Для тех, кто будет претендовать на 4 и 5 на экзамене
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 15
Учебная дисциплина: Математика (включая алгебру и начала математического анализа, геометрию).
Тема: «Решение тригонометрических уравнений различными методами».
Цель занятия: проверить, закрепить и проконтролировать знания по рассматриваемой теме; продолжить развитие умения решать тригонометрические уравнения с применением тригонометрических формул.
Норма времени: 80 мин.
Контрольные вопросы (ОТВЕТЫ В ТЕТРАДЬ).
1. Основные тригонометрические формулы.
2. Простейшие тригонометрические уравнения. Частные случаи.
3. Понятие однородного уравнения, свойства однородных уравнений.
4. Формулы понижения степени.
5. Формулы двойного и половинного угла.
6. Формулы преобразования сумм в произведение и произведения в суммы.
Примеры и последовательность выполнения заданий
(ВСЕ ПРИМЕРЫ ВМЕСТЕ С ТЕОРИЕЙ В ТЕТРАДЬ)
Любое тригонометрическое уравнение в процессе решения с помощью надлежащих преобразований должно быть приведено к простейшим. Наиболее часто при решении тригонометрических уравнений применяются следующие методы:
- разложение на множители;
- способ замены (сведение к алгебраическим уравнениям);
- сведение к уравнениям, однородным относительно
и 
; - преобразование суммы тригонометрических функций в произведение;
- преобразование произведения тригонометрических функций в сумму;
- использование формул понижения степени;
- равенство одноименных тригонометрических функций;
- равенство одноименных тригонометрических функций
- введение вспомогательного аргумента.
При этом, как правило, в процессе решения тригонометрического уравнения приходится использовать не один, а несколько из указанных выше методов.
|
|
|
Способ замены
Данным методом решаются уравнения вида
, 
.
Они сводятся к простейшим тригонометрическим уравнениям с помощью замены 
или 
.
Уравнения 
не являются с виду алгебраическими, но их можно свести к алгебраическим:
.
При решении уравнений этим методом необходимо знать формулы:
Пример 1. Решить уравнение 
.
Решение. Это уравнение является квадратным относительно . Поэтому сделаем замену . В результате получим уравнение 
. Его корни: 
, то есть получаем уравнение 
или 
. Первое уравнение дает 
. Второе уравнение не имеет корней.
Ответ: .
Пример 2. Решить уравнение 
.
Решение. Так как 
, то уравнение можно представить в виде 
; 
. Сделаем замену 
. Получим квадратное уравнение 
, решая которое, имеем: 
,то есть 
. Таким образом, получим два простейших уравнения 
или 
. Решая их, имеем 
или 
.
|
|
|
Ответ: 
Однородные уравнения
Уравнения:
,
,
,
называются однородными относительно и . Они обладают тем свойством, что сумма показаний степеней при и у всех членов уравнения одинакова. Делением на 
соответственно уравнения приводятся к алгебраическим уравнениям относительно 
. При этом, конечно, предполагается, что коэффициент 
. В результате получаем равносильное уравнение, так как разделили на 
(если бы 
, то из исходного уравнения следует, что и 
, а это невозможно, так как и при одном и том же значении х в нуль не обращаются, ибо всегда 
).
Уравнение 
легко сводится к однородному, если правую часть представить в виде 
. После очевидных преобразований получаем
.
Пример 1. Решить уравнение:
.
Решение. Это уравнение является однородным относительно и . Поэтому, разделив его на 
, получим 
. Введем новую переменную 
и решим квадратное уравнение 
.
Его корни 
. Получили два простейших тригонометрических уравнения 
. Решая их, найдем: 
или 
.
Ответ: 
.
Пример 2 . Решить уравнение:
.
Решение. Это уравнение, сводящееся к однородному. Имеем
то есть получили однородное уравнение. Разделив обе части уравнения на , получим 
. Решая это уравнение, квадратное относительно , найдем, что 
либо 
. Таким образом, или 
.
|
|
|
Ответ: 
.
Разложение на множители
При решении уравнений этим методом нужно пользоваться известными способами разложения на множители алгебраических выражений. Необходимо также знать уже приведенные формулы и дополнительно:
Пример 1 . Решить уравнение 
.
