Основные формулы тригонометрии

Зависимость между тригонометрическими функциями одного аргумента

 

tga=

sin ² a+ cos² a = 1

sin a cos a

sin a

ctg a= cos a

tgactga = 1

2

1 + tg² a= 1

cos a

2

1 + ctg² a= 1

sin a

 

Формулы сложения

 

cos(a- b) = cosacosb + sin asinb cos(a+ b) = cos a cosb - sin asinb sin(a+ b) = sin acosb + cos a sin b sin(a- b) = sin acosb - cosasinb

 

tg(a+ b) =

tg a+ tg b 1-tg a tgb

tg(a- b) =

tg a- tg b 1+ tga tgb

ctg(a+ b) =

ctg a ctg b- 1 ctg b+ctg a

ctg(a- b) =

ctg a ctg b+ 1 ctg b-ctg a

 

 

Формулы тригонометрических функций двойного аргумента

 

2

sin 2a= 2sin acosa sin 2a= ^{2tg a}

1+ tg a

cos 2a = 1 - 2sin² a

2

cos 2a= ^1-tg2 a

1+ tg a

2

cos 2a= cos² a - sin² a                  tg 2a = 2tg a   

2ctg a

1-tg a

cos 2a= 2cos² a -1

ctg 2a= ctg2 a-1

 

Формулы понижения степени

 

2

sin 2 a= 1 - cos 2 a

2

cos2 a= 1 + cos 2 a

2                    1 - cos 2 a 1+cos 2a

tg a=

ctg a=

2         1 + cos 2 a 1-cos 2a

Формулы приведения

 

Все формулы приведения получаются из соответствующих формул сложения.

2                             2                            2

П р и м е р 1. cos( p + a) = cos ^p cosa - sin ^p sin a = -sin a .

Нет необходимости запоминать такое количество формул, так как их применение легко укла- дывается в следующую схему:

· определяется координатная четверть, в которой лежит аргумент приводимой функции,

2

считая, что aÎ(0; ^p ) ;

· определяется знак приводимой функции;

·

2

2

определяется название приведенной функции по следующему правилу:

если аргумент приводимой функции имеет вид

( ^p ± a)

или

( ^{3 p} ± a) , то функция меняется

на кофункцию, если аргумент приводимой функции имеет вид (p ± a) , то функция назва- ния не меняет.

 

П р и м е р 2.

tg( ^{3 p} + a) = -ctga

·

2

2                    2

3 p +aÎ( 3 p ; 2p)

(IV четверть);

·

2                    2

3 p +a Î( 3 p ; 2p)

Þ tg( ^{3 p} + a) < 0 ;

·

2

2

2

аргумент приводимой функции имеет вид ( ^3p + a) , следовательно, название функции

меняется. Таким образом:

tg( ^{3 p} + a) = -ctga .

 

 

Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение

 

2             2

2             2

2             2

2            2

sin a+ sin b = 2sin ^a+b cos ^a-b sin a- sin b = 2sin ^a-b cos ^a+b cosa+ cosb = 2cos ^a+b cos ^a-b cos a- cosb = -2sin ^a+b sin ^a-b

sin( a+b ) cos acosb

tga+ tgb =

tga- tgb =

sin( a-b ) cos acosb

sin asinb

ctg a+ ctgb = ^{sin( a+b)}

sin asinb

ctg a- ctgb = ^{sin( b-a)}

 

 

Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму

 

2

2

2

cosacosb = 1 (cos(a - b) + cos(a + b)) sin asin b = 1 (cos(a - b) - cos(a + b)) sin acosb = 1 (sin(a + b) + sin(a - b))

 

 

Производная и интеграл

Таблица производных некоторых элементарных функций

Функция Производная c 0 kx + b k x p , p ¹ 0, p ¹ 1 px p -1 e x e x a x ax ln a ln x 1 , x > 0 x

Функция Производная loga x 1  , x > 0 x ln a sin x cos x cos x -sin x tg x  1 cos2 x ctg x - 1 sin2 x

Правила дифференцирования:

 

( f (x) + g(x))¢ = f ¢(x) + g¢(x)

(cf (x))¢ = cf ¢(x)

( f (x)g(x))¢ = f ¢(x)g(x) + f (x)g¢(x)

( f ( x) )¢ = f ¢ ( x) g ( x) - f ( x) g ¢ ( x)

g ( x)  

g 2 ( x)  

[ f (g(x))]¢ = f ¢(g(x))g¢(x)

 

 

Уравнение касательной к графику функции

y = f (x) в его точке (x0 ; f (x0 )) :

 

y = f ¢(x0 )(x - x0 ) + f (x0 )

 

 

Таблица первообразных для некоторых элементарных функций

Функция Первообразные a ax + C x p , p ¹ -1 x p+1 + C p+1 1 , x > 0 x ln x + C 1 , x < 0 x ln(-x) + C e x ex + C

Функция Первообразные a x a x  + C ln a sin x - cos x + C cos x sin x + C  1 cos2 x tg x + C  1 sin2 x - ctg x + C

 

 

Правила нахождения первообразных

 

Пусть

F (x), G(x)

— первообразные для функций

f (x) и

g (x)

соответственно, a, b, k ―

постоянные,

k ¹ 0 . Тогда:

 

F (x) + G(x) ― первообразная для функции

 

 

f (x) + g(x) ;

 

aF (x)

— первообразная для функции

af (x) ;

 

k

1  F (kx + b) ― первообразная для функции  f (kx + b) .

 

b

Формула Ньютона-Лейбница: ò f (x)dx = F (b) - F (a) .

a

---

Дата добавления: 2021-06-02; просмотров: 383; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!