Разобранные способы решения уравнений с модулями записать в тетрадь (примеры 5,6).

Классная работа

Метод интервалов для непрерывных функций

1) Вспомнить, как решаются уравнения с модулями. Разобранные способы решения уравнений с модулями записать в тетрадь (примеры 5,6).

1. Простейшими уравнениями с модулем являются уравнения вида , (1)

2. где и - некоторые функции.

Для того чтобы решить данное уравнение, нужно найти сначала все решения уравнения = , принадлежащие множеству , затем решить уравнение = на множестве ; объединение множеств найденных решений составляет множество всех решений уравнения (1). Другими словами, уравнение (1) равносильно совокупности систем

или

Пример 1.

Решите уравнение .

Решение.

Исходное уравнение равносильно совокупности систем:

или (1*)

или

Ответ: - 3; - 2; 2; 3.

3. Уравнение вида равносильно совокупности систем

Пример 2.

Решите уравнение

Решение.

Данное уравнение равносильно совокупности систем:

не удовлетворяет условию , следовательно, система имеет решение .

не удовлетворяет условию , следовательно, вторая система имеет решение .

Ответ: .

4. Уравнение вида , где - некоторые функции, равносильно совокупности систем

Пример 3.

Решите уравнение

Решение.

Данное уравнение равносильно совокупности двух систем:

1) , система не имеет решений.

2) , .

Ответ:

5. При решении уравнения, в котором под знаком модуля находится выражение, содержащее модуль, следует сначала освободиться от внутренних модулей, а затем в полученных уравнениях раскрыть оставшиеся модули.

Пример 4.

Решите уравнение .

Решение.

Данное уравнение равносильно совокупности двух систем

или

то есть совокупности систем

или

Вторая система решений не имеет. Первая система равносильна двум следующим системам:

или

Ответ: 0.

5.Метод разбиения на промежутки. Уравнение вида (2)

Решается методом интервалов (или методом разбиения на промежутки).

1. Найдем ОДЗ: х- любое (этот пункт можно опустить, как в примере 3, учитывать ОДЗ при решении уравнения без модуля)

2. Найдем нули всех подмодульных функций

Для этого находят все точки, в которых

Эти точки делят область допустимых значений уравнения (2) на промежутки, на каждом из которых все функции сохраняют знак (считаем знак каждого модуля на указанном промежутке).