоки реактивной мощности в линиях Qkj  равны нулю.

Равенство нулю потоков Q в линиях 12, 23, 31 означает, что в узлах 2 и 3 на рис. 13.2 имеет место полная компен­сация реактивной мощности. Необходимо определить  (2)

при выполнении двух ограничений равенств из (1)

.                           (3)

Функция Лагранжа

, где  и  - множители Лагранжа.

(4)
Задача на условный экстремум (2), (3) с тремя переменными P12, Р23 и Р13сведена к определению безуслов­ного экстремума (минимума) функции Лагранжа, которая зависит от пяти переменных; трех потоков мощно­сти и двух

4.2 Применение метода множителей Лагранжа для оптимизации перетоков мощности в электрической сети

множителей Лагранжа  и . Минимум функ­ции Лагранжа соответствует решению исходной задачи и определяется равенством нулю пяти частных производ­ных:

Для решения системы линейных алгебраических урав­нений (4) преобразуем ее первые три уравнения в урав­нение второго закона Кирхгофа, исключив из них множи­тели Лагранжа. В результате получим выражение:

.

Решая два последних уравнения системы (4) совместно с этим уравнением, получим

.

Отсюда .

 

5.1 Оптимизация распределения перетоков мощности сложной электрической сети

Оптимизация распределения мощностей в сложной сети при выполнении первого закона Кирхгофа приводит к рас­пределению потоков мощности в сети только с активным сопротивлением.

Рассмотрим самый простой случай, когда все потоки Q равны нулю. Потери активной мощно­сти в сети являются квадратичной формой потоков актив­ной мощности в линиях, которую можно записать следую­щим образом:   (1), где РВ — вектор - столбец потоков активных мощностей в ветвях, порядок которого равен числу ветвей т; индекс «т» означает транспонирование; RB — диагональная матри­ца активных сопротивлений ветвей порядка т, l-й элемент которой равен активному сопротивлению l-й ветви.

Для сети на рис. 13.2 потери мощности можно записать

в таком виде:

.

Первый закон Кирхгофа можно записать:  (2), где Р - вектор-столбец активных мощностей в узлах, по­рядок которого равен числу независимых узлов п; М — первая матрица инциденций, число строк которой равно п, а число столбцов — числу ветвей т. Для сети на рис. 13.2

 и первый закон Кирхгофа

Задача оптимизации  и   

 в матричном виде имеет вид: определить   (3) при выполнении условия (2). Это задача квадратичного программирования, так как целевая функция (1) - квадратичная форма, а ограни­чения (2) - система линейных алгебраических уравне­ний. Запишем функцию Лагранжа в матричном виде:

5.2 Оптимизация распределения перетоков мощности сложной электрической сети

, где  - вектор-столбец множителей Лагранжа.

Для нашей сети при потоках Q, равных нулю .

Минимум функции Лагранжа определяется системой уравнений:

Второе уравнение - это уравнение первого закона Кирхгофа для Р, совпадающие с (2). Первое уравнение можно рассматривать как закон Ома для каждой из ветвей сети, напряжения в узлах которой равны . Покажем, что эти уравнения эквивалентны уравнениям уз­ловых напряжений.

Для этого выразим из первого  и, подставив во второе и учитывая, что , по­лучим .

Последнее выражение перепишем так:   (4), где Gy — матрица активных собственных и взаимных проводимостей узлов. Примем, что напряжения узлов в сети с r равны множителям Лагранжа, умноженным на : .

Тогда (4) — это уравнение узловых напряжений в сети только с r, для которой Gy — матрица активных уз­ловых проводимостей, Р — вектор узловых мощностей,  — вектор узловых напряжений, деленный на .

Из всего этого следует, что задача оптими­зации потоков Р (3), (1) сводится к решению уз­ловых уравнений для сложной сети с активными сопротив­лениями.

Повторив подобный вывод выражений, можно получить аналогичный (4) результат для сложной сети, в кото­рой потоки Q не равны нулю.

 

 

6.1 Определение оптимального распределения нагрузки между ТЭС методом множителей Лагранжа. Относительные приросты ТЭС

Рассмотрим случай чисто тепловой энергосисте­мы и распределение активных нагрузок между ТЭС с учетом потерь активной мощности в электрической се­ти. Система содержит i=1, 2, ..., п тепловых электро­станций, для которых известны расходные характеристи­ки Bi(PГ,i)и суммарная нагрузка РΣ.

Запишем:

1. Целевую функцию .

2. Уравнение связи Bi(PГ,i).

3. Ограничения ,где  — суммарные потери активной мощности.

4. Функция Лагранжа .

Так как выражение во второй скобке равно нулю, то минимумы функции Лагранжа и целевой функции совпадают.

Дифференцируем функцию Лагранжа по переменным  и приравниваем производные к нулю, тогда

   Отсюда

Обозначим  — относительный прирост расхода топлива электростанции показывает, как изменится расход топлива i-й станции, если се нагрузка изменится на величину ,  – относитель­ный прирост потерь активной мощности в сетях, т. е. величина, показывающая, насколько изменятся потери в сетях, если мощность только i-й станции изменится на .

Применяя эти обозначения, получаем условия наивы­годнейшего распределения нагрузки: .

6.2 Определение оптимального распределения нагрузки между ТЭС методом множителей Лагранжа. Относительные приросты ТЭС

При выполнении этого условия минимум функции Лагранжа будет только в том случае, если  или  Этоозначает, что характеристики относительныхприростов электростанций должны быть монотонно возрастающими.

Энергетические харак­теристики электростанций и агрегатов чаще всего не удовлетворяют ука­занным требованиям. В этом случае они подле­жат «исправлению» по специальной методике.

При неучете потерь активной мощности, т. е. при π = 0, условие наивы­годнейшего распреде­ления нагрузки имеет вид: .

Запишем условия наивы­годнейшего распределения нагрузки в ко­ночных разностях и ум­ножим числители и знаменатель на ΔРг., т. е.

, где  – активная мощность, доведенная до потреби­теля.

При наивыгоднейшем распреде­лении нагрузки затраты топлива  на мощность  в месте ее потребления должны быть равными для всех электростанций.

 

7.1 Определение оптимального распределения нагрузки методом множителей Лагранжа. Структурная схема алгоритма

Рассмотрим случай чисто тепловой энергосисте­мы и распределение активных нагрузок между ТЭС с учетом потерь активной мощности в электрической се­ти. Система содержит i=1, 2, ..., п тепловых электро­станций, для которых известны расходные характеристи­ки Bi(PГ,i)и суммарная нагрузка РΣ. Запишем:

5. Целевую функцию .

6. Уравнение связи Bi (PГ,i).

7. Ограничения , где  - суммарные потери P.

8. Функция Лагранжа .

Так как выражение во второй скобке равно нулю, то минимумы функции Лагранжа и целевой функции совпадают.

Дифференцируем функцию Лагранжа по переменным  и приравниваем производные к нулю, тогда

   Отсюда

 - относительный прирост расхода топлива электростанции показывает, как изменится расход топлива i-й станции, если ее нагрузка изменится на величину ,  – относитель­ный прирост потерь Р в сетях, т. е. величина, показывающая, насколько изменятся потери в сетях, если мощность только i-й станции изменится на . Отсюда условия наивы­годнейшего распределения нагрузки: .

