Примеры гармонических осцилляторов:

СПРАВОЧНИК ПО ОСНОВНЫМ РАЗДЕЛАМ ФИЗИКИ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ СТУДЕНТОВ К ИНТЕРНЕТ- ЭКЗАМЕНУ.

I. МЕХАНИКА.

Кинематика.

Поступательное движение	Вращательное движение
Путь S = ; Скорость v = dS / dt ; Ускорение a = dv / dt ;	Угол j = ; угловая скорость w = d j / dt ; угловое ускорение ε = d w / dt
Связь между параметрами поступательного и вращательного движения ;
Равномерное поступательное движение: = const ; a = 0; S = t	Равномерное вращательное движение: w = const ; ε = 0; j = w t
Равноускоренное движение: a = const ¹ 0; ; S = t + at ² /2;	Равноускоренное движение: ε = const ¹ 0; ;

Тело, брошенное под углом a к горизонту со скоростью n _о .

Движение вдоль оси О X : = const ; x = = ( n _о . cos a ) × t ;

и О Y: = n _о . sin a - gt; y =

В верхней точке траектории: = n _о . sin a - gt _о = 0;

Время движения t _о до верхней точки траектории: t _о = n _о . sin a / g

Время движения тела до падения: t = 2 t _о = 2 n _о . sin a / g

Дальность полета вдоль оси О X до падения: S =

Максимальная высота подъема тела: H =

Движение по окружности.

Тангенциальное (касательное) ускорение .

Центростремительное (нормальное) ускорение .

Модуль вектора полного ускорения .

Динамика

1. Поступательное движение	2. Вращательное движение
Сила	Момент силы , где радиус-вектор – вектор от оси вращения в точку приложения силы
Импульс	Момент импульса
Масса тела m	Момент инерции тела J=
Основное уравнение динамики ,	Основное уравнение динамики ,
Работа	Работа
Кинетическая энергия	Кинетическая энергия

3.Направление момента силы M и момента импульса L находится по правилу правого винта (смотри пример на рисунке).

Моменты инерции некоторых тел простейшей формы

Тело	Положение оси	Момент инерции
Полый тонкостенный цилиндр радиусом R	Ось симметрии
Сплошной цилиндр или диск радиусом R	Ось симметрии
Тонкий прямой стержень длиной l	Ось перпендикулярна стержню и проходит через его середину
Тонкий прямой стержень длиной l	Ось перпендикулярна стержню и проходит через его конец
Шар радиусом R	Ось проходит через центр шара	(2/5)
*Теорема Штейнера: I = I_o + ma ²*, где a – расстояние между осями.

4.Уравнение динамики материальной точки массой m в неинерциальной К′ системе отсчета, вращающейся с постоянной угловой скоростью w вокруг неподвижной оси: m a ′ = F + m w ² r + 2 m [ ]

5.Уравнение динамики тела переменной массы (уравнение Мещерского):

m a = F + u dm / dt , где u - скорость отделения вещества относительно тела.

6.Уравнение динамики системы тел идентично уравнению движения материальной точки, вся масса которой сосредоточена в центре масс, к которому приложены и все действующие силы. Радиус-вектор R центра масс системы тел c общей массой m: R = . Если радиус-векторы тел откладывать от центра масс системы, то R= 0 и =0.

7. Связь между силой и потенциальной энергией U частицы в поле: F = -

Движение планет и комет

1. Уравнение движения планеты массой m ₁ вокруг звезды массой m ₂ под действием гравитационной силы: m ₁ dv / dt = - ( G m ₁ m ₂ / r ³ ) .

2. Сила, действующая на движущуюся вокруг звезды планету, направлена вдоль радиус-вектора планеты, поэтому момент этой силы равен 0: M = [ r F ] = 0.

Т.к. M = dL / dt =0, то при движении планеты вокруг звезды момент ее импульса не меняется как по модулю, так и по направлению: L =[ rmv ]= mr ² ( d j / dt )= const.

3. Первая космическая скорость - скорость, при которой тело может стать спутником планеты массой и радиусом R. Находится из равенства гравитационной Gm / R ²и центростремительной сил. Для Земли =7,9 км/сек.

Вторая космическая скорость = - скорость, при которой тело может преодолеть гравитационное притяжение планеты. Находится из равенства кинетической и потенциальной энергии тела.

Законы Кеплера:

1. Каждая планета движется по эллипсу, в фокусе которого находится Солнце.

2. Радиус-вектор планеты за равные промежутки времени D t описывает одинаковые площади величиной D S = ( L /2 m ) D t , где m - масса планеты, L - ее момент импульса. 3. Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей их орбит.

Релятивистская механика.

1. Релятивистское замедление часов: = - интервал времени , измеренный движущимися часами, меньше времени неподвижных часов.

2. Релятивистское сокращение длины = - длина движущегося тела вдоль направления движения меньше, чем длина неподвижного тела.

