Модуль вектора. Длина вектора.
Длина направленного отрезка определяет числовое значение вектора и называется длиной вектора или модулем вектора. Для обозначения модуля вектора используются две вертикальные линии слева и справа |AB|.
Модуль вектора (длина вектора) |a| в прямоугольных декартовых координатах равен квадратному корню из суммы квадратов его координат.
Так в случае плоской задачи модуль вектора можно найти по следующей формуле
|{a}| = sqrt{x_1^2+y_1^2}.
Пример вычисления модуля вектора (длины вектора)
Найти длину вектора {a} = {2;4}.
Решение: |{a}| = sqrt{2^2+4^2}=sqrt{4+16}=sqrt{20}=2sqrt{5}.
Так в случае пространственной задачи модуль вектора {a} = {x_1;y_1;z_1} можно найти по следующей формуле |{a}| = sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}.
Пример вычисления модуля вектора (длины вектора)
Найти длину вектора {a} = {2; 4; 4}.
Решение: |{a}| = sqrt{2^2+4^2+4^2}=sqrt{4+16+16}=sqrt{36}=6.
Ортогональные векторы. Ортонормированный базис.
Определение. Два вектора называются ортогональными, если угол между ними равен прямому углу, т.е. 
.
Обозначение: 
– векторы 
и 
ортогональны.
Определение. Тройка векторов 
называется ортогональной, если эти векторы попарно ортогональны друг другу, т.е. 
, 
.
Определение. Тройка векторов называется ортонормированной, если она ортогональная и длины всех векторов равны единице: 
.
Замечание. Из определения следует, что ортогональная и, следовательно, ортонормированная тройка векторов является некомпланарной.
Определение. Упорядоченная некомпланарная тройка векторов , отложенных от одной точки, называется правой (правоориентированной), если при наблюдении с конца третьего вектора 
на плоскость, в которой лежат первые два вектора и , кратчайший поворот первого вектора ко второму происходит против часовой стрелки. В противном случае тройка векторов называется левой (левоориентированной).
|
|
|
рис.6.
Здесь, на рис.6 изображена правая тройка векторов . На следующем рис.7 изображена левая тройка векторов :
рис.7.
Определение. Базис векторного пространства 
называется ортонормированным, если 
ортонормированная тройка векторов.
Обозначение. В дальнейшем мы будем пользоваться правым ортонормированным базисом 
, см. следующий рисунок:
рис.9.
Любой вектор можно разложить по этому базису:
.
10
Определение скалярного произведения
Скалярным произведением двух ненулевых векторов а и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла междуними.
Обозначается ab,а* b(или( а, b)).Итак, по определению,
Формуле (6.1) можно придать иной вид. Так как | a| cosg=пр ba, (см. рис.14), a |b| cosg = пр ab, то получаем:
т. е. скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженному на проекцию другого на ось, сонаправленную с первым вектором.
|
|
|
Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 1012; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!