При выполнении этого условия минимум функции Лагранжа будет только в том случае, если  или  

Рассмотрим алгорит­м решения данной задачи.

Блоки 1—3.Находится произвольное распределение нагрузки между

7.2 Определение оптимального распределения нагрузки методом множителей Лагранжа. Структурная схема алгоритма

 электростанциями системы . При этом соблюдаются ограничения (блок 2) и баланс активной мощности (блок 5) без учета потерь в сетях.

Блок 4.Для мощностей X находятся относительные приросты bi. Поскольку режим станции задан произвольно, то bi≠idem.

Блок 5. Для известных мощностей X определяются относитель­ные приросты потерь активной мощности ей, что связано с расчетом режима электрической системы.

Блок 6.Изменением величины X достигается выполнение усло­вия оптимальности  с соблюдением ограничений по допустимой мощности станции.

Если нарушаются ограничения , то мощность соответствующей станции приравнивается граничному зна­чению и считается вынужденной. Оптимизация режима осуществ­ляется только для тех генераторных узлов, для которых соблюдают­ся ограничения.

Блок 7. Проверяется баланс мощностей системы. Если при  имеем , то находится новый относительный прирост системы . Если , то . В блоке 4 определяется новый режим активной мощности при . Расчеты выполняются до тех пор, пока не будет выполняться ограничения .

При выполнении этого ограничения и условия наивы­годнейшего распределения расчеты начинаются с бло­ка 5 исвязаны с уточнением  и последующих расчетов. Режим будет оптимальным, если  по условию наивы­годнейшего распределения, а усло­вие  выполняется.

8 Наивыгоднейшее распределение нагрузки между ТЭС без учета потерь активной мощности. Физический смысл равенства относительных приростов

Задача наивыгоднейшего распределения нагрузки без учета потерь активной мощности более характерна для распределения нагрузки между агрегатами электростанции, чем для энергосистемы. Однако для энергосистем с высокой степенью концентрации мощности такая постановка также возможна, так как неучет потерь мощности в сетях не приводит к большим погреш­ностям.

Поскольку π = 0, то и  = 0 и уравнение оптимизации имеет вид , т. е. b1 = b2 =…= bn. Оптимальный режим соответствует равенству относи­тельных приростов станций.

Условие  сохраняется для гидро­агрегатов, турбин и котлов ТЭС. Для группы параллель­но работающих агрегатов также необходимо получить равенство относительных приростов, и это даст минимум целевой функции.

Принцип равенства относительных приростов объяс­ним физически. Если относительные приросты двух работающих агрегатов, имеющих мощности Р1и Р2 и возрастающие характеристики , не равны, то лучший режим будет у агрегата 1 с меньшим относи­тельным приростом. Поскольку этот агрегат экономич­нее другого, то его нужно загрузить дополнительно на ΔР, соответственно на ΔР снизить нагрузку другого. При этом будет получена экономия. Но при загрузке агрега­та 1 на ΔР повышается его относительный прирост до , а у агрегата 2 он снижается до . Только при ра­венстве относительных приростов (нагрузки , ) дальнейшее перераспределение нагрузки не дает допол­нительной экономии и этот режим, следовательно, опти­мальный.

 

9.1 Определение оптимального распределение нагрузки в энергосистеме с ГЭС и ТЭС методом множителей Лагранжа

Для гидротепловой энергосистемы за­дача наивыгоднейшего распределения нагрузки делится на две различные задачи.

Первая – оптимизация длительных режимов системы. В этой задаче для всего цикла регулирования ГЭС на­ходится наивыгоднейшее распределение нагрузки между станциями системы и определяется режим использова­ния водноэнергетических ресурсов водохранилищ.

Вторая – оптимизация краткосрочных режимов, или наивыгоднейшее распределение нагрузки в смешанной системе для суточного или меньшего периода оптимиза­ции.

Распределение нагрузки при постоянстве напора ГЭС.

Пусть в системе имеется одна эквивалентная ТЭС и j ГЭС. Каждая ГЭС за период Т может израсходовать опред. кол-во энергоресурса. Задача –полу­чить наивыгоднейшее распределение нагрузки между станциями.

1. Уравнение цели: .

Расход топлива эквивалентной ТЭС Bt зависит от того, с какой мощностью она будет работать в каждом интервале времени t = l, 2, ..., k.

2. Уравнения связи – расходная энергетическая хар-ка эквивалентной ТЭС В(Ртэс) и расход­ные энергетические хар-ки каждой ГЭС Qj(Pj, Hj).

3. Уравнения ограничений. Для каждого интервала имеется балансо­вое уравнение мощностей: . Для каждой ГЭС задается ограничение по стоку: , где Pt = Pl, P2 ... - нагрузка си­стемы в интервале t = 1, 2, ..., k; РТЭС,t - мощность ТЭС;  - мощности ГЭС;  – потери P;  - заданные ог­раничения стока;  - расход ГЭС в каждом интервале дли­тельностью .

4. Уравнение оптимизации: , где  – относит. прирост расхода топлива ТЭС;  – относит, прирост расхода воды j-й ГЭС; , – относит, приросты потерь P при изменении мощностей ТЭС и ГЭС.

Функция Лагранжа: .

9.2 Определение оптимального распределение нагрузки в энергосистеме с ГЭС и ТЭС методом множителей Лагранжа

Неизвестными величинами будут мощности ТЭС и каждой j-й ГЭС в каждом t-м интервале вре­мени. Неизвестны также множители Лагранжа:  и . Общее число неизвестных jt+2t+j.Чтобы решить задачу, необходимо составить jt+2t+j уравнений. Если дифференцировать ф-ю Лагранжа по независ. переменным, получим jt+tур-ий. Частные производные от ф-и Лагранжа берутся по мощно­стям

При решении этих ур-ий м. определить jt+tнеизвестных. Балансовые ур-ия стока дают j ур-ий, а балансовые ур-ия мощности — t ур-ий. Т. о, число ур-ий достаточно для опре­деления неизвестных.

Производные по мощности ТЭС имеют вид:

(*)

Производные по мощности ГЭС дают уравнения: Отсюда получим:

Из этой системы и уравнений (*) получаем условия опти­мизации:

Индексы времени м. опустить и получим окончательный вид уравнения оптими­зации:                                                                                                                          

Это условие означает, что для наивы­годнейшего распред-ия нагрузки необходимо для все­го периода оптимизации соблюдать постоянное соотно­шение  между ТЭС и ГЭС. Между ТЭС и ГЭС α нагрузка должна распределяйся по соотношению  Аналогично для ГЭС β. Одновременно требуется выполнить . Величины  связывают режим ТЭС и соот­ветствующей ГЭС. ГЭС могут различаться своим напором и расходом, поэтому для каждой ГЭС имеется свой .

10.1 Размерность и физический смысл множителей Лагранжа в задачах оптимизации распределения нагрузки в энергосистеме

Рассмотрим систему, состоящую из одной ТЭС и одной ГЭС. Условие наивыгоднейшего распределения нагрузки в такой системе имеет вид: b = λq.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 

Известно, что , , тогда .

Будем рассматривать равные приращения мощности на электростанциях, т. е. , тогда .

