Где N – номер студента в классном журнале.
Тема. Прямоугольная (Декартова) система
Координат в пространстве
Вопросы:
Понятие декартовой системы координат
Прямоугольная декартова система координат
На плоскости
Прямоугольная декартова система координат
В пространстве
Решение задач о точках в декартовой системе координат
ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ.
Вопрос 1. Понятие декартовой системы координат
Определение:
Прямоугольной декартовой системой координат называется упорядоченная система двух или трёх пересекающихся перпендикулярных друг другу осей с общим началом отсчёта (началом координат) и общей единицей длины.
Общая декартова система координат (аффинная система координат) может включать и не обязательно перпендикулярные оси.
В честь французского математика Рене Декарта (1596-1662) названа именно такая система координат, в которой на всех осях отсчитывается общая единица длины и оси являются прямыми.
Прямоугольная декартова система координат на плоскости имеет две оси, а прямоугольная декартова система координат в пространстве имеет три оси.
Каждая точка на плоскости или в пространстве определяется упорядоченным набором координат – то есть чисел в соответствии с единицей длины системы координат.
Заметим, что, как следует из определения, существует декартова система координат и на прямой, то есть в одном измерении. Введение декартовых координат на прямой представляет собой один из способов, с помощью которого любой точке прямой ставится в соответствие вполне определённое вещественное число, то есть координата.
|
|
|
Метод координат, возникший в работах Рене Декарта, ознаменовал собой революционную перестройку всей математики. Появилась возможность истолковывать алгебраические уравнения (или неравенства) в виде геометрических образов (графиков) и, наоборот, искать решение геометрических задач с помощью аналитических формул, систем уравнений. Так, неравенство z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOyи находящейся выше этой плоскости на 3 единицы.
С помощью декартовой системы координат принадлежность точки заданной кривой соответствует тому, что числа xи yудовлетворяют некоторому уравнению. Так, например, координаты точки окружности с центром в заданной точке (a; b) удовлетворяют уравнению
(x - a)² + (y - b)² = R².
Вопрос 2. Прямоугольная декартова
система координат на плоскости
Повторение!
Две перпендикулярные оси образуют на плоскости прямоугольную (декартову) систему координат на плоскости с общим началом и одинаковой масштабной единицей.
|
|
|
При этом названия осей:
- ось OХ – это ось абсцисс,
- ось OУ – это ось ординат.
Эти оси называются также координатными осями.
Обозначим через M x и M y соответственно проекции произвольной точки Мна осях OХи OУ.
Как получить проекции?
Проведём через точку М прямую, перпендикулярную оси OХ. Эта прямая пересекает ось OХв точке M x.
Проведём через точку М прямую, перпендикулярную оси OУ. Эта прямая пересекает ось OУ в точке M y. Это показано на Рис.1.
Рис.1
Декартовыми прямоугольными координатами xи y точки М будем называть соответственно величины направленных отрезков OM x и OM y.
Величины этих направленных отрезков рассчитываются соответственно:
x = x 0 – 0 и y = y 0 - 0.
Декартовы координаты x и y точки М называются соответственно её абсциссой и ординатой.
Тот факт, что точка М имеет координаты xи y, обозначается так: M(x, y).
Координатные оси разбивают плоскость на четыре квадранта, нумерация которых показана на рисунке ниже.
На нём же указана расстановка знаков координат точек в зависимости от расположения точек в том или ином квадранте.
Помимо декартовых прямоугольных координат на плоскости часто рассматривается также полярная система координат. Этот вопрос студент при желании может рассмотреть самостоятельно.
|
|
|
Вопрос 3. Прямоугольная декартова система координат
в пространстве
Декартовы координаты в пространстве вводятся в полной аналогии с декартовыми координатами на плоскости.
Определение:
Три взаимно перпендикулярные оси в пространстве (координатные оси) с общим началом O и одинаковой масштабной единицей образуют декартову прямоугольную систему координат в пространстве.
Оси этой системы имеют названия:
- первая - ось Ox или ось абсцисс,
- вторая - ось Oy или ось ординат,
- третья – ось Oz или ось аппликат.
Пусть M x, M y, M z – проекции произвольной точки Мпространства на оси O x, O yи O z соответственно.
