Теория вероятностей и математическая статистика

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 10Следующая ⇒

Преподаватель: Фукалова Ольга Вячеславовна

Всего: 144 часов

в т.ч:

- практические занятия – 4 часа;

- лекции – 10 часов;

Контроль:

- экзамен

- контрольная работа

Элементы теории вероятностей и математической статистики

Список рекомендуемой литературы:

Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1977.
Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 1979.
Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. – М.: Наука, 1988.
Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. – М.: Наука, 1982.
Зубков А.М., Севастьянов Б.А., Чистяков В.П. Сборник задач по теории вероятностей. – М.: Наука, 1989.
Колемаев В.А., Староверов О.В., Турудаевский В.Б. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1991.
Сборник задач по математике для ВТУЗов. Ч. 3. Теория вероятностей и математическая статистика. / Под. Ред. Ефимова А.В. – М.: Наука, 1990.
Введение в теорию вероятностей и её приложения. Т. 1, 2. – М.: Мир, 1984.
Ширяев А.Н. Вероятность. – М.: Наука, 1980.

Варианты контрольной работы

Номер варианта контрольной работы, выполняемой студентом, должен совпадать с последней цифрой номера его зачетной книжки. Задание 5 смотреть в общей таблице.

Вариант 0

Имеются 12 единиц товара в одинаковых упаковках. Известно, что в четырех из них товар первого сорта. Случайным образом отбирают 3 единицы товара. Вычислить вероятность того, что среди них: а) только упаковки с товаром первого сорта; б) ровно одна упаковка с товаром первого сорта.

В магазин поступила обувь от двух поставщиков. Количество обуви, поступившей от первого поставщика, в 2 раза больше, чем от второго. Известно, что в среднем 20% обуви от первого поставщика и 35% обуви от второго поставщика имеют различные дефекты отделки. Из общей массы наугад отбирают одну упаковку с обувью. Оказалось, что она не имеет дефекта отделки. Какова вероятность, что её изготовил первый поставщик?

Задан закон распределения дискретной случайной величины X:

Х	-2	-1	0	1	2	3	4
Р	0,01	p	0,23	0,2	0,1	0,1	0,06

Найти:

a) неизвестную вероятность p;

b) математическое ожидание М, дисперсию D и среднее квадратическое отклонение s данной случайной величины;

в) функцию распределения и построить её график;

г) закон распределения случайной величины , если её значения заданы функциональной зависимостью

Известно, что в среднем 64% студентов потока выполняют контрольные работы в срок. Какова вероятность того, что из 100 студентов потока задержат представление контрольных работ:

а) 30 студентов; б) от 30 до 40 студентов?

Смотреть в общей таблице.

Вариант 1

1. В коробке 25 одинаковых по форме шоколадных конфет. Известно, что 15 штук из них сорта «Мишка на Севере», а остальные — сорта «Красная Шапочка». Случайным образом выбирают 3 конфеты. Вычислите вероятность того, что среди них: а). Все конфеты сорта «Мишка на Севере»; б). Только одна конфета этого сорта.

В магазин поступил одноименный товар, изготовленный двумя предприятиями. С первого предприятия поступило 150 единиц, из них 30 единиц первого сорта, а со второго предприятия 200 единиц, из них 50 первого сорта. Из общей массы товара наугад извлекается одна единица товара 1-го сорта. Какова вероятность того, что она изготовлена на первом предприятии?

3. Задан закон распределения дискретной случайной величины X:

Найти:

a. неизвестную вероятность р;

b. математическое ожиданиеМ, дисперсию D и среднее квадратическое отклонение данной случайной величины;

в. функцию распределения и построить её график;

г. закон распределения случайной величины , если её значения заданы функциональной зависимостью

Известно, что в среднем 14% стаканов, изготовляемых на данном предприятии, имеет дефект. Какова вероятность того, что из 300 стаканов данной партии:

а) имеют дефект 45;

б) не имеют дефекта от 230 до 250?

Смотреть в общей таблице.

Вариант 2

1. В туристической группе 15 человек, среди которых только 5 человек хорошо говорят по-английски. В Лондоне группу случайным образом расселили в два отеля (3 человека и 12 человек соответственно). Вычислите вероятность того, что из членов группы в первом отеле: а) все туристы говорят хорошо по-английски; б). Только один турист хорошо говорит по-английски.

