VI. Задачи для любителей математики

Задание для дистанционного обучения. Последовательности. Арифметическая прогрессия

Программа «Математика для увлеченных. Ступень 2»

I. Необходимые для решения формулы

Арифметическая прогрессия – числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с постоянным для этой последовательности числом , которое называется d – разность арифметической прогрессии.

d = a _n+1- a _n , т. е. d = а₂ – а₁ = а₃ – а₂ = а₄ – а₃ = а₅ – а₄ = …

Формула n-го члена арифметической прогрессии: a _n = a₁ + d (n - 1).

Сумма первых n членов арифметической прогрессии: S _n = 0,5∙ (а₁ + a _n) ∙ n .

S _n= 0,5∙ (2а₁ + d∙ (n – 1)) ∙ n .

II. Задачи для повторения. Обязательно рассмотрите решения и по желанию выполните задания по образцу.

Задача 1. Арифметическая прогрессия (a_n) задана условиями a_n =8 + 3n . Найдите a₁₀ Решение:

Так как n = 10, то a₁₀ =8 + 3∙10 = 8 + 30 = 38

Ответ: 38.

Задачи для самостоятельного решения:

1) Арифметическая прогрессия (a_n) задана условиями a_n = 8,5 + 3,7n . Найдите a₁₀

2) Арифметическая прогрессия (a_n) задана условиями a_n = -11,9+7,8n. Найдите a₁₀

3) Арифметическая прогрессия (a_n) задана условиями a_n = 3,8 + 2,5n . Найдите a₆

Задача 2. Выписаны первые три члена арифметической прогрессии - 2, 7, 16 . Найдите 10-й член прогрессии и сумму первых 10 членов прогрессии.

Решение:

а₁ = - 2

а₂ = 7

а₃ = 16

d = а₂ – а₁ = 7 – (-2) = 7 + 2 = 9

Так как a _n = a₁ + d∙ (n - 1) и n = 10 ( надо найдите 10-й член прогрессии), то

а₁₀ = -2 + 9∙(10 – 1) = -2 + 9∙9 = -2 + 81 = 79

Та как S = 0,5∙ (а₁ + a _n ) ∙ n , то S ₁₀ = 0,5∙ (-2 + 79) ∙ 10 = 0,5∙ 10∙ (-2 + 79) = 5 ∙ 77 = 385

Ответ: а₁₀ = 79 и S ₁₀ = 385

Задачи для самостоятельного решения:

1) −6; 1; 8; … Найдите 16-й член этой прогрессии и сумму первых 16 членов прогрессии.

2) 20; 13; 6; … Найдите 7-й член этой прогрессии и сумму первых 7 членов прогрессии.

3) −9; −5; −1; … Найдите 8-й член этой прогрессии и сумму первых 8 членов прогрессии.

4) −17; −14; −11; … Найдите 15-й член этой прогрессии и сумму первых 15 членов прогрессии

Задача 3. Выписано несколько последовательных членов арифметической прогрессии. Найдите член прогрессии, обозначенный буквой x.

…; 19; х; 11; 7; …

Решение:

а₂ = 19

а₃ = х

а₄ = 11

Так как 2d = а₄ – а₂ = 11 – 19 = - 8 и d = -8:2 = -4

Так как a ₃ = a₂ + d∙ = 19 + ( -4) = 19 – 4 = 15

Ответ: а₃= 15

Задачи для самостоятельного решения:

Выписано несколько последовательных членов арифметической прогрессии. Найдите член прогрессии, обозначенный буквой x.

1) …; 11; x; 19; 23; …

2) …; -9; x; -13; - 15; …

3) …; 7; x; 13; 16; …

4) …; - 6; x; -2; 0; …

Задача 4. Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии. Найдите первый положительный член этой прогрессии. 1) −39; −30; −21; …

Решение:

а₁ = - 39

а₂ = - 30

а₃ = - 21

d = а₂ – а₁ = - 30 – (-39) = -30+39 = 9

Так как a _n = a₁ + d∙ (n - 1) и n = х ( так как порядковый номер член прогрессии неизвестен) и х >0, то

- 39 +9(х – 1) >0 или 9(х – 1) >39 или х – 1 >39: 9 или х – 1 >4,3 или х >5,3

Так как х – порядковый номер, то есть число натуральное и х = 6.