Следовательно,  – мера эффективности использова­ния гидроресурсов в системе. Этот коэффициент показы­вает, какая экономия топлива будет получена на тепловой станции, если на ГЭС будет использован расход . Есте­ственно, что наивыгоднейшим будет такой режим, при кото­ром ресурсы каждой ГЭС бу­дут использованы с одинако­вой эффективностью в течение всего периода оптимизации. Таким образом, в течение все­го периода оптимизации наи­выгоднейшее распределение будет при  = idem.

Коэффициент λ связан с параметрами ГЭС, т. е. с ее расходом и напором, так как энергия расхода  зави­сит от напора ГЭС. Рассмотрим вначале его связь с рас­ходом при условии постоянства напора H = const. Пусть между станциями распределена нагрузка системы Р, причем . При таком распределении тепловая станция имеет расход топлива В1 (рис. 6-3), а относительный прирост расхода топлива в точке А ра­вен . Эффективность использова­ния стока .

Рассмотрим теперь такой баланс мощности, когда ГЭС работает с большей мощностью  т. е. . Естественно, при мощности  рас­ход воды возрастает и . Тепловая станция имеет расход В2 (точка Б) и относительный прирост . Видно, что b2 < b1 и λ2 < λ1. Отсюда эффективность использования гидроресур­сов в системе обратно пропорциональна расходу ГЭС. Действительно, если ГЭС работает с малыми расходом и мощностью, то в системе работают и неэкономичные тепловые станции. Каждый дополнительный кубометр воды ГЭС будет давать

10.2 Размерность и физический смысл множителей Лагранжа в задачах оптимизации распределения нагрузки в энергосистеме

экономию топлива за счет раз­грузки неэкономичного оборудования. Если же ГЭС работает с большими расходами и мощностью, то на тепловых станциях используется более экономичное обо­рудование, а следовательно, происходит уменьшение λ.

В данной задаче заданы ограничения стока ГЭС. Коэффициент λ должен соответствовать заданному стоку (рис. 6-4). Эта задача решается подбором.

Коэффициент λ прямо пропорционально связан с на­пором ГЭС. Действительно, если ГЭС работает с по­стоянной мощностью , а напоры ее Н1 и Н2 раз­личны, то при Н1 > Н2 Q1 < Q2 (рис. 6.5).

 

11.1 Опт. распред-ие нагрузки при постоянном напоре ГЭС и структурная схема алгоритма поиска данного распределения

Пусть в системе имеется одна эквивалентная ТЭС и j ГЭС. Каждая ГЭС за период Т может израсходовать опред. кол-во энергоресурса. Задача –полу­чить наивыгоднейшее распределение нагрузки между станциями.

5. Уравнение цели: .

Расход топлива эквивалентной ТЭС Bt зависит от того, с какой мощностью она будет работать в каждом интервале времени t = l, 2, ..., k.

6. Уравнения связи – расходная энергетическая хар-ка эквивалентной ТЭС В(Ртэс) и расход­ные энергетические хар-ки каждой ГЭС Qj(Pj, Hj).

7. Уравнения ограничений. Для каждого интервала имеется балансо­вое уравнение мощностей: . Для каждой ГЭС задается ограничение по стоку: , где Pt = Pl, P2 ... - нагрузка си­стемы в интервале t = 1, 2, ..., k; РТЭС,t - мощность ТЭС;  - мощности ГЭС;  – потери P;  - заданные ог­раничения стока;  - расход ГЭС в каждом интервале дли­тельностью .

8. Уравнение оптимизации: , где  – относит. прирост расхода топлива ТЭС;  – относит, прирост расхода воды j-й ГЭС; , – относит, приросты потерь P при изменении мощностей ТЭС и ГЭС.

Функция Лагранжа: .

Неизвестными величинами будут мощности ТЭС и каждой j-й ГЭС в каждом t-м интервале вре­мени. Неизвестны также множители Лагранжа:  и . Общее число неизвестных jt+2t+j.Чтобы решить задачу, необходимо составить jt+2t+j уравнений. Если дифференцировать ф-ю Лагранжа по независ. переменным, получим jt+tур-ий. Частные производные от ф-и Лагранжа берутся по мощно­стям

При решении этих ур-ий м. определить jt+tнеизвестных. Балансовые ур-ия стока дают j ур-ий, а балансовые ур-ия мощности — t ур-ий. Т. о, число ур-ий достаточно для опре­деления неизвестных.

11.2 Опт. распред-ие нагрузки при постоянном напоре ГЭС и структурная схема алгоритма поиска данного распределения

Производные по мощности ТЭС имеют вид:

(*)

Производные по мощности ГЭС дают уравнения:  Отсюда получим:

Из этой системы и уравнений (*) получаем условия опти­мизации:

Индексы времени м. опустить и получим окончательный вид уравнения оптими­зации:                                                                                                                          

Это условие означает, что для наивы­годнейшего распред-ия нагрузки необходимо для все­го периода оптимизации соблюдать постоянное соотно­шение  между ТЭС и ГЭС. Между ТЭС и ГЭС α нагрузка должна распределяйся по соотношению  Аналогично для ГЭС β. Одновременно требуется выполнить . Величины  связывают режим ТЭС и соот­ветствующей ГЭС. ГЭС могут различаться своим напором и расходом, поэтому для каждой ГЭС имеется свой .

Блоки 1—3. Задается нагрузка ГЭС РГЭС,1 для t = l и про­веряется ее допустимость. Если мощности ГЭС не удовлетворяют ограничениям, то они корректируются с приращением ± ΔP.

Блоки 4 и 5. Из уравнения баланса определяется мощность ТЭС и проверяется ее допустимость. Если она недопустима, то кор­ректируется мощность ГЭС и расчет возвращается в 2.

11.3 Опт. распред-ие нагрузки при постоянном напоре ГЭС и структурная схема алгоритма поиска данного распределения

Блок 6. Производится расчет режима сети и относительных приростов потерь.

Блоки 7 и 8. Для исходного произвольного и в общем случае неоптимального распределения нагрузки находятся относительные приросты станций с учетом σ. Такие расчеты проводятся для всех интервалов времени t = l, 2, ... k.

Блоки 9 и 10. Для каждого t подсчитываются коэффициенты λt. Так как распределение нагрузки было произвольным, то нет по­стоянства λ для периода оптимизации, т. е. режим не является опти­мальным. Уравнивание λ производится по отношению к среднему значению λср.

Блоки 11 и 12. Уравнивание λt и λср производится в зависи­мости от знака разности Δλ=λср—λt приращением мощности ±ΔР. Расчеты каждый раз начинаются с блока 2. При выполнении условия блока 12 режим является допустимым и λ = idem, но он еще может быть неоптимальным, так как не проверено ограничение по стоку.

Блоки 13 и 14. Если сток ГЭС WГЭС равен заданному W3ад, то задача решена, если же WГЭС ≠ Wзад, то в зависимости от зна­ка небаланса ΔW = Wзад — Wгэс меняется мощность ГЭС с шагом ±ΔР и расчет снова начинается с 2.

 

 

12.1 Оптимальное распределение нагрузки при переменном напоре ГЭС

Пусть в системе имеется две станции – гидравлическая и тепловая. Между ними произвольно распределен заданный график нагрузки с соблюдением баланса мощности. По графику мощностей ГЭС определен график ее расходов (рис. 6-7).

