Способы определения координат центра тяжести
Исходя из полученных ранее общих формул, можно указать способы определения координат центров тяжести твердых тел:
1 Аналитический (путем интегрирования).
2 Метод симметрии. Если тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то его центр тяжести лежит соответственно в плоскости симметрии, оси симметрии или в центре симметрии.
3 Экспериментальный (метод подвешивания тела).
4 Разбиение. Тело разбивается на конечное число частей, для каждой из которых положение центра тяжести C и площадь S известны. Например, проекцию тела на плоскость xOy (рисунок 1.8) можно представить в виде двух плоских фигур с площадями S1 и S2 (S = S1 + S2). Центры тяжести этих фигур находятся в точках C1(x1, y1) и C2(x2, y2). Тогда координаты центра тяжести тела равны
Рисунок 1.8
5Дополнение (метод отрицательных площадей или объемов). Частный случай способа разбиения. Он применяется к телам, имеющим вырезы, если центры тяжести тела без выреза и вырезанной части известны. Например, необходимо найти координаты центра тяжести плоской фигуры (рисунок 1.9):
Рисунок 1.9
Изменение моментов инерции плоской фигуры при параллельном переносе осей.
Изменение моментов инерции плоской фигуры при повороте осей. Главные оси и главные осевые моменты инерции (вывод формул для определения положения и величин главных осевых моментов инерции).
Как уже известно, зная для данной фигуры центральные моменты инерции 
, 
и 
, можно вычислить момент инерции и относительно любой другой оси.
|
|
|
При этом можно за основную систему осей принять такую систему, при которой формулы существенно упрощаются. Именно, можно найти систему координатных осей, для которых центробежный момент инерции равен.нулю. В самом деле, моменты инерции и всегда положительны, как суммы положительных слагаемых, центробежный же момент
может быть и положительным и отрицательным, так как слагаемые zydF могут быть разного знака в зависимости от знаков z и у для той или иной площадки. Значит, он может быть равен нулю.
Оси, относительно которых центробежный момент инерции обращается в нуль, называются главными осями инерции. Если начало такой системы помещено в центре тяжести фигуры, то это будут главные центральные оси. Эти оси мы будем обозначать 
и 
; для них
Найдем, под каким углом 
наклонены к центральным осям у и z (фиг. 198) главные оси.
Рис.1. Расчетная модель для определения положения главных осей инерции.
В известном выражении для перехода от осей yz к осям 
, для центробежного момента инерции дадим углу 
значение ; тогда оси 
и 
, совпадут c главными, и центробежный момент инерции будет равен нулю:
|
|
|
или
откуда:
| (1) |
Этому уравнению удовлетворяют два значения 
, отличающиеся на 180°, или два значения 
, отличающиеся на 90°. Таким образом, это уравнение дает нам положение двух осей, составляющих между собой прямой угол. Это и будут главные центральные оси и , для которых .
Пользуясь этой формулой, можно по известным , и 
получить формулы для главных моментов инерции 
и 
. Для этого опять воспользуемся выражениями для осевых моментов инерции общего положения. Они определяют значения и если вместо подставить
| (2) |
Полученными соотношениями можно пользоваться при решении задач. Одним из главных моментов инерции является 
, другим 
.
Формулы (2) можно преобразовать к виду, свободному от значения . Выражая 
и 
через 
и подставляя их значения в первую формулу (2), получим, делая одновременно замену 
из формулы (1):
Заменяя здесь из формулы (1) дробь 
на
получаем
| (3) |
К этому же выражению можно прийти, делая подобное же преобразование второй формулы (3).
За основную систему центральных осей, от которых можно переходить к любой другой, можно взять не Оу и Oz, а главные оси 
и 
; тогда в формулах не будет фигурировать центробежный момент инерции ( ). Обозначим угол, составленный осью , (Рис.2) с главной осью , через 
. Для вычисления 
, 
и 
, переходя от осей и нужно в ранее найденных выражениях для , и , заменить угол через , а , и — через , и . В результате получаем:
|
|
|
По своему виду эти формулы совершенно аналогичны формулам для нормальных 
и касательных 
напряжений по двум взаимно-перпендикулярным площадкам в элементе, подвергающемся растяжению в двух направлениях. Укажем лишь формулу, позволяющую из двух значений угла выделить то, которое соответствует отклонению первой главной оси (дающей max J) от начального положения оси у:
Теперь можно окончательно формулировать, что надо сделать, чтобы получить возможность простейшим образом вычислять момент инерции фигуры относительно любой оси. Необходимо через центр тяжести фигуры провести оси Оу и Oz так, чтобы, разбивая фигуру на простейшие части, мы могли легко вычислить моменты 
, и 
после этого следует найти по формуле (14.17) величину угла и вычислить главные центральные моменты инерции 
и по формулам (14.18).
Рис.2. Расчетная модель нахождения положения главных осей.
Далее, можно найти момент инерции относительно любой центральной оси 
(Рис.2), наклоненной к под углом :
|
|
|
Зная же центральный момент инерции , можно сейчас же найти момент инерции относительно любой параллельной ей оси 
, проходящей на расстоянии 
(рис.2) от центра тяжести:
Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 1280; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!