Расчет передаточной функции цифрового фильтра



Передаточную функцию цифрового фильтра получим отображением комплексной S-плоскости в P-плоскость (денормирование частоты).

Денормируем частоту в аналоговой области. Заменим аргумент передаточной функции  функцией . Для этого воспользуемся справочными данными [1]: .

В результате получим функцию  дробно-рационального вида

                                         (2.1)

Коэффициенты передаточной функции (2.1) возьмем из  справочных данных [1]:

После подстановки табличных значений в формулу (2.1) получим передато чную характеристику :

  (2.2)           

где  - частота среза [рад/с].

Произведем билинейное преобразование:

,                            (2.3)

получим передаточную характеристику  в виде:

                                       (2.4)

Коэффициенты передаточной функции (2.4) возьмем из справочных данных [1] и рассчитаем их:

 

Подставив полученные коэффициенты в передаточную характеристику вида (2.4) получим:

 

 

 

 

 

Структурные схемы фильтра

Для рекурсивных фильтров соотношение между входной последовательностью  и откликом  может быть записано в виде:

 

,                           (3.1)  

 

то есть текущий отсчет отклика  определяется не только текущим и предшествующим значениями входной последовательности, но и предшествующими отсчетами отклика.

Как уже отмечалось, z-преобразование, соответствующее цифровому фильтру, можно выразить в виде дробно-рационального полинома от переменной z-1, т.е.

,                                                              (3.2)

 Приведя равенство к общему знаменателю, получим разностное уравнение:

.                                                 (3.3)

Задержка отсчетов в передаточной функции отображается следующем образом: , . Свободный член знаменателя   соответствует реакции .

Уравнение (3.3) реализует прямую форму. В ней для преобразования цепей, соответствующих числителю и знаменателю формулы (3.2), используются раздельные элементы задержки.

По передаточной функции цифрового фильтра (2.5) построим структурную схему его реализации прямым способом. Для построения структурной схемы по известной передаточной функции получим уравнение в конечных разностях. Во-первых, запишем передаточную функцию: 

 

    (3.6)   

Во-вторых, выразим из данного соотношения :

         (3.7)

На основании формулы (3.7) построим структурную схему рекурсивного фильтра рисунок 1. Коэффициенты передаточной функции приведены в таблице 1.

Σ
z-1
z-1
z-1
z-1
z-1
z-1

Рисунок 1. Прямая форма построения ЦФ

 

Если записать формулу (3.2) в ином виде:

 ,                                      (3.8)

то можно получить другую структуру цифрового фильтра. Такой фильтр состоит из двух последовательно соединенных фильтров с коэффициентами передачи соответственно  и . Первый из фильтров имеет только полюсы, а второй – только нули.

 

Запишем передаточную функцию  следующим образом

 

;                                                       (3.9)

рекурсивная часть фильтра,

 

;                                                                  (3.10)

нерекурсивная часть фильтра.

Тогда получим пару разностных уравнений:

;                                                            (3.11)

.                                                                        (3.12)

Для построения структурной схемы каноническим методом запишем передаточную функцию (2.5) следующим образом:

 

(3.13)

 

В этом случае разностные уравнения (3.9) и (3.10) примут вид:

 (3.14)

                (3.15)

Поскольку в цепях, соответствующих  и , сигнал  задерживается одинаковое количество отсчетов, то для построения фильтра

 

 

достаточно использовать один набор элементов задержки. Такую структуру называют канонической формой, так как в ней используется минимальное количество элементов.

По уравнениям (3.14) и (3.15) построим структурную схему фильтра, изображенную на рисунке 2.


Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 383;