Присоединенные функции Лежандра

Глава 1. Сферические функции

Сферические функции были введены в связи с изучением решений уравнения Лапласа, и в частности с теорией потенциала. В §1 мы рассматриваем полиномы Лежандра, которые используются затем для построения шаровых и сферических функций в §2. Сферические функции являются весьма мощным аппаратом для решения многих задач математической физики.

Полиномы Лежандра

Производящая функция и полиномы Лежандра

Полиномы Лежандра тесно связаны с фундаментальным решением уравнения Лапласа , где R – расстояние от точки М до фиксированной точки М₀. Пусть r и r₀ – радиусы векторы точек М и М₀, а - угол между ними. Очевидно можно записать

(1)

при

производящая функция полиномов Лежандра.

Разложим функцию в ряд по степеням :

(2)

Коэффициенты в разложение (2) являются полиномами n-й степени и называются полиномами Лежандра.

В силу теоремы Коши из формулы (2) следует, что

(3)

от , (перейдем в комплексную плоскость). Используя интегральную формулу Коши и производную

(4)

Полагая , находим , ,

, (5)

где С₁- любой контур, окружающий точку x=z. Подинтегральная функция имеет особенность, а именно полюс (n+1) порядка.

. (6)

Из формулы (6) непосредственно видно что:

1. Получили полином степени n;

2. Полином содержит степени x той же четности, что и номер n, так что

. (7)

Просмотрим граничные условия:

x=1,

Формула (6) называется дифференциальной формулой для полиномов Лежандра или формулой Родрига. С учетом (7)

. (8)

Рекуррентные формулы

Используя производящую функцию

и найдем частные производные по и по :

, (9)

, (9а)

Запишем левую часть формулы (9) в виде степенного ряда относительно , подставив в нее ряд (3) для и ряд

. (10)

Возьмем производную по :

m-1=n 1-a m+1=n 2-a m=1 3-a m=0 4-ая m+1=n 5-ая

m=n+1 сумма m=n-1 сумма n=m сумма m=n сумма m=n-1 сумма

n=0,1,2 n=2,3,4, n=1,2 n=0 n=1,2

Запишем коэффициенты при ⁰, ¹,…, ⁿ.

, где n ≥2. (11)

Таким образом, выражение (11) представляет собой рекуррентное соотношение.

Домножим (9) на ,(10) на ( ) и вычтем

, (12)

При любом m получаем m+1=n, n=1

, (13)

рекуррентная формула

, (14)

Продифференцируем по x соотношение (11):

, (15)

Уравнение Лежандра

Найдем дифференциальное уравнение, решением которого является . Для этого исключим P_n_-1 и P_n_-1 из (14) и (15). Подставляем (14) в (15):

Продифференцируем:

. (16)

Соотношение (16) представляет собой уравнения Лежандра. Тем самым доказано что полиномы Лежандра являются собственными функциями, соответствующими собственным значениям , следующей задачи.

Найти такие значения λ, для которых на отрезке существуют нетривиальное решение уравнение Лежандра

, (17)

с областью с условием . Таким образом нетривиальное решение существует при

Ортогональность полиномов Лежандра и их норма

Докажем что полиномам Лежандра различных порядков ортогональны на отрезке . Согласно общей теореме присоединенные функции образуют ортогональную систему. Вычислим норму присоединенных функций. Попутно будет доказана их ортогональность.

, (1)

, (2)

где , . Домножим (1) на (x), а (2) на (x), а затем вычтем (1) из (2):

, (3)

Доказать ортогональность если . Если , то полиномы Лежандра разных порядков ортогональны между собой:

. (4)

Норма полиномов Лежандра

Вычислим норму полиномов Лежандра

(5)

Применим рекуррентную формулу (11) (§1.1) дважды: сначала выразим из нее (предварительно заменив в (11) n+1 на n) через и , а затем через и . Учитывая ортогональность полиномов , , , получим:

(6)

Рекуррентная формула для нормы:

(7)

Полиномы Лежандра образуют замкнутую систему функций. Поэтому произвольная функция может быть разложена в ряд

который домножим на и проинтегрируем:

Система ортогональных функций называют замкнутой если не существует непрерывных функции тождественно равных 0 и ортогональных ко всем функциям системы.

Система ортогональных функций называется полной в (a,b) если любую непрерывную функцию можно аппроксимировать с любой степенью точности при помощи линейной комбинации .

Замкнутость есть условие полноты, а полнота есть следствие замкнутости.

Упражнения

1. Получить полиномы Лежандра, используя производящую функцию, для n=0,1,2.

2. Получить полиномы Лежандра, используя формулу Родрига, для n=0,1,2,3,4,5.

3. Получить полиномы Лежандра, используя рекуррентную формулу для коэффициентов, для n=0,1,2,3,4,5,6.

Ответ:

4. Построить и исследовать (найти точки перегибов, максимумов и минимумов) полиномов Лежандра для n=0,1,2,3,4,5.

5. Получить присоединенные функции Лежандра для n, m=0,1,2,3,4. Выразить данные функции через тригонометрические функции.

6. Получить сферические функции для l=0,1,2.

7. Показать, что сферические функции ортонормированны. Ограничиться l=0,1.

8. Выполнить визуализацию сферических функций.

Ответ:

Присоединенные функции Лежандра

Присоединенные функции

Рассмотрим следующую задачу:

Найдем собственные значения и собственные функции следующего уравнения

(1)

-1<x<1 при условии ограниченности

(2)

Будем искать решение в виде:

(3)

Подставим (3) в (1), найдем

. (4)

Это же уравнение получается для производной решения уравнения Лежандра (17) из §1, если продифференцировать m раз.

, (4а)

Продифференцируем соотношение (4) n раз, тогда получим

,(5)

. (6)

Нетривиальное и ограниченное решение решении уравнения Лежандра существует при , где m>0. Решение Соотношение (6) является решением уравнения (3)

есть собственная функция исходной задачи (1) для собственных значений , где m-целые числа (7). - присоединенная функция Лежандра

Если n=0, то

при .

Норма присоединенной функции

Согласно общей теоремы присоединенные функции образуют ортогональную систему. Вычислим норму и докажем ортогональность

(8)

Уменьшим n на 1:

(9)

, (10)

Введем обозначение:

Подстановка обращается в нуль, а интеграл в силу (8) и (7) преобразуется к виду

, (11)

, (12)

Нетрудно показать, что

Сферические функции

Сферические функции проще всего могут быть введены при решении уравнения Лапласа для шаровой области методом разделения переменных. Разделение переменных в уравнении Лапласа в сферических координатах:

где - угловая часть оператора Лапласа в сферических координатах.

, (1)

. (2)

Решение уравнения Лапласа:

, (3)

. (4)

Для определения получаем уравнения

, (5)

где - константа разделения.

, (6)

Для определения R(r) получаем уравнение Эйлера:

. (6а)

Следствия:

1. Функция должна быть ограничена на сфере любого радиуса.

2. Функция должна в точках , , а также .

Ограниченное решение уравнения (6) обладающее непрерывными производными до второго порядка называются сферическими функциями. Решение задачи для ищем также методом разделения переменных, полагая

. (7)