- Проведём через точку Мплоскость, перпендикулярную оси O x. Эта плоскость пересекает ось O x в точке M x.
- Проведём через точку Мплоскость, перпендикулярную оси O y. Эта плоскость пересекает ось O y в точке M y.
- Проведём через точку М плоскость, перпендикулярную оси O z. Эта плоскость пересекает ось O zв точке M z.
Декартовыми прямоугольными координатами x, y и z точки Мбудем называть соответственно величины отрезков OM x, OM y и OM z в положительном направлении осей.
|
|
|
Величины этих отрезков рассчитываются соответственно:
x = x 0 - 0, y = y 0 – 0, z = z 0 - 0.
Декартовы координаты x, yz точки Мназываются соответственно её абсциссой, ординатой и аппликатой.
Попарно взятые координатные оси располагаются в координатных плоскостях x O y , y O z , z O x.
При этом,
Координатные оси О x , О y и Oz делят пространство Oxyz на восемь октантов.
Каждая точка M ( x , y , z ), не принадлежащая координатным осям, то есть не лежащая ни на одной из координатных осей, содержится в одной из восьми октантов. Обозначение этих октант и знаки координат точки представлены в таблице:
| Октант | Знаки | Октант | Знаки | ||
| 
| 
| 
| ||
| 
| 
| 
| ||
| 
| 
| 
| ||
| 
| 
| 
|
Вопрос 4. Решение задач о точках в прямоугольной декартовой системе координат
Пример 1
В декартовой системе координат на плоскости даны точки
A(2; 3);
B(3; -1);
C(-5; 1).
Найти координаты проекций этих точек на ось абсцисс.
Решение
Как следует из теоретической части этого урока, проекция точки на ось абсцисс расположена на самой оси абсцисс, то есть оси O x, а следовательно имеет абсциссу, равную абсциссе самой точки, и ординату (координату на оси О y, которую ось абсцисс пересекает в точке 0), равную нулю.
Итак, получаем следующие координаты данных точек на ось абсцисс:
A x(2; 0);
B x(3; 0);
C x(-5; 0).
Пример 2
В декартовой системе координат на плоскости даны точки
A(-3; 2);
B(-5; 1);
C(3; -2).
Найти координаты проекций этих точек на ось ординат.
Решение
Как следует из теоретической части этого урока, проекция точки на ось ординат расположена на самой оси ординат, то есть оси O y, а следовательно, имеет ординату, равную ординате самой точки, и абсциссу (координату на оси O x, которую ось ординат пересекает в точке 0), равную нулю.
Итак, получаем следующие координаты данных точек на ось ординат:
A y(0; 2);
B y(0; 1);
C y(0; -2).
Пример 3
В декартовой системе координат на плоскости даны точки
A(2; 3);
B(-3; 2);
C(-1; -1).
Найти координаты точек, симметричных этим точкам относительно оси O x.
Решение
Поворачиваем на 180 градусов вокруг оси O x направленный отрезок, идущий от оси O x до данной точки.
На рисунке, где обозначены квадранты плоскости, видим:
- точка, симметричная данной относительно оси O x, будет иметь такую же абсциссу, что и данная точка,
- ординату, равную по абсолютной величине ординате данной точки, и противоположную ей по знаку.
Итак, получаем следующие координаты точек, симметричных этим точкам относительно оси O x:
A' (2; -3); B'(-3; -2); C'(-1; 1).
Пример 4
В декартовой системе координат на плоскости даны точки
A(-1; 2);
B(3; -1);
C(-2; -2).
Найти координаты точек, симметричных этим точкам относительно оси O y.
Решение
Поворачиваем на 180 градусов вокруг оси Oy направленный отрезок, идущий от оси O y до данной точки.
На рисунке, где обозначены квадранты плоскости, видим, что точка, симметричная данной относительно оси O y, будет иметь:
- такую же ординату, что и данная точка,
- и абсциссу, равную по абсолютной величине абсциссе данной точки, и противоположную ей по знаку.
Итак, получаем следующие координаты точек, симметричных этим точкам относительно оси O y:
A' (1; 2);
B' (-3; -1);
C' (2; -2).
