По теме: Пирамида. Виды пирамид.
Тема. Пирамида. Виды пирамид.
Элементы и свойства пирамиды
Вопросы к теме:
Понятие пирамиды, ее элементы и основные свойства.
Виды пирамид и их основные характеристики.
Домашнее задание.
Вопрос 1. Понятие пирамиды.
Элементы и основные свойства пирамиды
Пирамида – многогранник, основание которого – многоугольник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину.
Рис.1
Можно дать еще и следующие определения:
Многогранник называется n-угольнойпирамидой, если он имеет одной своей гранью (основанием) какой-либо n-угольник, а остальные грани – треугольники с общей вершиной, не лежащей в плоскости основания.
Пирамида — это многогранная объемная фигура, ограниченная плоским многоугольником (основанием) и треугольниками, имеющих общую вершину, не лежащую в плоскости основания.
Элементы (составные части) пирамиды (Рис.2):
Вершина пирамиды – точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания.
Боковая грань – это треугольник, у которого один угол лежит в вершине пирамиды, а противоположная ему сторона совпадает со стороной основания (многоугольника).
Основание – многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.
Боковые ребра – это общие стороны боковых граней. У пирамиды столько ребер сколько углов у многоугольника.
|
|
|
Апофема – высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины.
Рис.2
Высота – отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра). (Рис.3)
Рис.3
Диагональное сечение пирамиды – сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания. (Рис.4)
Рис.4
Некоторые свойства пирамиды
Свойство 1
Если все боковые ребра равны, то:
– около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр (Рис.5)
Рис.5
– боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы (Рис.6)
Рис.6
Верно и обратное.
Если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы, то все боковые ребра пирамиды равны.
Если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.
Свойство 2
Если все грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним углом, то в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр. (Рис.7)
Рис.7
Верно и обратное.
|
|
|
Если в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним углом.
Вопрос 2. Виды пирамид
и их основные характеристики
По числу углов основания различают пирамиды: треугольные, четырёхугольные и т.д.
Треугольная пирамида – это четырехгранник – тетраэдр.
Четырехугольная пирамида – пятигранник.
и так далее.
Треугольная пирамида (четырехгранник) – это пирамида в которой три грани и основание являются произвольными треугольниками.
Тетраэдр – треугольная пирамида, в котором каждая из граней – правильный треугольник, поэтому в тетраэдре любая из граней может быть принята за основание пирамиды. (Рис.8)
Рис.8
Правильная пирамида (Рис.9)
Пирамида называется правильной, если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.
Рис.9
Для правильной пирамиды справедливо:
– боковые ребра правильной пирамиды равны;
– в правильной пирамиде все боковые грани – равные равнобедренные треугольники;
– в любую правильную пирамиду можно вписать сферу;
– около любой правильной пирамиды можно описать сферу;
|
|
|
– площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.
Во всех остальных случаях пирамида называется неправильной пирамидой!
Свойства правильной пирамиды
1. Вершина пирамиды равноудалена от всех углов основания.
2. Все боковые ребра равны.
3. Все боковые ребра наклонены под одинаковыми углами к основанию.
4. Апофемы всех боковых граней равны.
5. Площади всех боковых граней равны.
6. Все грани имеют одинаковые двугранные (плоские) углы.
7. Вокруг пирамиды можно описать сферу. Центром описанной сферы будет точка пересечения перпендикуляров, которые проходят через середину ребер.
8. В пирамиду можно вписать сферу. Центром вписанной сферы будет точка пересечения биссектрис, исходящие из угла между ребром и основанием.
9. Если центр вписанной сферы совпадает с центром описанной сферы, то сумма плоских углов при вершине равна π или наоборот, один угол равен π/n, где n - это количество углов в основании пирамиды.
Прямоугольная пирамида (Рис.10)
Пирамида называется прямоугольной, если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию.
|
|
|
Тогда это ребро и есть высота пирамиды.
Рис.10
Усечённая пирамида (Рис.11)
Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и плоскостью.
Рис.11
Рассмотрим на Рис.12 элементы усеченной пирамиды.
Рис.12
Свойства пирамиды, усеченной плоскостью, параллельной плоскости основания : (Рис.12)
– часть пирамиды между ее основанием и сечением – это и есть усеченная пирамида;
– полученное сечение – это многоугольник, который подобен многоугольнику основания пирамиды, при этом коэффициент этого подобия соответствует отношению расстояния сечения до вершины пирамиды к высоте всей пирамиды;
- сечение параллельно основанию пирамиды и перпендикулярно высоте пирамиды;
– площадь сечения, которое параллельно основанию пирамиды, относится к площади основания как квадрат расстояния сечения пирамиды от вершины;
– сечение делит боковые ребра на пропорциональные отрезки;
– б оковые грани усеченной пирамиды представляют собой трапеции;
– усеченная пирамида имеет бОльшее основание и мЕньшее основание, которые подобны;
– расстояние между основаниями усеченной пирамиды является высотой усеченной пирамиды.
