Задачи на концентрацию, смеси и сплавы.

Задачи на сложные проценты.

Тема «Проценты», связана с повседневной жизнью. Мы часто сталкиваемся с банковскими операциями: различные вклады, ссуды. Между тем, многие студенты, да и взрослые, при столкновении с этими задачами боимся их, потому что не умеем их решать. В учебниках не вводятся формулы простых и сложных процентов. Учащиеся должны решать задачи, опираясь не на формулы, а на понимание, на смысл понятия «процент», на умение находить процент от числа, число по его проценту. Вообще, данный вид задач применяется во многих областях хозяйственной деятельности и бухгалтерского учёта, а также в различных статистических расчётах, где используются формулы простых и сложных процентов.

Для нахождения простых процентов служит формула простых процентов: если с величины «а» нарастает «р»% за год (или другой период), то через t лет, полученную сумму можно получить по формуле (4.1):

(5.4.1.)

При этом предполагается, что по истечении каждого года доход за этот год исчисляется с первоначальной величины.

Если же доход причисляют к первоначальной величине и, следовательно, доход за новый год исчисляется с наращенной суммы, то говорят о сложных процентах; в этом случае величина, в которую превращается «а» через t лет вычисляется по формуле сложных процентов

(5.4.2.)

Задача 5.4.3.Клиент положил в банк на год 4000 рублей. Какая сумма у него будет через год, если банк выплачивает 8% годовых?

Решение:Данную задачу можно решить двумя способами.

1 способ. Сначала находим, сколько рублей приходится на 1%:

1) 4000:100=40 ( р.) – на 1%.

Далее находим, сколько рублей будет составлять 8%:

2) 40·8=320 (р.) – на 8%.

А теперь найдём, какая сумма получится в конце года:

3) 4000+320=4320 (р.) – получилась сумма к концу года.

2 способ.

Сначала находим, сколько процентов будет в конце года:

1) 100+8=108% - к концу года.

Находим, сколько приходится на 1%:

2) 4000:100=40 (р.) – на 1%.

А теперь найдём нужную нам сумму:

3) 40*108=4320 (р.) – сумма в конце года.

Ответ: 4320 рублей.

Задача 5.4.4. Владелец садового участка взял в банке ссуду 300000 рублей для постройки дома на участке. Он должен был вернуть эти деньги через год с надбавкой 9%, какую сумму он должен был вернуть?

Решение:

1) 100+9=109% - должен вернуть в банк владелец.

109:100·300000=327000 (р.) – должен вернуть.

Ответ: 327000 рублей.

Задача 5.4.5.Ирина внесла в январе 100 рублей на счёт, по которому ежемесячно начисляется 2%. И затем каждый месяц в течение года она вносила ещё по 100 рублей, не снимая с него никаких сумм. Сколько рублей на её счете будет в конце декабря?

Решение:Выразим процент десятичной дробью: 2% - 0,02. Вклад ежемесячно увеличивается в 1,02 раза и идёт последовательное накопление вклада:

январь – 100 р.;

февраль – 100·1,02+100 р.;

март – 100· +100·1,02+100 р.;

декабрь – 100· (1,02) +100· (1,02) +……..+100=100· ((1,02) + (1,02) + +1) =100· =1341(р.)

Ответ: 1341 рубль.

В ходе решения подобных задач учащиеся видят, что формула суммы геометрической прогрессии – это не просто абстракция, отвлечённая формула, а конкретные математическое знание, необходимое в жизни.

Задача 5.4.6.. Вклад, положенный в сбербанк два года назад, достиг 1312500 р. Каков был первоначальный вклад при 25% годовых?

Решение:Пусть x (р.) – первоначальный размер вклада. В конце первого года вклад составит:

(р.)

1,25 (р.) – на столько увеличился вклад к концу второго года по сравнению с первым;

(р.) – таким станет вклад к концу второго года, т.е. составит по условию 1312500 р. Имеем: , откуда =840000. Значит 840000 (р.) – первоначальный вклад.

Ответ: 840000 рублей.

Задачи на концентрацию, смеси и сплавы.

