Анализ задачи об оптимальном использовании сырья.
Исходя из специализации и своих технологических возможностей предприятие может выступать четыре вида продукции. Сбыт любого количества обеспечен. Для изготовления этой продукции используются трудовые ресурсы, полуфабрикаты и станочное оборудование. Общий объём ресурсов, расход каждого ресурса за единицу продукции, приведены в таблице 1. Требуется определить план выпуска, доставляющий предприятию максимум прибыли. Выполнить после оптимизационный анализ решения и параметров модели.
| Ресурсы | Выпускаемая продукция | Объём Ресурсов | |||||||
|
|
|
| ||||||
| Трудовые ресурсы, чел-ч | 4 | 2 | 2 | 8 | 4800 | |||
| Полуфабрикаты, кг | 2 | 10 | 6 | 0 | 2400 | |||
| Станочное оборудование, станко-ч | 1 | 0 | 2 | 1 | 1500 | |||
| Цена единицы продукции, р. | 65 | 70 | 60 | 120 | |||||
Решение.
Пусть 
- объёмы продукции 
планируемый к выпуску; 
- сумма ожидаемой выручки.
Математическая модель пря мой задачи:
Математическая модель двойственной задачи:
По условиям примера найти:
1. Ассортимент выпускаемой продукции, обеспечивающий предприятию максимум реализации (максимум выручки)
2. Оценки ресурсов, используемых при производстве продукции.
Симплексным методом решаем прямую задачу, модель которой составлена выше в таблице1.
После второй итерации все оценки оказались отрицательными, значит, найденный опорный план является оптимальным: 
, 
|
|
|
Основные переменные 
показывают, что продукцию 
и 
выпускать нецелесообразно, а продукции 
следует произвести 400 ед., 
- 500 ед.
Дополнительные переменные 
и 
показывают, что ресурсы используются полностью 
, а вот равенство 
свидетельствует о том, что 200 единиц продукции осталось неиспользованным.
| Номера ит. | БП | Сб |
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
| 65 | 70 | 60 | 120 | 0 | 0 | 0 | ||||
| 0 |
| 0 | 4800 | 4 | 2 | 2 | 8 | 1 | 0 | 0 |
|
| 0 | 2400 | 2 | 10 | 6 | 0 | 0 | 1 | 0 | |
|
| 0 | 1500 | 1 | 0 | 2 | 1 | 0 | 0 | 1 | |
|
| 0 | -65 | -70 | -60 | -120 | 0 | 0 | 0 | ||
| 1 |
| 120 | 600 | 1/2 | 1/4 | 1/4 | 1 | 1/8 | 0 | 0 |
|
| 0 | 2400 | 2 | 0 | 6 | 0 | 0 | 1 | 0 | |
|
| 0 | 900 | 1/2 | -1/4 | 7/4 | 0 | -1/8 | 0 | 1 | |
|
| 72000 | -5 | -40 | -30 | 0 | 15 | 0 | 0 | ||
| 2 |
| 120 | 500 | 5/12 | -1/6 | 0 | 1 | 1/8 | -1/24 | 0 |
|
| 60 | 400 | 1/3 | 5/3 | 1 | 0 | 0 | 1/6 | 0 | |
|
| 0 | 200 | -1/12 | -19,6 | 0 | 0 | -1/8 | -7/24 | 1 | |
|
| 84000 | 5 | 10 | 0 | 0 | 15 | 5 | 0 | ||
|
|
|
Выпишем из таблицы2. Компоненты оптимального плана двойственной задачи – двойственные оценки. В канонической форме прямой задачи переменные 
- являются свободными, а дополнительные переменные 
- базисными. В канонической форме двойственной задачи свободными будут переменные 
- а базисными 
Соответствие между переменными примет вид
Учитывая это соответствие, выпишем из индексной строки последней итерации компоненты искомого плана 
- двойственные оценки.
min f = max Z =84000.
Запишем это неравенство в развернутой форме:
48000*15 + 2400*5 + 1500*0 = 65*0 + 70*0 + 60*400 + 120*500
Учитывая, что компонеты представляют собой оценки ресурсов заключаем:
При оптимальном плане оценка ресурсов, затраченных на выпуск продукции, совпадает с оценкой произведенной продукции.
