В процессе доказательства теоремы 6 мы выяснили, что
= n, || = k Þ = k n.
Также || n , |k|= | (s)| , и мы убрали модуль в формуле (1) так, что
k=– · n Þ =–kn .
Итак, мы уже знаем производные и . Найдем :
n = b´t Þ = ´t + b´ = –kn´t + b´ k n =–k(–b) + k (–t).
Запишем все формулы вместе:
= k n,
= –k t+kb, (4)
= –kn .
Они называются формулами Френе.
Из этих формул и теорем о существовании и единственности решений систем дифференциальный уравнений вытекает основная теорема теории кривых.
Теорема 8.Если некотором интервале IÌR заданы непрерывная функция k(s) и гладкая функция k(s)>0, то существует кривая g класса С2, для которой s будет естественным параметром, k – кривизной, а k – кручением. Такая кривая определяется однозначно с точностью до положения в пространстве, т.е. любые две такие кривые совмещаются движением.
§7. Вид кривой в подвижном репере
Пусть g – кривая класса с3, PÎg – точка в которой k¹0, k¹0, {P, t, n, b} – подвижной репер. Он определяет декартову систему координат с началом Р. Обозначим координаты х, у, z.
Пусть = c(s) – уравнение кривой с естественным параметром и P=c(0). Разложим c(s) в ряд Тейлора в окрестности s=0:
c(s) = c(0) + s (0) + (s) + (s) + s3 (s),
|
|
|
где (s) – бесконечно малый вектор при s®0. Поскольку c(0) – начало координат, то c(0) = . Мы также знаем, что = t, = kn. Тогда с помощью формул Френе находим
= n + k = n + k(– kt +kb) = n – k2t + kkb.
c(s) = s×t + n + (n – k2t + kkb) + s3 (s).
Значит, если отбросить бесконечно малые величины порядка более 3, то
c(s) = t + n + b,
Поэтому параметрические уравнения кривой в окрестности точки P в координатах будут иметь вид:
если для каждой координаты оставить только величину, имеющую наибольшее значение при малых s.
Соприкасающаяся плоскость парал-лельна t и n, т.е. в нашей системе координат это будет плоскость Оxy. Поэтому проекция кривой на эту плоскость будет иметь уравнение
Вид этой проекции в ближайшей окрестности точки P изображен на рисунке 1 (парабола).
Спрямляющая плоскость параллельна t и b, т.е. в нашей системе координат это будет плоскость Оxz. Поэтому проекция кривой на эту плоскость будет иметь уравнение
Вид этой проекции в ближайшей окрестности точки P изображен на рисунке 2 (кубическая парабола).
Нормальная плоскость параллельна n и b, т.е. в нашей системе координат это будет плоскость Оyz. Поэтому проекция кривой на эту плоскость будет иметь уравнение
|
|
|
Вид этой проекции в ближайшей окрестности точки P изображен на рисунке 3 (полукубическая парабола).
Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 316; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!