Свойства взаимно обратных функций.
Взаимно обратные функции, основные определения, свойства, графики.
· Обратная функция - определение и примеры нахождения.
· Свойства взаимно обратных функций.
· Графики основных элементарных взаимно обратных функций.
Обратная функция - определение и примеры нахождения.
Определение обратной функции.
Пусть функция 
строго монотонная (возрастающая или убывающая) и непрерывная на области определения 
, область значений этой функции 
, тогда на интервале 
определена непрерывная строго монотонная функция 
с областью значений 
, которая является обратной для .
Другими словами, об обратной функции для функции на конкретном промежутке имеет смысл говорить, если на этом интервале либо возрастает, либо убывает.
Функции f и g называют взаимно обратными.
Зачем вообще рассматривать понятие обратных функций?
Это вызвано задачей решения уравнений . Решения как раз и записываются через обратные функции.
Примеры нахождения взаимнообратных функций.
Например, требуется решить уравнение 
.
Решениями являются точки 
.
Функции косинус и арккосинус как раз являются обратными на области определения.
Рассмотрим несколько примеров нахождения обратных функций.
Начнем с линейных взаимнообратных функций.
Пример.
Найти функцию обратную для 
.
Решение.
Областью определения и областью значений этой функции является все множество действительных чисел. Выразим x через y (другими словами, решим уравнение относительно x ).
|
|
|
- это и есть обратная функция, правда здесь y – аргумент, а x – функция этого аргумента. Чтобы не нарушать привычки в обозначениях (это не имеет принципиального значения), переставив буквы x и y , будем писать 
.
Таким образом, и - взаимно обратные функции.
Приведем графическую иллюстрацию взаимно обратных линейных функций.
Очевидно, что графики симметричны относительно прямой y=x (биссектрисы первого и третьего квадрантов). Это одно из свойств взаимно обратных функций, о которых речь пойдет ниже.
Теперь рассмотрим пример нахождения логарифмической функции, обратной к заданной показательной функции.
Пример.
Найти функцию обратную для 
.
Решение.
Областью определения этой функции является все множество действительных чисел, областью значений является интервал 
. Выразим x через y (другими словами, решим уравнение относительно x).
- это и есть обратная функция. Переставив буквы x и y , имеем 
.
Таким образом, и - показательная и логарифмическая функции есть взаимно обратные функции на области определения.
График взаимно обратных показательной и логарифмической функций.
Свойства взаимно обратных функций.
|
|
|
Перечислим свойства взаимно обратных функций и .
· 
и 
.
· Из первого свойства видно, что область определения функции совпадает с областью значений функции и наоборот.
· Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой y=x.
· Если возрастает, то и возрастает, если убывает, то и убывает.
Еще раз подчеркнем: БУДЬТЕ ВНИМАТЕЛЬНЫ С ОБЛАСТЬЮ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОБЛАСТЬЮ ЗНАЧЕНИЙ!
Дата добавления: 2021-06-02; просмотров: 82; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!