Теперь установим степень дефицитности используемых ресурсов и обоснуем рентабельность оптимального плана.
Мы нашли оптимальный план выпуска продукции. При этом плане третье ограничение прямой задачи выполняется как строгое неравенство:
0+2-400+500= 1300< 1500. Это означает, что расход ресурса меньше его запаса, т. е. ресурс избыточный. Именно поэтому в оптимальном плане двойственной задачи оценка 
этого ресурса равна нулю.
|
|
|
А вот оценки 
и 
ресурсов и выражаются положительными числами 15 и 5, что свидетельствует о дефицитности этих ресурсов: они при оптимальном плане используются полностью. В самом деле, ограничения по этим ресурсам выполняются как строгие равенства: 4.0+2.0+2.400+8.500=4800, 2-0+10.0+6.400=2400.
Поскольку 15>5, ресурс считается более дефицитным, чем ресурс .
На основе теоремы (о дополняющей нежесткости) нетрудно объяснить, почему не вошла в оптимальный план продукция и : первое и второе ограничения двойственной задачи выполняются как строгие неравенства: 4-15+2-5+0>65, 2-15+10*5>70.
Это означает, что оценки ресурсов, расходуемых на изготовление единицы продукции и , превышают оценки единицы этой продукции. Понятно, что такую продукцию выпускать предприятию невыгодно. Что же касается продукции и 
, то выпуск ее оправдан, поскольку оценка израсходованных ресурсов совпадает с оценкой произведенной продукции: 2*15+ +6*5+2*0=60, 8*15+0=120.
Таким образом, в оптимальный план войдет только та продукция, которая выгодна предприятию, и не войдет убыточная продукция. В этом проявляется рентабельность оптимального плана.
Рассмотрим возможность дальнейшего совершенствования оптимального ассортимента выпускаемой продукции.
|
|
|
Выше установлено, что ресурсы и являются дефицитными. В связи с этим на основе теоремы (об оценках) можно утверждать, что на каждую единицу ресурса 
, введенную дополнительно в производство, будет получена дополнительная выручка 
, численно равная 
.В самом деле, при 
получаем 
. По тем же причинам каждая дополнительная единица ресурса обеспечит прирост 
выручки, равный 5 р. Теперь становится понятно, почему ресурс считается более дефицитным по сравнению с ресурсом : он может содействовать получению большей выручки.
Что же касается избыточного ресурса , то увеличение его запаса не приведет к росту выручки, поскольку 
. Из приведенных рассуждений следует, что оценки ресурсов позволяют совершенствовать план выпуска продукции.
Выясним экономический смысл оценок 
продукции , , , .
По оптимальному плану выпускать следует продукцию и . Оценки 
и 
этих видов продукции равны нулю. Что это означает, практически станет ясно, если представить оценки в развернутой записи:
Таким образом, нулевая оценка показывает, что эта продукция является неубыточной, поскольку оценка ресурсов, расходуемых на выпуск единицы такой продукции, совпадает с оценкой единицы изготовленной продукции.
Что же касается продукции и являющейся, как установлено выше, убыточной, а потому и не вошедшей в оптимальный план, то для ее оценок 
и 
получаем:
Отсюда видно, что оценка убыточной продукции показывает, насколько будет снижать каждая единица такой продукции достигнутый оптимальный уровень.
§8. Программа и расчеты.