а₆= - 39 + 9∙(6 – 1) = -39 + 45 = 6

Ответ: 6.

Задачи для самостоятельного решения:

Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии. Найдите первый отрицательный член этой прогрессии.

1) 93; 85,5; 78; …

2) 28; 26; 24; …

3) 36; 33; 30; …

Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии. Найдите первый положительный член этой прогрессии.

4) −57; −44; −31; …

5) −87; −69; −51; …

Занятие 5. Какое наибольшее число последовательных натуральных чисел, начиная с 1, можно сложить, чтобы получившаяся сумма была меньше 496.

Решение:

Так как числа натуральные, то а₁ = 1, а₂ = 2, d = а₂ – а₁ = 2 – 1 = 1.

По формуле S _n = 0,5∙ (а₁ + a _n ) ∙ n ,

то S _n = 0,5∙ (1 + n ) ∙ n < 496.

Получаем неравенство: 0,5∙ (1 + n ) ∙ n <496

Введем функцию f ( n ) = 0,5∙ (1 + n ) ∙ n - 496 и найдем нули этой функции.

Получаем квадратное уравнение:

(1 + n ) ∙ n - 496∙2= 0 или (1 + n ) ∙ n – 992=0 или n ² + n - 992 =0

D = 1² - 4∙1∙(-992) = 1 + 3968 = 3969 уравнение имеет два корня

n ₁ =

n ₂ = посторонний, так как отрицательный.

Нам нужно натуральное число n <31, следовательно, n = 30.

Нужно сложить 30 чисел

Проверка:

S _n = 0,5∙ (а₁ + a _n ) ∙ n = 0,5∙ (1 + 30) ∙ 301 = 0,5∙ 30 ∙ 31 = 15∙31 = 465

Ответ: 30

Задачи для самостоятельного решения:

1) Какое наибольшее число последовательных натуральных чисел, начиная с 1, можно сложить, чтобы получившаяся сумма была меньше 435?

2) Какое наибольшее число последовательных натуральных чисел, начиная с 1, можно сложить, чтобы получившаяся сумма была меньше 542?

3) Какое наименьшее число последовательных натуральных чисел, начиная с 1, нужно сложить, чтобы получившаяся сумма была больше 378?

4) Какое наименьшее число последовательных натуральных чисел, начиная с 1, нужно сложить, чтобы получившаяся сумма была больше 725?

IV. Рассмотрите разобранные примеры и выполните задания по образцу.

(Они соответствуют заданиям первой части ЕГЭ)

Задача 1. Рабочие прокладывают тоннель длиной 500 метров, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый день рабочие проложили 3 метра тоннеля. Определите, сколько метров тоннеля проложили рабочие в последний день, если вся работа была выполнена за 10 дней.

Решение.

Пусть рабочие в первый день проложили А1 метров тоннеля, во второй — А2 , …, в последний - Ах метров тоннеля. Длина тоннеля составляет 500 метров, это сумма длин всех участков тоннеля, проложенных за все дни работы, то есть S х метров. Так как норма прокладки ежедневно увеличивается на одно и то же число, то мы получаем арифметическую прогрессию, которая состоит из 10 членов (дней) и сумма которой находится по формуле:

S х = 0,5 (А1 + Ах)*х, где х = 10. Итак:

0,5(3+А10)*10 = 500 и 3 + А10 = 100 и А10 = 100-3 = 97. Таким образом, рабочие в последний день проложили 97 метров тоннеля.

Ответ: 97

Задачи для самостоятельного решения:

1. Рабочие прокладывают тоннель длиной 117 метров, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый день рабочие проложили 9 метров туннеля. Определите, сколько метров туннеля проложили рабочие в последний день, если вся работа была выполнена за 9 дней.