Перераспределим нагрузку и посмотрим, к каким изменениям в системе это может привести. В момент ta на интервале dt увели­чим расход ГЭС на величину dQ, а в дальнейшем в момент tб на интервале dt уменьшим расход ГЭС на ту же величину dQ. Как изменятся мощности станций в период от ta до tб? Увеличение расхода приведет к увеличению мощности на  и к та­кому же снижению мощности тепловой станции.

Тепловая станция системы будет иметь экономию топлива , где qa, ba – относительные приросты ГЭС и ТЭС; – множитель Лагранжа; dV = dQdt — дополнительный сток ГЭС.

Величина экономии топлива найдена без учета измен­чивости напора. В действительности увеличение расхода приводит к увеличению уровня нижнего бьефа. Так как этот процесс затухает медленно, то он будет продолжаться от ta до бесконечности. Мощ­ность ГЭС при этом снижается на . Поэтому, чтобы судить о мощностях, нужно знать измен­чивость уровней нижнего бьефа .

Дополнительный расход топлива ТЭС за счет увеличения уров­ня нижнего бьефа на  будет равен: , где принято обозначение  Такое обозначение введено потому, что величина  имеет ту же размерность, что и коэффициент эффективности . Подобные рассуждения можно применить к моменту tб, когда будет восстановлен баланс стока ГЭС, тогда получим:  

12.2 Оптимальное распределение нагрузки при переменном напоре ГЭС

Но напор меняется и за счет изменчивости верхнего бьефа, по­этому необходимо учесть эффект последействия. В течение периода от ta до tб ГЭС работает с пониженными на  по сравнению с первоначальным режимом уровнями верхнего бьефа.

Можно так определить снижение мощности ГЭС в этот период: , причем производная  показывает изменение мощности ГЭС от напора, а  – изменение напора от объема. Всего же объем изме­нился на dV. Пережог топлива на ТЭС , причем размерность этой величины также совпа­дает с размерностью коэффициента эффективности .

Общее изменение расхода топлива системы равно:

Если первоначальное распределение нагрузки было лучше вто­рого, то ; если же последующий режим лучше, то , т. е. в системе будет экономия топлива. Примем для дальнейшего условие равноэкономичности режимов за расчетное, что соответству­ет . Из последнего выражения после сокращения dV следует:  Отсюда следует, что при непостоянстве напора ГЭС значение λ, не остается постоянным, как при постоянстве напоров. Поэтому на каждом расчетном интервале времени требуется опре­делять свой λ.

 

 

13.1 Оптимальное распределение нагрузки между агрегатами электростанций. Оптимальная последовательность включения агрегатов электростанций

Используя метод неопределенных множителей Лагранжа, м. получить условие наивыгоднейшего рас­пределения нагрузки между агрегатами электростанции в виде равенства отношения приращения первичного ресурса (подведенной мощности) к приращению вторично­го (полезной мощности).

Распределение нагрузки между агрегатами ТЭС. Для ТЭС возникают задачи распределения на­грузки между турбинами, котлами, блоками, частями станции. Условия наивыгоднейшего распределения нагрузки:

между конденсационными турбинами  между котлами  между блоками , где  – относительный при­рост котла, показывающий изменение расхода условного топлива котла  при изменении паросъема на ;  – относительный прирост турбины, показывающий изменение расхода пара  при изменении мощности турбин на ;  – относительный прирост блока.

На практике на эти условия могут накладываться ограничения, определяемые видом характеристики, которые могут иметь скачки, участки с постоянными относительными приростами и т. п.

Если нагрузка распре­деляется между агрегатами, которые имеют сту­пенчато - кусочные харак­теристики (рис. 6,8), то они загружаются в порядке возрастания их относительных прирос­тов. Например, при росте нагрузки от минимальной  в начале загружается агрегат 2, т. к. он имеет меньший относительный прирост. Если нагрузка превы­шает , то загружается агрегат 1. При на­грузке большей  снова загружается агрегат 2, а при  – агрегат 1. При этом сохраняется прин­цип использования тех агрегатов, которые дают большую экономию топлива. Т. о, если агрегаты не имеют равных относительных приростов, то они загружаются в порядке возрастания относительных приростов.

Для станций, имеющих теплофикационные тур­бины относительные приросты зависят также и от расхода пара, идущего в производственные отборы . При рас­пределении нагрузки между турбинами с отборами усло­вия наивыгоднейшего распределения нагрузки имеют вид:

13.2 Оптимальное распределение нагрузки между агрегатами электростанций. Оптимальная последовательность включения

                                     агрегатов электростанций

 где ,  – относительные приросты расхода тепла при изменении величины отбора и постоянстве электрической мощ­ности;  – относительный прирост расхода тепла при изменении электрической мощности.

Распределение нагрузки между агрегатами ГЭС. Для ГЭС наивыгоднейшее распределе­ние нагрузки будет в том случае, когда агрегаты рабо­тают с равными относительными приростами:

Из условий наивыгоднейшего распределения нагрузки следует, что методика решения задачи о наивыгоднейшем распреде­лении нагрузки между агрегатами электростанций проста, если известны их характеристики относительных приростов.

В условиях эксплуатации желательно было бы при распределении нагрузки между агрегатами использовать не характеристики, а текущие измерения относительных приростов. Для ГЭС, чтобы получить относительный прирост агрегата, нужно измерить расходы Q1 и Q2 и мощности Р1 и Р2 с малым шагом дискретности, т. е. получить

Этот дифференциальный показатель очень чувствителен к погрешностям измерения расходов и мощностей, может резко меняться, поэтому измеренные характеристики относительных приростов обычно не являются выпуклыми, не удовле­творяют требованиям метода неопределенных множите­лей Лагранжа и точность их низка.

На рис. 6-9 показаны характеристики относительных приростов различных гидроагрегатов, полу­ченные при натурных испытаниях. Прежде чем воспользоваться такими характеристиками, нужно их обработать. Некачественность хар-к приво­дит к снижению эффекта оптимального распределения нагрузки между агрегатами.

14.1 Формулировка задачи оптимизации режима энергосистемы с позиций нелинейного программирования. Основные определения

Как известно, общая задача нелинейного программирования за­ключается в отыскании экстремума целевой функции F при задан­ных ограничениях в виде равенств и неравенств. При этом в качестве целевой функции выступает суммарный расход топлива в энергосистеме В.

Расход В есть функция независимых и зависимых переменных. Обозначим через  вектор не­зависимых переменных; через  вектор зависимых переменных. К неза­висимым переменным относятся активные и реак­тивные мощности станций. К числу зависимых пере­менных относятся напряжения генерирующих узлов нагрузочных узлов. Следовательно, задача оптимизации сво­дится к отысканию экстремума  с учетом уравнении связи между зависимыми и независимыми пере­менными  которые часто рассматриваются как ограничения в форме равенств. В качестве уравнений связи используются уравнения, описываю­щие установившийся режим электрической системы, например уравнения узловых напряжений. Т. к. УУН являются нелинейными, отыскание зависимых пере­менных связано с задачей расчета режима электрической системы посред­ством решения УУН.