– усеченная пирамида будет правильной, если пирамида, из которой она была получена, тоже была правильной.
– высота трапеции боковой грани правильной усеченной пирамиды является апофемой правильной усеченной пирамиды.
– все боковые грани правильной усеченной пирамиды является равнобокими трапециями одной величины;
– боковые ребра правильной усеченной пирамиды имеют равную величину и один наклон по отношению к основанию пирамиды.
– двугранные углы при боковых ребрах правильной усеченной пирамиды имеют равную величину.
– отношение площадей оснований усеченной пирамиды выражается следующей формулой:
S2/S1 = k2 .
Наклонная пирамида (Рис.13)
Рис.13
Наклонная пирамида – это пирамида в которой одно из ребер образует тупой угол (β) с основанием пирамиды.
ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ:
1. Внести в тетрадь по математике конспект данного материала.
2. Данную тему изучить, основные понятия, определения, свойства – выучить.
3. Для закрепления изученного материала пройти представленные ниже тесты. Ответы на тесты внести в тетрадь по математике.
4. Фото/скан конспекта и ответов на тесты прислать на проверку.
ТЕСТЫ
по теме: Пирамида. Виды пирамид.
Элементы и свойства пирамиды
1. Пирамидой называется многогранник, который состоит из …
а). двух плоских многоугольников и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих многоугольников;
б). Основания пирамиды, точки не лежащей в плоскости основания и всех отрезков, соединяющих эту точку с точками основания;
в). основания пирамиды, вершины пирамиды и отрезков, соединяющих вершину и основанием.
2. Основание n-угольной пирамиды это…
а) треугольник;
б) n-угольник;
в) 4-угольник.
3. Вершина пирамиды – это…
а) точка, не лежащая в плоскости основания;
б) вершина многоугольника, лежащего в основании;
в) центр многоугольника, лежащего в основании.
4. Боковые рёбра пирамиды – это…
а) отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания;
б) отрезки, соединяющие вершину с серединами сторон снования;
в) отрезки, соединяющие вершины основания.
5. Боковые грани n-угольной пирамиды являются…
а) n-угольниками;
б) 4-угольниками;
в) 3-угольниками.
6. Высота пирамиды – это…
а) высота основания;
б) перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания;
в) высота боковой грани.
7. В 5-угольной пирамиде количество вершин…
а) 1;
б) 5;
в) 6.
8. В 7-угольной пирамиде боковых количество граней…
а) 1;
б) 8;
в) 7.
9. В 8-угольной пирамиде количество боковых рёбер…
а) 16;
б) 8;
в) 9
10. Плоскость, пересекающая пирамиду параллельно её основанию, отсекает…
а) подобную пирамиду;
б) усечённую пирамиду;
в) треугольную пирамиду.
11. Пирамида называется правильной, если…
а) её основание – правильный многоугольник;
б) её основание – квадрат, а основание высоты совпадает с центром этого квадрата;
в) её основание – правильный многоугольник и основание высоты совпадает с центром этого многоугольника.
12. Апофема – это…
а) высота пирамиды;
б) высота боковой грани;
в) высота основания.
13. Сечения n-угольной пирамиды плоскостями, проходящими через её вершину, представляют собой…
а) n-угольники;
б) четырехугольники;
в) треугольники.
14. Полупериметр n-угольника это…
а) сумма длин сторон n-угольника в основании, деленная на два;
б) сумма длин сторон n-угольника в основании;
в) удвоенная сумма длин сторон n-угольника в основании.
15. В усеченной пирамиде основания…
а) равны;
б) подобны;
в) не равны и не подобны.
16. В правильной пирамиде боковые грани являются…
а) равносторонними треугольниками;
б) прямоугольными треугольниками;
в) равнобедренными треугольниками.
17. У правильной пирамиды боковые ребра…
а) равны;
б) параллельны и равны;
в) параллельны.
18. В усеченной пирамиде боковые грани являются…
а) треугольниками;
б) трапециями;
в) параллелограммами.
19. В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит…
а) трапеция;
б) квадрат;
в) прямоугольник.
20. Сечением четырехугольной пирамиды могут быть…
а) только треугольники;
б) только четырехугольники;
в) треугольники и четырехугольники.
30. Треугольная пирамида, у которой все ребра равны, называется…
а) октаэдром;
б) тетраэдром;
в) икосаэдром.
Дата добавления: 2021-06-02; просмотров: 191; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!