Покупатель может приобрести нужный ему товар в двух магазинах. Вероятности обращения в каждый из двух магазинов зависят от их местоположения и соответственно равны 0,3 и 0,7. Вероятность того, что к приходу покупателя нужный ему товар не будет распродан, равна 0,8 для первого магазина и 0,4 для второго. Какова вероятность того, что покупатель приобретет нужный товар.

Задан закон распределения дискретной случайной величины X:

Х	-2	-1	0	1	2	3	4
Р	0,0115	0,12	0,18	0,30	Р	0,12	0,05

Найти:

а) неизвестную вероятность р;

б) математическое ожидание М, дисперсию D и среднее квадратическое отклонение s данной случайной величины

в) функцию распределения и построить её график;

г) закон распределения случайной величины , если её значения заданы функциональной зависимостью

4. Установлено, что предприятие бытового обслуживания выполняет в срок в среднем 60% заказов. Какова вероятность того, что из 150 заказов, принятых в течение некоторого времени, будут выполнены в срок:

а) 90 заказов; б) от 93 до 107 заказов?

Смотреть в общей таблице.

Вариант 3

1. К экзамену приготовлено 24 одинаковых ручки. Известно, что треть из них имеет фиолетовый стержень, остальные - синий стержень. Случайным образом отбирают три ручки. Вычислить вероятность того, что а) все ручки имеют фиолетовый стержень; б) только одна ручка имеет фиолетовый стержень.

2. Пассажир может приобрести билет в одной из двух касс. Вероятность обращения в первую кассу составляет 0,4, а во вторую - 0,6. Вероятность того, что к моменту прихода пассажира нужные ему билеты будут распроданы, равна 0,35 для первой кассы и 0,7 для второй. Пассажир посетил одну из касс и приобрел билет. Какова вероятность того, что он приобрел его во второй кассе?

3. Задан закон распределения дискретной случайной величины X:

Х	-2	-1	0	1	2	3	4
Р	0,05	0,12	0,13	0,30	Р	0,12	0,05

Найти:

а) неизвестную вероятность р;

б) математическое ожидание М, дисперсию D и среднее квадратическое отклонение s данной случайной величины;

в) функцию распределения и построить её график;

г) закон распределения случайной величины , если её значения заданы функциональной зависимостью

4. Известно, что в данном технологическом процессе 10% изделий имеют дефект. Какова вероятность того, что в партии из 400 изделий:

а) не будут иметь дефекта342 изделия;

б) будут иметь дефект от 30 до 52 изделий.

Смотреть в общей таблице.

Вариант 4

1. В упаковке 12 одинаковых книг. Известно, что каждая третья книга имеет дефект обложки. Случайным образом выбирают 3 книги. Вычислите вероятность того, что среди них: а) все книги имеют дефект обложки; б). Только одна книга имеет этот дефект.

2. Два контролера производят оценку качества выпускаемых изделий. Вероятность того, что очередное изделие попадет к первому контролеру, равна 0,55; ко второму контролеру — 0,45.Первый контролёр выявляет дефект с вероятностью 0,8, а второй - с вероятностью 0,9. Вычислите вероятность того, что изделие с дефектом будет признано годным к эксплуатации.

3. Задан закон распределения дискретной случайной величины X эксплуатации.

X	-2	-1	0	1	2	3	4
р	0,42	0,23	р	0,10	0,06	0,03	0,01

Найти:

а) неизвестную вероятность р;

б) математическое ожидание М, дисперсию D и среднее квадратическое отклонение s данной случайной величины;

в) функцию распределения и построить её график;

г) закон распределения случайной величины , если её значения заданы функциональной зависимостью

4. По данным телеателье установлено, что в среднем 20% цветных телевизоров выходят из строя в течение гарантийного срока. Какова вероятность того, что из 225 проданных телевизоров будут работать исправно в течение гарантийного срока:

а) 164 телевизора;

б) от 172 до 184 телевизоров.

Смотреть в общей таблице.

Вариант 5

В нижней палате парламента 40 депутатов, среди которых первая партия имеет 20 представителей, вторая — 12 представителей, третья 5 представителей, а остальные считают себя независимыми. Случайным образом выбирают трех депутатов. Вычислите вероятность того, что среди них: а). Только представители первой партии, б). Только один депутат из первой партии.

