В процессе доказательства теоремы 6 мы выяснили, что



                                     = ­­ n, || = k Þ = k n.

Также || n , |k|= | (s)| , и мы убрали модуль в формуле (1) так, что

                                    k=– · n  Þ =–kn .

Итак, мы уже знаем производные и . Найдем :

n = b´t Þ = ´t + b´ = –kn´t + b´ k n =–k(–b) + k (–t).

Запишем все формулы вместе:

                                                 =        k n,

                                                 =  –k t+kb,                   (4)

                                 = –kn .            

Они называются формулами Френе.

Из этих формул и теорем о существовании и единственности решений систем дифференциальный уравнений вытекает основная теорема теории кривых.

Теорема 8.Если некотором интервале IÌR заданы непрерывная функция k(s)  и гладкая функция  k(s)>0, то существует кривая g класса С2, для которой  s будет естественным параметром, kкривизной, а k – кручением. Такая кривая определяется однозначно с точностью до положения в пространстве, т.е. любые две такие кривые совмещаются движением.

 

§7.  Вид кривой в подвижном репере

Пусть g – кривая класса с3, PÎg – точка в которой k¹0, k¹0, {P, t, n, b}  – подвижной репер. Он определяет декартову систему координат с началом Р. Обозначим координаты х, у, z.

Пусть = c(s) – уравнение кривой с естественным параметром и P=c(0). Разложим c(s) в ряд Тейлора в окрестности s=0:

c(s) = c(0) + s (0) + (s) + (s) + s3 (s),

где (s) – бесконечно малый вектор при s®0. Поскольку c(0) – начало координат, то c(0) = . Мы также знаем, что = t, = kn. Тогда с помощью формул Френе находим

= n + k = n + k(– kt +kb) = nk2t + kkb.

c(s) = s×t + n + (nk2t + kkb) + s3 (s).

Значит, если отбросить бесконечно малые величины порядка более 3, то

c(s) = t + n + b,

Поэтому параметрические уравнения кривой в окрестности точки P в координатах будут иметь вид:

 

если для каждой координаты оставить только величину, имеющую наибольшее значение при малых s.

Соприкасающаяся плоскость парал-лельна t  и n, т.е. в нашей системе координат это будет плоскость Оxy. Поэтому проекция кривой на эту плоскость будет иметь уравнение

                           

Вид этой проекции в ближайшей окрестности точки P изображен на рисунке 1 (парабола).

Спрямляющая плоскость параллельна t и b, т.е. в нашей системе координат это будет плоскость Оxz. Поэтому проекция кривой на эту плоскость будет иметь уравнение 

                

Вид этой проекции в ближайшей окрестности точки P изображен на рисунке 2 (кубическая парабола).

Нормальная плоскость параллельна n и b, т.е. в нашей системе координат это будет плоскость Оyz. Поэтому проекция кривой на эту плоскость будет иметь уравнение

                          

Вид этой проекции в ближайшей окрестности точки P изображен на рисунке 3 (полукубическая парабола).

 


Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 153;