Пример 5
В декартовой системе координат на плоскости даны точки
A(3; 3);
B(2; -4);
C(-2; 1).
Найти координаты точек, симметричных этим точкам относительно начала координат.
Решение
Поворачиваем на 180 градусов вокруг начала координат направленный отрезок, идущий от начала координат к данной точке.
На рисунке, где обозначены квадранты плоскости, видим, что точка, симметричная данной относительно начала координат, будет иметь:
- абсциссу и ординату, равные по абсолютной величине абсциссе и ординате данной точки, но противоположные им по знаку.
Итак, получаем следующие координаты точек, симметричных этим точкам относительно начала координат:
A' (-3; -3);
B' (-2; 4);
C (2; -1).
Пример 6
В декартовой системе координат в пространстве даны точки
A(4; 3; 5);
B(-3; 2; 1);
C(2; -3; 0).
Найти координаты проекций этих точек:
1) на плоскость Oxy;
2) на плоскость Oxz;
3) на плоскость Oyz;
4) на ось абсцисс;
5) на ось ординат;
6) на ось аппликат.
Решение
1). Проекция точки на плоскость Oxy расположена на самой этой плоскости,
следовательно, имеет абсциссу и ординату, равные абсциссе и ординате данной точки, и аппликату, равную нулю.
Итак, получаем следующие координаты проекций данных точек на Oxy:
A xy(4; 3; 0); Bxy(-3; 2; 0); Cxy(2; -3; 0).
2) Проекция точки на плоскость Oxz расположена на самой этой плоскости,
следовательно, имеет абсциссу и аппликату, равные абсциссе и аппликате данной точки, и ординату, равную нулю.
Итак, получаем следующие координаты проекций данных точек на Oxz:
A xz(4; 0; 5);
B xz(-3; 0; 1);
C xz(2; 0; 0).
3) Проекция точки на плоскость Oyz расположена на самой этой плоскости,
а следовательно имеет ординату и аппликату, равные ординате и аппликате данной точки, и абсциссу, равную нулю.
Итак, получаем следующие координаты проекций данных точек на Oyz:
A yz(0; 3; 5);
B yz(0; 2; 1);
C yz(0; -3; 0).
4) Как следует из теории, проекция точки:
- на ось абсцисс – расположена на самой оси абсцисс, то есть оси Ox, а следовательно, имеет абсциссу, равную абсциссе самой точки,
- ордината и аппликата проекции равны нулю (поскольку оси ординат и аппликат пересекают ось абсцисс в точке 0).
Получаем следующие координаты проекций данных точек на ось абсцисс:
A x(4; 0; 0);
B x(-3; 0; 0);
C x(2; 0; 0).
5) Проекция точки на ось ординат расположена на самой оси ординат, то есть оси Oy, а следовательно, имеет:
- ординату, равную ординате самой точки,
- а абсцисса и аппликата проекции равны нулю (поскольку оси абсцисс и аппликат пересекают ось ординат в точке 0).
Получаем следующие координаты проекций данных точек на ось ординат:
A y(0; 3; 0); By(0; 2; 0); Cy(0; -3; 0).
6) Проекция точки на ось аппликат расположена на самой оси аппликат, то есть оси Oz, а следовательно, имеет:
- аппликату, равную аппликате самой точки,
- а абсцисса и ордината проекции равны нулю (поскольку оси абсцисс и ординат пересекают ось аппликат в точке 0).
Получаем следующие координаты проекций данных точек на ось аппликат:
A z(0; 0; 5);
B z(0; 0; 1);
C z(0; 0; 0).
Пример 7
В декартовой системе координат в пространстве даны точки
A(2; 3; 1);
B(5; -3; 2);
C(-3; 2; -1).
Найти координаты точек, симметричных этим точкам относительно:
1) плоскости Oxy;
2) плоскости Oxz;
3) плоскости Oyz;
4) оси абсцисс;
5) оси ординат;
6) оси аппликат;
7) начала координат.
Решение
1) "Продвигаем" точку по другую сторону оси Oxy на то же расстояние.
По рисунку, отображающему координатное пространство, видим, что точка, симметричная данной относительно оси Oxy, будет иметь:
- абсциссу и ординату, равные абсциссе и ординате данной точки,
- и аппликату, равную по величине аппликате данной точки, но противоположную ей по знаку.