Два специалиста ОТК проверяют качество выпускаемых изделий, причем каждое изделие с одинаковой вероятностью может быть проверено любым из них. Вероятность выявления дефекта первым специалистом равна 0,8, а вторым 0,9. Из массы проверенных изделий наугад выбрано одно, оно оказалось с дефектом. Какова вероятность того, что ошибку допустил второй контролер?

Задан закон распределения дискретной случайной величины X:

Х	-2	-1	0	1	2	3	4
Р	0,05	0,12	0,12	0,30	Р	0,12	0,04

Найти:

а) неизвестную вероятность р;

б) математическое ожидание М, дисперсию D и среднееквадратическое отклонение s данной случайной величины;

в) функцию распределения F(x) и построить ей график;

г) закон распределения случайной величины , если её значения заданы функциональной зависимостью

При оценке качества продукции было установлено, что в среднем третья часть выпускаемой фабрикой обуви имеет различные дефекты отделки. Какова вероятность того, что в партии из 200 пар, поступившей в магазин:

а) будут иметь дефекты отделки 60 пар;

б) не будут иметь дефектов отделки от 120 до 148 пар.

Смотреть в общей таблице.

Вариант 6

В ящике 18 одинаковых бутылок пива без этикеток. Известно, что треть из них «Жигулевское». Случайным образом выбирают 3 бутылки. Вычислите вероятность того, что среди них: а) только пиво сорта «Жигулевское»; б) ровно одна бутылка этого сорта.

В двух одинаковых коробках находятся карандаши "Конструктор". Известно, что треть карандашей в первой коробке и 0,25 во второй имеют твердость ТМ. Наугад выбирается коробка, из нее наугад извлекается один карандаш. Он оказывается твердости ТМ. Какова вероятность того, что он извлечен из первой коробки?

Задан закон распределения дискретной случайной величины X:

Х	-2	-1	0	1	2	3	4
Р	0,05	0,09	0,15	0,30	Р	0,12	0,05

Найти:

а) неизвестную вероятность р;

б) математическое ожидание М, дисперсию D и среднее квадратическое отклонение s данной случайной величины;

в) функцию распределения F(x) и построить ей график;

г) закон распределения случайной величины , если её значения заданы функциональной зависимостью

4. Известно, что вероятность рождения мальчика равна 0,51, а девочки 0,49. Какова вероятность того, что 300 новорожденных окажется:

а) 150 мальчиков;

б) от 150 до 200 мальчиков?

Смотреть в общей таблице.

Вариант 7

1. В студенческой группе 20 девушек. Известно, что 5 из них не любят читать детективы. Случайным образом выбирают трех девушек и дарят им по детективу. Вычислите вероятность того, что: а). Все девушки оценят этот подарок; б). Только одна девушка оценит этот подарок.

2. Товаровед плодоовощной базы определяет сорт поступившей от постоянного поставщика партии яблок. Известно, что в среднем 40% выращенного поставщиком урожая составляют яблоки первого сорта. Вероятность того, что товаровед признает первосортную партию первым сортом, равна 0,85. Кроме того, он может допустить ошибку, сочтя непервосортную партию первосортной, с вероятностью 0,2. Какова вероятность того, что он неверно установит сорт партии яблок?

3. Задан закон распределения дискретной случайной величины X:

Х	-2	-1	0	1	2	3	4
Р	0,01	0,15	0,16	0,30	Р	0,12	0,04

Найти:

а) неизвестную вероятность р;

б) математическое ожидание М, дисперсию D к среднее квадратическое отклонение s.

в) функцию распределения F(x) и построить ей график;

г) закон распределения случайной величины , если её значения заданы функциональной зависимостью

4. Вероятность нормального расхода электроэнергии за день ша предприятии бытового обслуживания равна 0,7. Какова вероятность того, что из 90 дней предприятие нормально расходует электроэнергию:

а) в течение 60 дней; б) от 60 до 90 дней?

Смотреть в общей таблице.

Вариант 8

1. В коробке 30 одинаковых юбилейных монет. Известно, что 5 из них имеют нестандартный процент содержания золота. Случайным образом выбирают три монеты. Вычислите вероятность того, что: а). Все монеты имеют нестандартный процент содержания золота; б). Только одна монета имеет нестандартный процент содержания золота.

Магазин получил две равные по количеству партии одноименного товара. Известночто, 25% первой партии и 40% второй партии составляет товар первого сорта. Какова вероятность того, что наугад выбранная единица товара будет не первого сорта?