Целевая функция выглядит следующим образом:

Оптимальный режим должен удовлетворять системе режимных ограничений в виде неравенств:

                      (*)

Ли­ния (поверхность) равного уровня целевой функции — геометриче­ское место точек в пространстве независимых переменных , в ко­торых целевая функция имеет одно и то же значение F = const. На рис. 5-4 показаны проекции линий равного уровня на плоскость , . Каждая из систем неравенств (*) определяет некоторую допустимую область Dx, Dy, Dz. Результирующая область до­пустимых нормальных режимов D, удовлетворяющих всем пере­численным ограничениям, определяется пересечением этих областей.

14.2 Формулировка задачи оптимизации режима энергосистемы с позиций нелинейного программирования. Основные определения

Область выпукла, если для любой пары точек данной области отрезок пря­мой линии, соединяющей эти точки, также полностью принадлежит этой обла­сти.

Абсолютным минимумом называет­ся точка экстремума целевой функции без учета ограничений (  на рис. 5-4).

Отно­сительным экстремумом называется точка  на границе области, где целевая функция принимает минимальное значение внутри области. Точка  и соответствующее ей значение целевой функции называются оптимальным решением задачи. Если целевая функция унимодальна (имеет один экстремум), т. е. в любой точке значение , то оптимальное решение является глобальным. Если функция мультимодальна (многоэкстремальна), то найденное экстремальное решение необязательно глобальное и может быть локальным.

Среди ограничений (*) можно выделить активные и пассивные. Если в точке  тот пли иной параметр принимает граничное значение, то соответствующее ему ограничение называ­ется активным (ограничение II на рис. 5-4), остальные же ограни­чения — пассивными. Пассивные ограничения можно не учитывать в ходе оптимизации, однако заранее неизвестно, какие из ограничений являются активными, а какие — пассивными, и только поэтому приходится рассматривать всю совокупность огра­ничений.

 

 

15.1 Применение методов возможных направлений для поиска экстремума целевой функции при решении задач оптимизации в электроэнергетике

Методы возможных относятся к клас­су итеративных, т. е. методов последовательных приближений, в которых строится последовательность точек х°, х1, ..., хк, стремящихся к значению  на основании следующего критерия оптимальности: каждая точка xk должна быть лучше предыдущей хk-1: .

Последовательность точек хk образует траекторию спуска к ми­нимуму F. Количество шагов в спуске, необходимое для приближе­ния к экстремуму с заданной точностью, зависит как от выбранно­го исходного приближения х°, так и от способа организации спус­ка, т. с. перехода от х° к х1, и т. д.

Суть методов возможных направлений заключается в том, что спуск из любой точки х° к  можно осуществить по различным направлениям, называемым возможными, при которых последова­тельно уменьшается функция F(x).

Все направления можно разбить на три типа (рис. 5-5):  – направления, приводящие к уменьшению целевой функции;  – направления, приводящие к возрастанию целевой функции (противоположные направ­ления dir (— ) – также возможные направления спуска);  – направления, лежащие в плоскости, касательной к поверхно­сти равного уровня Fо = const, не приводящие к уменьшению функ­ции ни в прямом, ни в обратном направлениях. Таким образом, с учетом реверса любое направление, отличающееся от касательно­го, следует рассматривать как возможное.

Вектор, ортогональный к касательной плоскости и указывающий направление наибольшей скорости возрас­тания функции F, называется градиентом функции F в точке х° и обозначается как . С точки зрения локальных свойств противоположное ему направление антиградиента  является наилуч­шим из всех возможных направлений, так как оно показывает путь наибольшего убы­вания функции F(x°).

 

15.2 Применение методов возможных направлений для поиска экстремума целевой функции при решении задач оптимизации в электроэнергетике

Критерием выбора возможного направ­ления Δх является условие , означающее, что скалярное произведение векторов Δх и антиградиента не должно быть равно нулю, т. е. возможное направле­ние не должно быть ортогонально антиградиенту. Если в точке xk каким-либо образом найдено возможное направление спуска Δxk, то во всех рассматриваемых методах но­вая точка на траектории спуска вычисляется по рекуррентному вы­ражению

Различия в многочисленных методах возможных направлений состоят либо в способах задания направления спуска, либо в способах определения величины qk, представляющей собой длину шага вдоль вектора  

Все методы нелинейного про­граммирования, основанные па рекуррентном выражении (5-76), можно разделить на два класса в зависимости от способа задания длины шага: методы использования постоянного шага и методы наискорейшего спуска.

В методе наискорейшего спуска исходная величина  задается в виде константы. Од­нако для обеспечения сходимости процесса вычислений, чтобы на каждом шаге выполнялся критерий , необходим контроль правильного задания длины шага. При неудачно заданном значе­нии  критерий может быть нарушен, т. е. . В этом случае необходимо уменьшить длину шага, т. е. воспользоваться фор­мулой , где  — также некоторая константа, меньшая единицы.

Процедура решения  выполняется до тех пор, пока не будет выполнено условие . При этом в качестве  рассмат­ривается последнее значение .

Достоинство методов этого класса — малый объем вычислений на шаге. Недостаток заключается в том, что при неудачно вы­бранных значениях  и  количество шагов оптимизации может быть велико и в целом объем вычислений, а следова­тельно, и время решения задачи могут быть недопустимо большими.

 

 

16 Применение метода наискорейшего спуска при решении задач оптимизации в электроэнергетике

В данном методе дли­на шага qk зависит от направления спуска Δxk и вы­числяется из условия обеспечения максимального уменьшения целевой функции в заданном направлении. Задача формули­руется таким образом, чтобы найти значение , обеспечивающее минимум F(х) на Δx. Функция F(х) изменяется в направлении Δx. Для каждой конкретной задачи и направления может быть построена зависимость F(q) = F (х° + q Δxk), имеющая один экстремум для унимодальной функции (рис. 5-6). Чтобы найти оптимальную длину шага , необходимо продифференцировать аналитическую функцию F(q) и, приравняв производную нулю  решить полученное уравнение относительно q.

Определение величины  – задача одномерного поиска экст­ремума функции одной переменной F(q). Однако путь точного ана­литического определения  часто оказывается неприемлемым, так как получение зависимости F(q) может быть сопряжено с боль­шими трудностями. Кроме того, уравнение  относительно  может быть нелинейным, а его решение — непростым. Поэтому зависимость F(q) аппроксимируют чаще всего полиномом второй степени  и находят псевдооптимальную длину шага , что следует из .

Параметры полинома a, b, c можно найти, если вычислить лю­бые три точки, удовлетворяющие зависимости F(q). Удобно в качестве узлов аппроксимации принять значения F°, F', F" в точках х°; х' = х° + Δх; х" = х° + 2Δх, т. е. вычислить функцию соответствен­но в исходной точке, далее в точках х' и х" при одинарном шаге (q = 1) и двойном шаге (q = 2) вдоль вектора Δх. Подста­вив параметры трех узлов аппроксимации в наш полином, при q = 0, q = 1 и q = 2 получаем соответственно

откуда

 

17 Способ вычисления оптимальной длины шага вдоль заданного направления спуска при решении задач оптимизации в электроэнергетике 

В данном методе дли­на шага qk зависит от направления спуска Δxk и вы­числяется из условия обеспечения максимального уменьшения целевой функции в заданном направлении. Задача формули­руется таким образом, чтобы найти значение , обеспечивающее минимум F(х) на Δx. Функция F(х) изменяется в направлении Δx. Для каждой конкретной задачи и направления может быть построена зависимость F(q) = F (х° + q Δxk), имеющая один экстремум для унимодальной функции (рис. 5-6). Чтобы найти оптимальную длину шага , необходимо продифференцировать аналитическую функцию F(q) и, приравняв производную нулю  решить полученное уравнение относительно q.