Итак, получаем следующие координаты точек, симметричных данным относительно плоскости Oxy:
A' (2; 3; -1);
B' (5; -3; -2);
C' (-3; 2; 1).
2) "Продвигаем" точку по другую сторону оси Oxz на то же расстояние.
По рисунку, отображающему координатное пространство, видим, что точка, симметричная данной относительно оси Oxz, будет иметь:
- абсциссу и аппликату, равные абсциссе и аппликате данной точки,
- и ординату, равную по величине ординате данной точки, но противоположную ей по знаку.
Итак, получаем следующие координаты точек, симметричных данным относительно плоскости Oxz:
A' (2; -3; 1);
B' (5; 3; 2);
C' (-3; -2; -1).
3) "Продвигаем" точку по другую сторону оси Oyz на то же расстояние.
По рисунку, отображающему координатное пространство, видим, что точка, симметричная данной относительно оси Oyz, будет иметь:
- ординату и аппликату, равные ординате и аппликате данной точки,
- и абсциссу, равную по величине абсциссе данной точки, но противоположную ей по знаку.
Итак, получаем следующие координаты точек, симметричных данным относительно плоскости Oyz:
A' (-2; 3; 1);
B' (-5; -3; 2);
C' (3; 2; -1).
По аналогии с симметричными точками на плоскости и точками пространства, симметричными данным относительно плоскостей, замечаем, что в случае симметрии относительно некоторой оси декартовой системы координат в пространстве, координата на оси, относительно которой задана симметрия, сохранит свой знак, а координаты на двух других осях будут теми же по абсолютной величине, что и координаты данной точки, но противоположными по знаку.
4) Свой знак сохранит абсцисса, а ордината и аппликата поменяют знаки.
Итак, получаем следующие координаты точек, симметричных данным относительно оси абсцисс:
A' (2; -3; -1);
B' (5; 3; -2);
C' (-3; -2; 1).
5) Свой знак сохранит ордината, а абсцисса и аппликата поменяют знаки.
Итак, получаем следующие координаты точек, симметричных данным относительно оси ординат:
A' (-2; 3; -1);
B' (-5; -3; -2);
C' (3; 2; 1).
6) Свой знак сохранит аппликата, а абсцисса и ордината поменяют знаки.
Итак, получаем следующие координаты точек, симметричных данным относительно оси аппликат:
A' (-2; -3; 1);
B' (-5; 3; 2);
C' (3; -2; -1).
7) По аналогии с симметрией в случае с точками на плоскости, в случае симметрии относительно начала координат все координаты точки, симметричной данной, будут равными по абсолютной величине координатам данной точки, но противоположными им по знаку.
Итак, получаем следующие координаты точек, симметричных данным относительно начала координат:
A' (-2; -3; -1);
B' (-5; 3; -2);
C' (3; -2; 1).
ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ
1. Законспектировать данный материал в тетради по математике.
2. Внести в тетрадь по математике решение всех представленных задач.
3. Выучить определения данной темы.
4. Решить задачи.
Пример 1
Определить, в каких квадрантах (четвертях) может быть расположена точка M(x; y), если
1) xy > 0;
2) xy < 0;
3) x – y = 0;
4) x + y = 0;
5) x + y > 0;
6) x + y < 0;
7) x – y > 0;
8) x – y < 0.
Пример 2
В декартовой системе координат на плоскости даны точки
A(-2N; 5); B(3; -5N); C (N; N+4).
Найти координаты точек, симметричных этим точкам относительно оси Oy.
Дополнить решение рисунком (чертежом).
Где N – номер студента в классном журнале.
Пример 3
В декартовой системе координат в пространстве даны точки
A(2; 3; N); B(5; -N; 2); C(-3; 2; -N).
Найти координаты точек, симметричных этим точкам относительно:
1) плоскости Oxy;
2) плоскости Oxz;
3) плоскости Oyz;
4) оси абсцисс;
5) оси ординат;
6) оси аппликат;
7) начала координат
Дополнить решение рисунком (чертежом).
Дата добавления: 2021-06-02; просмотров: 56; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!