2. Пете надо решить 312 задач. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Петя решил 15 задач. Определите, сколько задач решил Петя в последний день, если со всеми задачами он справился за 12 дней.

Задача 2. Турист идет из одного города в другой, каждый день проходя больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно, что за первый день турист прошел 10 километров. Определите, сколько километров прошел турист за третий день, если весь путь он прошел за 6 дней, а расстояние между городами составляет 120 километров.

Решение:

В первый день турист прошел А1 = 10 км, во второй — А2, …, в последний — А6 км. Всего он прошел Sх = 120 км. Если каждый день турист проходил больше, чем в предыдущий день, на d км, то по формуле суммы арифметической прогрессии

Sх = 0,5 (2А1 + d (х-1)) х,

где х = 6 дней, А1 = 10 км. Таким образом,

0,5 (2*10 +5 d ) *6 = 120 или 20 + 5 d = 40 или 5 d = 20 или d = 4.

Тогда за третий день турист прошел А3 = А1 + 2 d = 10 + 2*4 = 18 км.

Ответ: 18 км.

Задачи для самостоятельного решения:

1. Грузовик перевозит партию щебня массой 224 тонны, ежедневно увеличивая норму перевозки на одно и то же число тонн. Известно, что за первый день было перевезено 3 тонны щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено на девятый день, если вся работа была выполнена за 14 дней.

2. Аленушке надо подписать 799 открыток. Ежедневно она подписывает на одно и то же количество открыток больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Аленушка подписала 15 открыток. Определите, сколько открыток было подписано за шестой день, если вся работа была выполнена за 17 дней.

3. Улитка ползет от одного дерева до другого. Каждый день она проползает на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий день. Известно, что за первый и последний дни улитка проползла в общей сложности 7 метров. Определите, сколько дней улитка потратила на весь путь, если расстояние между деревьями равно 14 метрам.

V. Более сложные задачи (Они соответствуют заданиям второй части ЕГЭ)

Задача 1. Какое число стоит на 1999 - м месте в последовательности чисел: 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5,...?
Решение:
Единица занимает одно место, двойки – два, тройки – три, и так далее, n - n мест.

Если n = 62, то 1+2+...+62= 0,5(1+62)*62 = 63*31 = 1953. Это значит, что с 1954 места идет подряд 63 раза число 63, а, так как 1999-1954< 63, то на 1999 месте стоит число 63.

Задачи для самостоятельного решения:

1. 1. Какое число стоит на 3005 - м месте в последовательности чисел: 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5,...?
2. Дана последовательность 1, 2, 3,...,1999. Каждое число заменяется суммой цифр этого числа. Если сумма цифр является двузначным числом, то его тоже заменяем суммой его цифр. Так поступаем до тех пор, пока в исходной последовательности не останутся однозначные числа. Чего в последовательности больше: единиц или троек?

Задача 2. Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию (n ≥ 3)

а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 14?

б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 900?

в) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 123.

Решение:

а) Последовательность натуральных чисел представляет собой арифметическую прогрессию, разность которой равна 1. Сумма первых пяти натуральных чисел равна 15, тогда 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Ответ а) Да.

б) Чтобы количество членов арифметической прогрессии было наибольшим, первый член и разность должны быть наименьшими. Так как наименьшее натуральное число равно 1, то пусть вся последовательность состоит из единиц. Запишем сумма всех данных чисел:

S _n= 0,5∙ (2а₁ + d∙ (n – 1)) ∙ n < 900 тогда 0,5(2∙1 +1(n – 1)) ∙ n < 900

(n + 1) ∙ n < 900∙2

Получаем неравенство: (1 + n ) ∙ n < 1800

Введем функцию f ( n ) = (1 + n ) ∙ n - 1800 и найдем нули этой функции.