Задан закон распределения дискретной случайной величины X:

Найти:

а) неизвестную вероятность р;

б) математическое ожидание М, дисперсию D и среднее квадратическое отклонение s данной случайной величины.

в) функцию распределения F(x) и построить ей график;

г) закон распределения случайной величины , если её значения заданы функциональной зависимостью

4. Известно, что вероятность опоздания ежедневного поезда на станцию равна 0,2. Какова вероятность того, что в течение 200 дней поезд опоздает на станцию:

а) 50 раз;

б) от100 до 150 раз?

Смотреть в общей таблице.

Вариант 9

На витрине 32 одинаковых булочки. Известно, что среди них четверть булочек с изюмом, остальные с корицей. Случайным образом отбирают три булочки. Вычислите вероятность того, что: а). Все выбранные булочки с изюмом; б). Только одна булочка с изюмом.

Укупорка банок производится двумя автоматами с одинаковой производительностью. Доля банок с дефектом укупорки для первого автомата составляет 1%, а для второго 0,5%. Какова вероятность того, что наугад взятая банка будет иметь дефект укупорки?

Задан закон распределения дискретной случайной величины X:

х	-2	-1	0	1	2	3	4
р	0,08	0,1	0,14	0,17	0,1	0,1	р

Найти:

а) неизвестную вероятность р;

б) математическое ожидание М, дисперсию D и среднее квадратическое отклонение s данной случайной величины.

г) закон распределения случайной величины , если её значения заданы функциональной зависимостью

4. Установлено, что третья часть покупателей, при посещении модного магазина приобретает себе одежду. Какова вероятность того, что из 150 посетителей магазина:

а) ровно 50 человек приобретут товар;

б) от 100 до 120 человек приобретут товар?

Смотреть в общей таблице.

Задание 5

После обработки результатов эксперимента составлена таблица, в первой строке которой указаны группы возможных значений некоторой случайной величины , а во второй строке – численность каждой группы значений . Найти объем выборки ;относительные частоты , соответствующие каждой отдельной группе значений случайной величины; составить вариационный ряд распределения данной случайной величины. Найти числовые характеристики выборки: среднее арифметическое, выборочную дисперсию и среднеквадратическое отклонение (см. табл.):

Вариант 0	53	54	56	58
Вариант 0	12	10	4	1
Вариант 1	73	75	76	79
Вариант 1	5	12	11	3

Вариант 2	38	40	44	45
Вариант 2	1	6	12	13
Вариант 3	21	24	26	27
Вариант 3	13	10	4	6
Вариант 4	27	30	33	40
Вариант 4	5	6	11	10
Вариант 5	63	65	68	70
Вариант 5	4	12	15	9
Вариант 6	17	21	23	25
Вариант 6	2	11	13	12
Вариант 7	42	45	48	52
Вариант 7	13	2	14	3
Вариант 8	56	60	63	65
Вариант 8	11	10	3	7
Вариант 9	28	32	36	42
Вариант 9	12	5	11	6

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ КВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

ЗАДАЧА 1

Наскладе университетахранится 28 одинаковых упаковок писчейбумаги. Известно, что в четырехиз нихсодержитсябумага более низкого качества. Случайнымобразомвыбирают три упаковкибумаги, Вычислить вероятность того, что среди них;

нет упаковок с бумагой более низкого качества,

есть однаупаковкатакой бумаги.

Решение. Общеечисло возможныхэлементарныхисходов для данных испытанийравно числуспособов, которымиможноизвлечь 3 упаковки бумаги из28 упаковок,то есть

= = = =13·9·28=3276 – числу сочетаний из 28 элементов по 3.

а)Подсчитаемчисло исходов, благоприятствующих интересующему нас событию (нет упаковокс бумагой более низкого качества). Это число исходов ровно числуспособов, которыми можно извлечь 3 упаковки бумаги из 24 упаковок (столько упаковок содержит бумагу высшего сорта), то есть

= = = =11·23·8=2024

искомая вероятностьравна отношению числа исходов, благоприятствующихсобытию, к числу всех элементарных исходов:

P₁= = ≈0,62

б) Подсчитаем число исходов,благоприятствующих данному событию (среди трех упаковокбумаги ровно 1 упаковкасодержитбумагу болеенизкого качества): две упаковкиможно выбрать из 24 упаковок: = = = =276 способами, при этом одну упаковку нужно выбирать из четырех: = = =4 способами. Следовательно,число благоприятствующих исходов равно· =276·4=1104

Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих данному событию, к числу всехэлементарныхисходов p₂= = ≈0,34

Ответ: а)p₁ =0,62;б) р₂ =0,34.