Решение. Применяя формулу синуса двойного угла, получим 
, 
. Полученное уравнение равносильно совокупности уравнений: 
.
Решение 1-го уравнения: 
.
Уравнение 
преобразуем к виду , имеющему решение 
.
Ответ: 
.
Пример 2 . Решить уравнение 
.
Решение. Перенесем все члены уравнения в левую часть и разложим ее на множители:
Отсюда следует, что 
или 
, то есть имеем уравнение 
или . Решая их, получим 
или 
.
Ответ: 
.
ВЫПОЛНИТЕ СЛЕДУЮЩИЕ ЗАДАНИЯ:
Решите уравнения
Вариант 1
1. 2sin2 x – 5sin x – 7 = 0
2. 12sin2 x + 20cos x – 19 = 0
3. 3sin2 x + 14sin x cos x + 8cos2 x = 0
4. 7 tg x – 10ctg x + 9 = 0
5. 5sin 2x – 14cos2 x + 2 = 0
6. 9cos 2x – 4cos2 x = 11sin 2x + 9
Вариант 2
1. 10cos2 x – 17cos x + 6 = 0
2. 2cos2 x + 5sin x + 5 = 0
3. 6sin2 x + 13sin x cos x + 2cos2 x = 0
4. 5 tg x – 4ctg x + 8 = 0
5. 6cos2 x + 13sin 2x = –10
|
|
|
6. 2sin2 x + 6sin 2x = 7(1 + cos 2x)
ЧАСТЬ 3. ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ
для тех, кто будет претендовать на 4 и 5 на экзамене
(это задание подобные экзаменационным)
ЭТО ССЫЛКА НА ВИДЕО ЗАНЯТИЯ
https://yandex.ru/efir?stream_id=473871b3465ea1eb9e3d56e0c41bface&from_block=logo_partner_player
https://yandex.ru/efir?stream_id=4e83d31f03496fc1b7a5458a734f2458&from_block=logo_partner_player
1. Решите уравнение 3sin2x+sinxcosx-2cos2x=0. Укажите корни, принадлежащие отрезку 
.
2. Решите уравнение 
. Укажите корни, принадлежащие отрезку 
.
3. Решите уравнение: 4 sin 2 x -5 sinx ∙ cosx -6 cos 2 x =0. Укажите корни, принадлежащие отрезку [ 
].
4. Решите уравнение: 3 sin 2 x -7 sinx cosx +2 cos 2 x =0 Укажите корни, принадлежащие отрезку [ 
].
5. Решите уравнение 
. Укажите корни, принадлежащие отрезку 
.
6. Решите уравнение 
. Укажите корни, принадлежащие отрезку 
.
7. Решите уравнение 
. Укажите корни, принадлежащие отрезку .
8. Решите уравнение 
. Укажите корни, принадлежащие отрезку 
9. Решите уравнение 
.Укажите корни, принадлежащие отрезку 
10. Решите уравнение cos 2 x + cos 2 x =0. Укажите корни, принадлежащие отрезку 
11. Решите уравнение cos 2 x +0,75= cos 2 x. Укажите корни, принадлежащие отрезку .
12. Решите уравнение 4 sin 2 x -2 sinxcosx =1. Укажите корни, принадлежащие отрезку 
.
13. Решите уравнение 
. Укажите корни, принадлежащие отрезку 
14. Решите уравнение 
Укажите корни, принадлежащие отрезку
15. Решите уравнение 
. Укажите корни, принадлежащие отрезку .
16. Решите уравнение 
. Укажите корни, принадлежащие отрезку
17. Решите уравнение 
. Укажите корни, принадлежащие отрезку 
.
18. Решите уравнение: 
. Укажите корни, принадлежащие отрезку 
.
19. Решите уравнение 
. Укажите корни, принадлежащие отрезку 
.
20. Решите уравнение 
.Укажите корни, принадлежащие отрезку 
.
21. Решите уравнение 
. Укажите корни, принадлежащие отрезку .
22. Решите уравнение 
. Укажите корни, принадлежащие отрезку 
23. Решите уравнение 
. Укажите корни, принадлежащие отрезку 
.
24. Решите уравнение 
. Укажите корни, принадлежащие отрезку 
25. Решите уравнение 
. Укажите корни, принадлежащие отрезку 
Дата добавления: 2021-06-02; просмотров: 57; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!