{Программа составлена для решения задачи линейного программирования
симплексным методом}
uses crt;
const n=2;{число неизвестных исходной задачи}
m=3;{число ограничений}
m1=0;{последняя строка равенств}
m2=1;{последняя строка неравенств вида >=}
label 5,15,20,10;
var b,cb:array[1..m] of real;c,x,e:array[1..50] of real;a:array[1..m,1..50] of real;
s0,max,mb,s1:real;i,j,k,i0,j0,m21,nm1,n1:integer; Bi:array[1..m] of integer;
begin
clrscr;
writeln;
writeln (' Симплексный метод решения задачи линейного программирования:');
writeln;
writeln (' Проведем некоторые преобразования с данной задачей:');
writeln;
writeln (' Подготовьте матрицу: сначала равенства, потом неравенства вида >= и неравенства вида <=;');
writeln (' Целевая функция должна быть на минимум (привести ее к такому виду); ');
writeln (' Вектор b должен состоять только из положительных элементов (привести его к та- кому виду);');
writeln(' Введите матрицу А ',m,'*',n,' построчно:');
for i:=1 to m
do begin for j:=1 to n
do read (a[i,j]);
readln
end;
writeln (' Введите в виде строки вектор b, состоящий из ',m,' компонент:');
for i:=1 to m
do read (b[i]);
writeln(' Введите теперь вектор с, состоящий из ',n,' компонент:');
for i:=1 to n
do read (c[i]);
m21:=m2-m1+n;nm1:=n+m-m1;n1:=n+m-m1+m2;
for i:=1 to m
do for j:=n+1 to n1
do a[i,j]:=0;
{переход к равенствам в неравенствах >=}
for i:=m1+1 to m2
do a[i,n+i-m1]:=-1;
{переход к равенствам в неравенствах <=}
for i:=m2+1 to m
do a[i,m21+i-m2]:=1;
{создание искуственного базиса}
for i:=1 to m2
do a[i,nm1+i]:=1;
{ввод mb в вектор с}
mb:=12345;
for i:=n+1 to nm1
do c[i]:=0;
for i:=nm1+1 to n1
do c[i]:=mb;
{выписать cb}
for i:=1 to m2
do begin cb[i]:=mb; Bi[i]:=nm1+i end;
for i:=m2+1 to m
do begin Bi[i]:=m21+i-m2;
cb[i]:=0;
end;
for i:=1 to n1
do x[i]:=0;
writeln(' Решение задачи:');
{применяем симплексный метод, вычисляем оценки}
5: for j:=1 to n1
do begin s0:=0;
for i:=1 to m
do s0:=s0+cb[i]*a[i,j];
e[j]:=s0-c[j]
end;
max:=e[1];j0:=1;
for i:=2 to n1
do if e[i]>max
then begin max:=e[i];
j0:=i
end;
{получили столбец с максимальной оценкой}
if max<=0
then begin for i:=1 to m
do x[Bi[i]]:=b[i];
goto 15
end;
s1:=a[1,j0];
for i:=2 to m
do if s1<a[i,j0]
then s1:=a[i,j0];
if s1<=0
then goto 10;
s1:=mb;
for i:=1 to m
do if a[i,j0]>0
then if s1>b[i]/a[i,j0]
then begin
s1:=b[i]/a[i,j0];
i0:=i
end;
{главный элемент a[i0,j0]}
s0:=a[i0,j0]; Bi[i0]:=j0;
for j:=1 to n1
do a[i0,j]:=a[i0,j]/s0;
b[i0]:=b[i0]/s0;
for i:=1 to m
do if i<>i0
then begin s1:=-a[i,j0];
b[i]:=b[i]+b[i0]*s1;
for j:=1 to n1
do a[i,j]:=a[i,j]+a[i0,j]*s1
end;
cb[i0]:=c[j0];
goto 5;
10: writeln(' Нет оптимального плана, функция неограничена');
goto 20;
{просмотр иск. переменных}
15: for i:=nm1+1 to n1
do if x[i]>0
then begin writeln(' Пустое множество планов');
goto 20
end;
for i:=1 to n
do writeln(' x[',i,']=',x[i]:7:4);
20:readkey
end.
Содержание
Введение………………………………………………………………………………1
§1. Задача линейного программирования и свойства её решений…………….…4
§2. Графический способ решения
задачи линейного программирования……………………………………….…6
§3. Симплексный метод……………………………………………………………..8
§4. Понятие двойственности……………………………………………………….11
§5. Основные теоремы двойственности
и их экономическое содержание………………………………………….……14
§6. Примеры экономических задач………………………………………………..16
§7. Анализ задачи об оптимальном использовании сырья………………………19
§8. Программа и расчеты…………………………………………………………..25
Дата добавления: 2021-06-02; просмотров: 210; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!