ЗАДАЧА 2

Магазинполучает электролампочкис двух заводов,причем доля первого завода составляет 25 %. Известно,чтодоля брака на этих заводах равна соответственно5 % и 10 % от всей выпускаемой

продукции. Продавец наугад берет одну лампочку. Какова вероятность того,что она окажется бракованной?

Решение: Обозначим черезАсобытие - «лампочкаокажетсябракованной».Возможны следующие гипотезы о происхождении этой лампочки:H₁-лампочка поступила с первого завода,H₂-лампочка поступила со второгозавода.Так как доля первого завода составляет 25 %, то вероятности этих гипотез равнысоответственно p(H₁)= =0,25; p(H₂)= =0,75.

Условная вероятность того, что бракованнаялампочка выпущенапервымзаводом–p(A/H₁)= =0,05, вторымзаводом- p(A/H₂)= =0,10 искомую вероятностьтого, что продавец взял бракованную лампочку, находим по формуле полной вероятности

р(А) = P(H₁)· p(A/H₁)+P(H₂)·(A/H₂)=0,25·0,05+0,75·0,10=0,0125+0,075=0.0875

Ответ: р(А) = 0,0875.

Для решениязадачи5 см.[5]глава6 § 1—3, глава 7 § 1-2, глава8 § J—3.

ЗАДАЧА 3.

Задан закон распределения дискретной случайной величеныX:

X	-4	-2	0	2	4	6	8
p	0,05	p	0,12	0,23	0,32	0,14	0,04

Найти:

а) неизвестную вероятность р.

б) математическое ожидание М, дисперсию D исреднее квадратическоеотклонение σ данной случайной величены;

Решение:

а) так как сумма всех, вероятностей должна равняться единице, тополучим уравнение

0,05-p + 0,12 + 0,23-0,32 + 0,14+0,04 = 1.

Отсюда р+0,9 = 1и р=0,1.

б)Математическое ожидание М это сумма всех произведенийзначенийслучайной величины на их вероятности:

М = (-4)·0,05+(-2)·0,1 + 0·0,12 + 2·0,23 + 4·0,32 + 6·0,14 + +8·0,04-0,2-0,2+0 + 0,46 + 1,28 + 0,84 + 0.32 = -0,4 + 2,9 = 2,5.

Дисперсия D=∑(x₁)²·p₁-M²=

=(-4)·0.05+(-2)²·0,1+0²·0,12+2²·0,23+4²·0,32+6²·0,14+8²·0,04-(2,5)²=

=0,8+0+0,92+5,12+5,04+2,56-6,25=8,59

Среднее квадратическое отклонение σ = = ≈2,9

в) Если

Если

Итак, функция распределения может быть записана так:

График этой функции приведен на рисунке:

г) Сначала найдем значения случайной величины .

По условиям задачи

Поэтому

Составим таблицу вида:

Y	7	3	-1	3	7	11	15
	0,05	0,1	0,12	0,23	0,32	0,14	0,04

Чтобы получить закон распределения случайной величины необходимо:

1) рассмотреть её значения;

2) сложить вероятности, соответствующие совпадающим значениям данной таблицы.

Итак, закон распределения случайной величины :

Y	-1	3	7	11	15
P	0,12	0,33	0,37	0,14	0,04

ЗАДАЧА 4.

Известно, что вероятность положительного исхода некоторого опыта равна 0,125. Найдите вероятность того, что в серии из 128 опытов положительный исход произойдет

а) в 20 опытах

б) от 12 до 20 опытов.

Решение:

а) воспользуемся локальной теоремой Лапласа. Вероятность того, что в испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна ,равна раз (безразлично, в какой последовательности) приближенно равна

Так как

Значение функции находим в таблице:

Итак,

Отметим, что таблица функции приведена только для положительных значений. Если же значение х получилось отрицательным, точки знак минус можно просто опустить в силу четности функции .

б) воспользуемся интегральной теоремой Лапласа. Вероятность того, что в независимых испытаниях событие наступит от до раз приближенно равна

Так как

где

Значение функции также находим в специальной таблице. В таблице . Для отрицательных значений х используют эту же таблицу, учитывая, что является нечетной функцией, то есть . Итак, Отсюда

Ответ:

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 2053; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 567 8 9 10 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!