3. Преобразования Лоренца:

x ′ = ( x - n t )/ ; y ′ = y ; z ′ = z ; t ′ = ( t - x n / c ² )/ .

Обратные преобразования: x = ( x ′+ n t ′) / ;

t = ( t ′ - x ′ n / c ² )/ где x ′; y ′; z ′; t ′- координаты и время в системе К′, движущейся со скоростью n относительно системы К, причем оси x и x ′ совпадают, а оси y и z параллельны.

4. Связь между скоростями тела в системе К и движущейся со скоростью V вдоль оси X системы К′: = ; = ; =

4.Масса релятивистской частицы: m = m_o / .

4. Релятивистский импульс = / , где m_o - масса покоя.

6. Полная энергия релятивистской частицы

= / =

КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ.

2.2.1. Механические колебания

Тип колебаний	Уравнение	его решение	Амплитуда А и частота w
Собственные гармонические колебания			А= A_о= const; w _o – частота собственных колебаний
Затухающие гармонические колебания	b - коэффициент затухания	= t - время релаксации -логарифмический декремент затухания; Q = - добротность колебательной системы
Вынужденные колебания	= = f_o cos( w t+ j )	, где w равна частоте изменения силы F= m × f_o	А= Резонанс амплитуды (максимум А) на частоте:

Круговая (циклическая) частота w (рад/сек) , Т – период (сек),

ν – частота (Гц).

Скорость и ускорение a смещения точек при гармонических колебаниях:

Сложение колебаний.

Результирующее колебание из нескольких колебаний одинаковой частоты находится с помощью векторной диаграммы, на которой каждое из колебаний представляется в виде вектора, длина которого равна амплитуде колебания, а угол с осью OX равен фазе колебания. Согласно рис. 2.1, результатом сложения двух гармонических колебаний равной частоты

X₁= A₁ cos ( w t + j ₁ ) и X₂= A₂ cos ( w t + j ₂ )

является колебание X = A cos ( w t + j ), с фазой tg j = и амплитудой А= .

Примеры гармонических осцилляторов:

Маятник	Уравнение движения	Собственная частота	Период колебания Т
Пружинный; - упругая сила	или k –жесткость пружины
Физический	, α – угол отклонения тела	= = J- момент инерции тела	- приведенная длина маятника
Математи- ческий

2.2.2. Электрические колебания

Затухающие колебания в электрическом колебательном контуре (рис. 2.2) описываются уравнением , b = R /2 L ; w = ; w _o =1/ ; период колебаний Т=2p/w ; логарифмический декремент затухания ; добротность Q = . При малом затухании Q = w _o L / R .

Вынужденные колебания. При подключении колебательного контура к источнику переменного напряжения U = U_o cos w t в нем возникают вынужденные колебания тока I = I _о cos ( w t - j ) с амплитудой I _о = U_o / и фазой tg j = ( w L - 1/ w C )/ R . Максимум I _о наблюдается на частоте w _o =1/ . На данной частоте напряжение на емкостном R_c =1/ w C и индуктивном сопротивлении оказывается одинаковым, но сдвинутым по фазе на p (рис. 2.3). Поэтому ток в контуре определяется только активным сопротивлением R - резонанс напряжений.

2.2.3. Волны

1. Уравнение плоской (бегущей) волны ,

или по формуле Эйлера , где k - волновое число,

w - частота колебаний, - смещение частиц.

2. Уравнение сферической волны (волновые поверхности имеют вид концентрических сфер) .

3. Скорость перемещения волны – есть скорость перемещения постоянной фазы, т.е. . Дифференцируя это уравнение по времени, находим скорость перемещения волны: u = dx / dt = w / k .

4. Длина волны = 2 p / k , где T =2 p / w - период колебаний частиц в волне

5. Волновое уравнение : .

6. Стоячие волны возникают при наложении двух бегущих волн и одинаковой амплитуды и частоты, двигающихся навстречу друг другу:

= + = + = (2Acoskx) sin w t =B sin w t

В результате наложения таких волн в каждой точке среды возникает гармоническое колебание той же частоты w , но с амплитудой B=2 A coskx , зависящей от координаты x . Когда B = max - пучности, B =min – узлы. В пространстве шириной d могут возникнуть стоячие волны такой длины волны l, при которой в нем укладывается целое число N полуволн: d =N∙ l/2.

Электромагнитные волны.

1.Плотность потока энергии электромагнитной волны - вектор Пойтинга.

2. Скорость распространения электромагнитных волн в среде , ε – электрическая, μ – магнитная проницаемость среды, с – скорость света.

3. Объемная плотность энергии электромагнитного поля W = ED /2 + BH /2

4. Импульс электромагнитного поля , W – энергия поля.

Дата добавления: 2021-06-02; просмотров: 54; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 3 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!