Определение величины  – задача одномерного поиска экст­ремума функции одной переменной F(q). Однако путь точного ана­литического определения  часто оказывается неприемлемым, так как получение зависимости F(q) может быть сопряжено с боль­шими трудностями. Кроме того, уравнение  относительно  может быть нелинейным, а его решение — непростым. Поэтому зависимость F(q) аппроксимируют чаще всего полиномом второй степени  и находят псевдооптимальную длину шага , что следует из .

Параметры полинома a, b, c можно найти, если вычислить лю­бые три точки, удовлетворяющие зависимости F(q). Удобно в качестве узлов аппроксимации принять значения F°, F', F" в точках х°; х' = х° + Δх; х" = х° + 2Δх, т. е. вычислить функцию соответствен­но в исходной точке, далее в точках х' и х" при одинарном шаге (q = 1) и двойном шаге (q = 2) вдоль вектора Δх. Подста­вив параметры трех узлов аппроксимации в наш полином, при q = 0, q = 1 и q = 2 получаем соответственно

откуда

 

18 Применение метода покоординатной оптимизации в электроэнергетике. Внешний и внутренний циклы метода

Метод покоординатной оптимизации относится к наиболее простым по реализации ал­горитмам. Суть его заключается в том, что в качестве возможных направлений рассматриваются орты исходной системы координат

При этом N шагов по всем независимым переменным образуют внутренний цикл. Это означает, что на первом итерационном шаге минимизируется целевая функция F(x) при изменении только пер­вой переменной, а все остальные переменные остаются неизмен­ными. Если спуск осуществляется с отысканием оптимальной дли­ны шага, то

На втором шаге процедура повторяется для второй переменной:  Частная минимизация по всем N переменным образует полный цикл, называемый внешним. Количество внешних циклов, т. е. пов­торений внутренних циклов, заранее неизвестно и определяется схо­димостью вычислительного процесса, которая зависит от свойств минимизируемой функции F(x) и выбора исходного приближения х°. На рис. 1 штриховой линией показана траектория спуска. Несмотря на простоту реализации и малый объем вычислений на шаге, часто от метода приходится от­казываться из-за неудовлетворительной сходимости. На рис. 2 приведена геометрическая интерпретация так называемой «овражной» функции для двумерной задачи F(x1, х2). Если «дно овра­га» не совпадает с направлением коорди­натных осей, то количество шагов становится неприемлемо большим.

 

19.1 Применение градиентных методов оптимизации в электроэнергетике. Критерии сходимости. Градиентный метод в сочетании с методом наискорейшего спуска

В градиентных методах движение всегда осуществляется в направлении наи­большего убывания целевой функции . Вектор градиента определяется через производные функции F(x) по всем независимым переменным .

Таким образом, чтобы воспользоваться рекуррентным выраже­нием градиентного метода , необходимо на каждом шаге итерационного процесса вычислять значения производ­ных . Для организации скорейшего спуска необходимо определение оптимальной длины шага , которая в этом случае удовлетво­ряет условию . Это условие означает, что результирующий вектор спуска  должен быть таким, чтобы новый градиент стал ортогонален предыдущему.

Рассмотрим два наиболее распространенных критерия окончания расчета, на основании которых можно судить о степени близости к экстремуму и к окончанию расчета.

Первый критерий основан на сопоставлении функции цели на двух соседних шагах k и к+1. Если убывание целевой функции мало, т. е. , где  – заданная некоторая малая величина, то принимается, что найдено приближенное значение минимума F. Точность отыскания экстремума регулируется величиной : чем меньше , тем точнее решение, но тем больше потребуется итерационных шагов, так как при приближении к экстремуму сходимость методов возможных на­правлений замедляется.

Преимущество первого критерия заключается в простоте реали­зации, однако в некоторых случаях он не соответствует приближе­нию к экстремуму. Например, при отыскании минимума функции с оврагом, когда две соседние точки xk+1 и xk оказываются на дне оврага. Убывание целевой функции будет мало, хотя решение дале­ко не оптимально.

Более строгим является второй критерий — проверка длины гра­диента  при отыскании абсолютного минимума F. Во втором критерии ис­пользуется тот факт, что в точке экстремума все частные произ­водные  равны нулю, поэтому итерационный спуск осуществ­ляется до получения , где  – малая заданная величина.

В некоторых случаях используют модификацию второго крите­рия и не проверяют длину вектора градиента, а сравнивают макси­мальную компоненту вектора градиента с некоторой заданной конт­рольной величиной.

Расчет по второму критерию связан с большим объ­емом вычислений, но он гарантирует правильность окончания рас­чета. В градиентных методах это наиболее рациональный способ прерывания циклического итерационного расчета, поскольку част­ные производные и так вычисляются для организации спуска.

Градиентный метод в сочетании с методом наискорейшего спуска.

1. Задаем начальные приближения .

2. Находим значение целевой функции  и антиградиента  в точке .

3. Делам пробные шаги и находим .

4. Определяем оптимальную длину шага

5. Определяем новые приближения оптимизируемых параметров .

6. Проверяем выполнение критерия оптимальности .

Вторая итерация выполняется аналогично. Далее проверяем критерий окончания расчетов:  При выполнении условия расчеты заканчиваются, при невыполнении продолжаем итерации.

 

20.1 Применение градиентных методов оптимизации в электроэнергетике. Метод проектирования градиента

В градиентных методах движение всегда осуществляется в направлении наи­большего убывания целевой функции . Вектор градиента определяется через производные функции F(x) по всем независимым переменным .

Таким образом, чтобы воспользоваться рекуррентным выраже­нием градиентного метода , необходимо на каждом шаге итерационного процесса вычислять значения производ­ных . Для организации скорейшего спуска необходимо определение оптимальной длины шага , которая в этом случае удовлетво­ряет условию . Это условие означает, что результирующий вектор спуска  должен быть таким, чтобы новый градиент стал ортогонален предыдущему.

Достоинство этого метода состоит в том что, несмотря на сложность и большой объем вычислений на каждом шаге, он в сочетании с методом наискорейшего спуска дает очень быструю сходимость.

Метод проектирования градиента. Пусть требуется найти минимум выпуклой функции при условии, что независимые переменные удовлетворя­ют системе из P линейных ограничений в форме нера­венств, т. е.

.

В начальной точке Х°, фазовые координаты которой удовлетворяют условиям ограничений , определя­ется вектор-градиент и в направлении антиградиента производится движение за границу до­пустимой области до точки x': , где  –множитель, определяющий величину шага за границу допустимой области.

 

20.2 Применение градиентных методов оптимизации в электроэнергетике. Метод проектирования градиента

Полученная точка X1 проектируется на поверхность ограничений , в результате чего определится точ­ка . Затем из точки  так же как и из точки Х°, в на­правлении антиградиента совершается движение за границу допустимой области в точку .

Полученная точка X2 проектируется на поверхность ограничений, в результате чего получается точка  и т. д.