Данный вид задач представляет собой сложный вид, т.к. эти задачи студенты решают очень плохо. После объяснения решения таких задач целесообразно порешать аналогичные задачи как индивидуально, так и со всеми вместе (групповым методом).

Для решения задач на смеси и сплавы, на концентрации нужно уметь рассуждать и решать задачи на дроби и проценты, на составление уравнений и их систем. Эти задачи решаются арифметически, применением линейного уравнения и их систем. Рассмотрим задачи, решаемые арифметическим способом.

Приступая к решению задач, связанных с понятиями «концентрация» и «процентное содержание», необходимо объяснить учащимся, что обычно в условиях таких задач речь идет о составлении сплавов, растворов, смесей из двух или нескольких веществ. При решении таких задач принимаются следующие основные допущения:

· Все получающиеся сплавы или смеси однородны;

· При слиянии двух растворов, имеющих объемы и , получается смесь , объем которой равен V = + ;

· При слиянии двух растворов масса смеси равняется сумме масс, составляющих ее компонентов.

Объемной концентрацией компонента А называется отношение объема чистого компонента ( ) в растворе ко всему объему смеси( ):

= = , . (5.5.1.)

Объемным процентным содержанием компонента А называется величина (5.5.1), то есть концентрация этого вещества, выраженная в процентах.

(5.5.2.)

Аналогично определяются массовая концентрация и процентное содержание: отношение массы чистого вещества А в сплаве к массе всего сплава. Под процентным содержанием вещества понимается часть, которую составляет вес этого вещества от веса всего соединения.

Задача 5.5.3. Для проведения опыта научный сотрудник химической лаборатории смешал 4% раствор некоторого химического вещества и 10% раствора этого же вещества и получил 75 мл. 8% раствора. Сколько миллилитров 4% раствора и сколько 10% раствора было взято.

Решение:Обозначим через x – количество 4% раствора, а через y – количество 10% раствора. Запишем первое уравнение системы, т.к. должно получится 75 мл. раствора:

x + y=75.

Второе уравнение системы связывает количество соли в 4%, 10% и получившимся растворах:

0,04x + 0,1y =0,08(x+y).

Решим получившуюся систему уравнений:

x+y=75,

0,04x+0.1y=0,08(x+y);

x=25,

y=50.

Значит: 25 мл взяли 4% раствора и 50 мл 10% раствора.

Ответ: 25 мл; 50 мл.

Задача 5.5.4.Кусок сплава золота и серебра весом 3 кг содержит 30% золота. Сколько кг чистого золота нужно прибавить к этому куску, чтобы получившийся новый сплав содержал 40% золота?

Решение:Пусть добавили x кг чистого золота;

3 Х 0,3=0,9(кг) – чистого золота было в сплаве.

Всего чистого золота стало (x+0,9) кг,

а сплав массой (кг) – чистого золота.

Составим и решим уравнение: , x=0,5, т. е. 0,5 (кг) – надо добавить чистого золота.

Ответ: 0,5 кг.

Задача 5.5.5. Даны два куска с различным содержанием олова. Первый, массой 300 г, содержит 20% олова, Второй, массой 200 г, содержит 40% олова. Сколько процентов олова будет содержать сплав, полученный из этих кусков?

Решение: До сплавления в двух кусках было 300·20/100+200·40/100=140 г олова. После сплавления кусок массой 200+300=500 г будет содержать 140·100/500 (%) = 28(%) олова. Ответ: 28%.

Задача 5.5.6: Имеется 2 раствора поваренной соли разной концентрации. Если слить вместе 100г первого раствора и 200г второго раствора, то получится 50%-ный раствор. Если же слить вместе 300г первого раствора и 200 г второго, то получится 42%-ный раствор. Найти концентрацию второго раствора.

Решение: Пусть процентное содержание соли в первом и втором растворах p% и q% соответственно, тогда по условиям задачи можно составить два уравнения:

100 p/100 + 200 q/100=50· (100+200)/100

300 p/100 + 200 q/100=42· (300+200)/100.

Упростив эти уравнения и решив систему, получим p=30 и q=60. Следовательно, концентрация второго раствора равна 60%.

Дата добавления: 2021-06-02; просмотров: 61; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

Мы поможем в написании ваших работ!