Получаем квадратное уравнение: n ² + n - 1800 = 0

D = 1² - 4∙1∙(- 1800) = 1 + 7200 = 7201 уравнение имеет два корня

n ₁ = и n ₂ =

Наибольшее натуральное решение этого неравенства n = 41. Такой результат получается при прогрессии 1 + 2 + 3 + … + 41 = 0,5(1 + 41) ∙ 41 = 21∙41 = 861 < 900

Ответ: б) 41

в) Для суммы членов арифметической прогрессии имеем:

0,5∙ (2а₁ + d∙ (n – 1)) ∙ n = 123 ↔ (2а₁ + d∙ (n – 1)) ∙ n = 246

Из последнего равенства видно, что число членов прогрессии n является делителем числа 246. Разложив число 246 на множители, получим 246 = 2∙3∙41 или(2а₁ + d∙ (n – 1)) ∙ n = 2∙3∙41. Получаем следующие варианты значения n: 2, 3, 6, 41, 82, 123, 246.

По условию n ≥ 3, то значение 2 – постороннее. Докажем, что значение n не может быть меньше 41. Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что n ≥ 41, тогда выражение (2а₁ + d∙ (n – 1)) не меньше 42. Получаем

(2а₁ + d∙ (n – 1)) ∙ n ≥ 42∙41 = 1722 > 246, что невозможно. Получили противоречие, следовательно, предположение неверно. Получаем, что n < 41. Тогда n равно 3 или 6.

Приведем пример арифметической прогрессии, состоящей из трех членов с суммой 123:

40, 41, 42

Приведем пример арифметической прогрессии, состоящей из шести членов с суммой 123:

3, 10, 17, 24, 31, 38

Ответ: а) да; б) 41; в) 3;6.

Задачи для самостоятельного решения:

1) Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию (n ≥ 3)

а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 18?

б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 800?

в) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 111

2) Бесконечная десятичная дробь устроена следующим образом. Перед десятичной запятой ставится нуль. После запятой подряд выписаны члены арифметической прогрессии a_n = dn + 2 (d – целое). Из полученной записи удалены минусы, если они есть. В результате получается рациональное число. Найдите это число.

Ответ: 2/9

3) Бесконечная десятичная дробь устроена следующим образом. Перед десятичной запятой ставится нуль. После запятой подряд выписаны все члены последовательности

a_n = 20^dn (d – целое неотрицательное). В результате получается рациональное число. Найдите это число.

Ответ: 1/9

VI. Задачи для любителей математики

Олимпиадные задачи.

Задача 1. (1998-1999)

Последовательность a₁, a₂, a₃, ... , задана первыми двумя числами a₁=2 , a₂=3 и правилом (n=1, 2, 3,...). Найдите а₁₉₉₉

Решение: Вычислим несколько членов последовательности:

a₁= 2 , a₂= 3, a₃= 3/2, a₄= 3/2 : 3 = 1/2, a₅= 1/2 : 3/2 = 1/3,

a₆= 1/3 : 1/2= 2/3, a₇= 2/3 : 1/3 = 2, a₈= 2 : 2/3 = 3, a₉= 3 : 2=3/2,

a₁₀= 3/2 : 3 = 1/2, a₁₁= 1/2 : 3/2 = 1/3, a₁₂= 1/3 : 1/2= 2/3, a₁₃= 2/3 : 1/3 = 2…

Получили, что числа повторяются через каждые шесть.

1999 = 6∙333 + 1, тогда a₁₉₉₉ = 2.

Ответ: 2.

Задачи для самостоятельного решения:

1) (2005-2006) Дана последовательность чисел 10100100010000100000…..Какая цифра находится на 2005 месте?

2) (1998-1999) Последовательность чисел начинается с х₁ = 1999, а каждое следующее число получается из предыдущего по правилу Найдите х₁₉₉₉.

Ответы на задания и решения высылать на электронную почту ddut_maths@rambler.ru

Дата добавления: 2021-06-02; просмотров: 124; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

Мы поможем в написании ваших работ!