Если начальная точка Х° находится вне допустимой области, она вначале должна быть спроектирована на поверхность ограничений, после чего осуществляется описанная процедура движения. Это позволяет решать задачу от любого начального приближения.

 

21.1 Учет ограничений в форме равенств при решении задач оптимизации в электроэнергетике. Приведенный градиент

При решении задачи оптимизации режима должны учитывать­ся уравнения связи, дающие зависимости между переменными y и x. Количество зависимых переменных M определяется числом уравнений связи, которые можно рассматривать как ограничения, выраженные в форме равенств. В качестве таких ограничений обычно принимаются УУН, записанные в форме баланса токов каждого узла, кроме балансирующего или в форме баланса мощностей каждого узла    (1), где  – общее число узлов в системе без балансирующего. Целевую функцию можно представить в виде , где x, y – векторы независимых и зависимых пере­менных, связь между которыми выражается системой уравнений в виде вектор – функции .

В градиентном методе необходимо определить направление  мак­симального уменьшения целевой функции, не нарушая связей меж­ду переменными. Поэтому найдем связь между приращениями зави­симых  и независимых  переменных.

Рассмотрим точку (х°, у°) с координатами , удовлетворяющую системе равенств :  (2), .

Это означает, что рассматриваются режимы энергосистемы, удовле­творяющие (1).

Разложив нелинейные уравнения  в точке (х°, y°) в ряд Тейлора и ограничившись членами, содержащими производные не выше первого порядка, получим , .

С учетом (2) в матричной записи последняя система уравнений приобретает вид , откуда, переходя к бесконечно малым приращениям, получим  (3).

Здесь  – матрицы частных производных уравнений связи по независимым и зависимым переменным.

С учетом зависимости y(x) целевую функцию F(x,y) можно представить как F(x, y(x)). Выражение градиента приобретает вид

 

21.2 Учет ограничений в форме равенств при решении задач оптимизации в электроэнергетике. Приведенный градиент

что в матричной форме записывается двумя способами:

;  (4), ,  – векторы - столбцы частных производных целевой функции по независимым и зависимым переменным.

Вектор производных целевой функции по независимым перемен­ным dF/dx называется приведенным градиентом. С учетом соотно­шения (3) представим (4) в виде .

Вектор dF/dx рассматривается как возможное направление и ис­пользуется в рекуррентном выражении итерационной процедуры .

Наряду с методом приведенного градиента ограничения в форме равенств учитывает также метод Лагранжа. При отыскании экстремума целевой функции с учетом ограничений в форме равенств методом Лагранжа вводится новая функция Лагранжа L, в которой все переменные рассматриваются как независимые. В данном случае нет необхо­димости вычислять матрицу частных производных [dу/dx], в чем и заключается преимущество метода по сравнению с предыдущим. Недостатком метода является увеличение размерности задачи за счет введения неопределенных множителей Лагранжа, число кото­рых равно числу уравнений связи.

 

 

22.1 Учет ограничений в форме неравенств при решении задач опт-ии в электроэнергетике. Метод штрафных функций

При оптимизации режима электрической системы задается сово­купность ограничений в форме неравенств , определяющая некоторую допустимую область D. В задаче не­линейного программирования необходимо отыскивать относительный экстремум в области D, допуская, что активным может оказаться любое огра­ничение. В некоторых случаях активные ограничения могут быть выявлены в ходе итерационного процесса решения задачи оптими­зации.

Пусть . В результате шага по рекуррентному выраже­нию метода возможных направлений получается точка xk. Если эта точка также принадлежит области D, то осуществляется переход к точке xk+1. Если же , то необходимо найти граничную точку xk на поверхности области D. В результате выявляется активное ог­раничение (рис. 5-8), которое можно рассматривать как равенство. Однако правомерность такого перехода должна быть обоснова­на, так как не исключаются ситуации, подобные представленной на рис. 5-8. Здесь точка . Движение по антиградиенту с оптимальной длиной шага приводит в точку . Пусть найдена граничная точка x'. Если в дальнейшем ограничение рассматривать как равенство, то будет найден экстремум на ограничивающей по­верхности в точке x". Как видим, в данном случае решение оказы­вается неправильным, так как фактически следует найти точку аб­солютного минимума .

Метод штрафных функ­ций. Для решения задачи отыскания экстремума целевой функции F (x,y) в допустимых областях Dy и Dz рассматривается новая функция , которая в отличие от F(x,у) определена в пространстве зависимых переменных при  и  (где  рассматриваются в виде переменных, зависимых от x и у). Это свойство новой функции и достигается за счет введения штрафных функций Ш(y) и Ш(z), подчиняющихся условиям:

.

 

22.2 Учет ограничений в форме неравенств при решении задач опт-ии в электроэнергетике. Метод штрафных функций

Эти условия означают следующее: если взята некоторая точка хk так, что соответствующие ей зависимые переменные yk и zk удо­влетворяют ограничениям  и , то штраф равен нулю, в противном случае накладывается штраф в виде некоторой поло­жительной добавки к исходной функции F(x,у). Чем существен­ней отклонение от допустимой области, тем больше величина штра­фа. А так как методы возможных направлений в этом случае основываются на построении такой траектории х°, х1,..., хk, в кото­рой Wk<Wk-1, то при надлежащем выборе функции штрафа дви­жение всегда будет происходить в сторону допустимой области.

Штрафные функции должны удовлетворять двум условиям: 1) при их использовании не должны появляться новые локальные минимумы и абсолютный минимум функции W должен совпадать с относительным минимумом исходной целевой функции или быть достаточно близким ему; 2) функция штрафа должна возрастать при увеличении степени нарушения ограничения.

Способ задания квадратичной штрафной функции вида , где ,  – величины, характеризующие степень нарушения со­ответствующих ограничений. Коэффициенты штрафа  и  имеют смысл коэффициентов приведения штрафа к размерности целевой функции.

Выбор коэффициента штрафа существенно влияет на сходимость итерационного процесса и точность отыскания минимума целевой функции. Чем больше величина , тем круче растет функция W вне области D и тем заметнее функция W приобретает свойства «овражности». Чаще всего при овражных функциях удо­влетворительная сходимость не обеспечивается. Коэффициент штрафа влияет и на траекторию спуска.

 

23.1 Оптимизация режима электроэнергетической системы методом Ньютона. Матрица Гессе

Преимущество метода Ньютона заключается в том, что количество итерационных ша­гов невелико. Как и во всяком итерационном мето­де, расчет начинается с задания некоторой исходной точки , для ко­торой можно вычислить значение функции . Аппроксимируем в точке  зависимость f(x) некоторой другой функцией  пу­тем разложения в ряд f(x) и сохранения членов, содержащих вто­рые производные:  (1).

Такая аппроксимация соответствует замене исходной функции f(x) параболой , совпадающей в точке  по значениям первой и второй производных (рис. 5-10). Если обозначить через  величи­ну отклонения от , то вместо (1) можно записать   (2).

Найдем такое значение приращения , которое обращает в мини­мум . Для этого приравняем нулю производную от (2): , откуда . Следовательно, точку  экстремума  можно найти из условия .

Если в этой точке производная  существенно отличается от нуля, то эту точку следует рассматривать как исходную и повто­рить вычисления. В общем виде рекуррентное выражение итера­ционного процесса можно представить как .

Таким образом, суть метода заключается в том, что исходная функция заменяется полиномом второй степени – параболой – и затем отыскивается ее минимум. В новой точке аппроксимация повторяется, отыскивает­ся ее минимум и т. д.

Аналогично функцию двух переменных F(х1, х2), которая ап­проксимируется разложением в ряд Тейлора, можно представить как (3).

Градиент этой новой функции в точке ее экстремума равен нулю:

 

23.2 Оптимизация режима электроэнергетической системы методом Ньютона. Матрица Гессе

(4). Решая эту систему относительно  и  (5), находим точку экстремума, а следовательно, и точку нового при­ближения х1:   (6).

Геом-я интерпретация рассмотренного случая представлена на рис. 5-11. Истинная зависимость F(x) заменена параболоидом , линии равного уровня которого в проекции на плоскость осей x1 и х2 - эллипсы. Решение системы (4) позволяет найти центр эллипсов х1, а затем в этой точке повторить аппроксимацию и найти точку х2 и т. д.

Выражения (3–6) соответствуют общему случаю ми­нимизации функции многих переменных F(x). В векторно – матричной форме эти выражения приобретают вид ;

Функция  позволяет найти приближенное значение исходной функции F(x) и совпадает с ней лишь в точке разложения х°. В первом из этих выражений второй и третий члены – скалярные произведения векторов, отделенных друг от друга запятой. Через [G(x)] обозначена матрица вторых частных производных: , называемая матрицей Гессе. Эта матрица всегда симметрична. Вектор F'(x) есть вектор первых частных производных целевой функции и, следовательно, это есть градиент .

24.1 Комплексная оптимизация режимов энергосистемы

В общем случае для получения решения приходится применять современные методы нелинейного программи­рования. Рассмотрим применение для этой задачи ме­тода приведенного градиента.

Любая задача нелинейного математического про­граммирования может быть записана в следующей фор­ме. Имеется функция многих переменных .

Компоненты Z являются искомыми параметрами ре­жима, a D включает известную исходную информацию о состоянии системы, тогда min F(Z, D) совпадает с min F(Z). Необходимо по Z минимизировать функцию при ограничениях .

При использовании метода приведенного градиента компоненты вектора параметров режима системы Z раз­деляются на два подмножества X и Y: Y включает неза­висимые переменные, т. е. те параметры, которые в си­стеме могут регулироваться, на которые можно воздей­ствовать, используя определенные средства управления; X включает зависимые параметры режима, т. е. те, ко­торые могут быть вычислены по параметру Y, тогда , отсюда , а ограничения принимают вид:

Связи между независимыми Y и зависимыми X пере­менными, как правило, неявные. Поэтому задача мини­мизации функции (6-G7) решается по многошаговой схеме.

Деление параметров режима Z на два подмножест­ва X и Y понижает размерность задачи и, следователь­но, облегчает вычислительный процесс. Действительно, если Z имеет n переменных, а X имеет m переменных, то обычно размерность задачи p<<n.

Рассмотрим основные положения решения задачи комплексной оптимизации методом приведенного гради­ента. ЭС состоит из i = 1, 2, ..., М обобщенных и отдельных узлов и имеются толь­ко тепловые станции. Параметры режима: ,  – активные и реактивные мощности генераторных узлов; ,  – модули напряжений и фазовые углы в узлах системы. Известны активные и реактивные нагрузки в узлах, причем они не зависят от напряжений и часто­ты системы. Требуется определить оптимальное распре­деление нагрузки по условию минимума расхода услов­ного топлива системы.

24.2 Комплексная оптимизация режимов энергосистемы

1. Уравнение цели .

Вектор параметров Z разделяется на вектор незави­симых переменных  и зависимых переменных

Тогда можно записать .

2. Уравнения связи включают:

– эквивалентные характеристики генераторных узлов вида , где  – эквивалентный расход условного топлива;

– связи между параметрами X и Y, которые имеют вид Y(Х);

3. Уравнения ограничений, которые задаются в виде не­равенств

Задаются также балансовые ограничения по актив­ным и реактивным мощностям в виде системы уравне­ний установившегося режима (рис.).

Для каждого узла небаланс по мощности равен: , где  и  – функция небаланса по активной и реактивной мощностям.

Когда в стационарном режиме в узлах системы име­ется баланс, то , . Если в стационар­ном режиме изменить независимые переменные , , то появится небаланс и , .   Меняя , , можно получить новый допустимый стацио­нарный режим для новых значений , . Задача и бу­дет заключаться в том, чтобы найти такое решение урав­нений установившегося режима, при котором .

4. Вычисление приведенного градиента. Решение считается оптимальным, если модуль градиент - вектора функции В (Х, Y) будет меньше заданного малого значения, т. е. .

 

 

1. Понятие оптимизации. Основные задачи оптимизации в электроэнергетике. Степени свободы электроэнергетической системы

2. Применение метода множителей Лагранжа при решении задач оптимизации в ЭЭ

3. Опт-е распределение перетоков мощности в замкнутых контурах эл. сети

4. Прим-ие м-да множителей Л. для опт-ии перетоков мощности в эл. сети

5. Оптимизация распределения перетоков мощности сложной эл. сети

6. Определение оптимального распределения нагрузки между ТЭС методом множителей Лагранжа. Относительные приросты ТЭС

7. Определение оптимального распределения нагрузки между ТЭС методом множителей Лагранжа. Структурная схема алгоритма

8. Наивыгоднейшее распределение нагрузки между ТЭС без учета потерь P. Физический смысл равенства относительных приростов

9. Определение опт. распределения нагрузки в энергосистеме с ГЭС и ТЭС методом множителей Лагранжа. Относит. приросты ТЭС и ГЭС

10. Размерность и физический смысл множителей Лагранжа в задачах оптимизации распределения нагрузки в энергосистеме

11. Оптимальное распределение нагрузки при постоянном напоре ГЭС и структурная схема алгоритма поиска данного распределения

12. Оптимальное распределение нагрузки при переменном напоре ГЭС

13. Оптимальное распределение нагрузки между агрегатами электростанций. Оптимальная последовательность включения агрегатов электростанций

14. Формулировка задачи оптимизации режима энергосистемы с позиций нелинейного программирования. Основные определения

15. Применение методов возможных направлений для поиска экстремума целевой функции при решении задач оптимизации в электроэнергетике

16. Применение метода наискорейшего спуска при решении задач опт-ии в ЭЭ

17. Способ вычисления оптимальной длины шага вдоль заданного направления спуска при решении задач оптимизации в электроэнергетике

18. Применение метода покоординатной оптимизации в электроэнергетике. Внешний и внутренний циклы метода

19. Применение градиентных методов оптимизации в электроэнергетике. Критерии сходимости. Градиентный метод + метод наискорейшего спуска

20. Применение градиентных методов оптимизации в электроэнергетике. Метод проектирования градиента

21. Учет ограничений в форме равенств при решении задач оптимизации в электроэнергетике. Приведенный градиент

22. Учет ограничений в форме неравенств при решении задач оптимизации в электроэнергетике. Метод штрафных функций

23. Оптимизация режима электроэнергетической системы методом Ньютона. Матрица Гессе. Геометрическая интерпретация аппроксимации ЦФ

24. Комплексная оптимизация режимов энергосистемы

 


Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 797;