Моменты инерции некоторых однородных тел

ДИНАМИКА МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

Механическая система – это совокупность взаимодействующих между собой материальных точек (тел).

Классификация сил, действующих на материальные точки механической системы

Силы, действующие на механическую сис- тему, разделяют на:

– внешние (P e ) и внутренние (P j );

– активные (P a )

тивные) (N ).

и реакции связей (реак-

Рисунок 5.1

Одна и та же сила может быть как внешней, так и внутренней, в зависимости от того какие тела входят в рассматриваемую систему.

Например, рассмотрим механическую сис-

тему (рисунок 5.1), состоящую из: кривошипа 1; шатуна 2; поршня 3; корпуса 4. Определим внешние и внутренние силы, активные и реакции связей (таблица 5.1).

Таблица 5.1 – Разделение сил, действующих на механическую систему

Сила	Система тел
Сила	поршень – шатун – кривошип	корпус – поршень – шатун – кривошип
G	внешняя активная	внешняя активная
P a	внешняя активная	внутренняя активная
x O , y O	внешние реактивные	внутренние реактивные
N1 , N2	–	внешние реактивные
F тр1	–	внешняя активная
F тр 2	–	внешняя реактивная

Свойства внутренних сил:

1) так как внутренние силы попарны и равны по величине, то главный вектор и главный момент внутренних сил равны нулю:

R j = åP j = 0;

M j = åM

(P j )= 0 ;

O O i

внутренние силы не уравновешены, так как приложены к разным телам.

Дифференциальные уравнения движения механической системы

Для механической системы, состоящей из n материальных точек, можно составить n векторных дифференциальных уравнений движений:

d r

m i i = P i

dt2

e + P j

. (5.1)

В проекциях на оси координат необходимо составить 3n

дифференциальных уравнений. Для случаев, когда

n > 3

решение

уравнений имеют значительные математические трудности.

Избежать этого помогут общие теоремы динамики для механической системы, основывающиеся на понятиях центра масс механической системы и момента инерции.

Центр масс механической системы

Масса механической системы m равна сумме

масс m i

всех точек (тел) входящих в эту систему

(рисунок 5.2):

m = åm i .

Рисунок 5.2

Из статики известно (см. раздел I, тема 10, пункт 10.2):

r C

Так как G = mg ; G i = m i g , то

= år i G i .

r = år i m i g =

C mg

= år i m i . (5.2)

Центром масс механической системы называется геометрическая точка C , радиус-вектор которой определяется равенством (5.2).

В проекции на координатные оси получим:

x = å x i m i ;

C m

y = å y i m i ;

C m

z = å z i m i .

C m

Осевые моменты инерции твердого тела

Характер распределения массы тел относительно плоскости, оси или центра существенно влияет на движение этих тел (системы тел) и характеризуется соответствующим моментом инерции. Ограничимся рассмотрением моментов инерции относительно оси (рисунок 5.3).

Момент инерции тела относительно оси – это сумма произведений массы каждой точки тела на квадрат расстояния от оси до точки:

z i i

J = åm r2 , [J ]= éëкг × м2 ùû .

Рисунок 5.3

Для тонкостенного кольца (рисунок 5.4) рас-

стояние r i

есть величина постоянная равная R :

z i i i

J = åm r2 = R2 åm

= mR2 .

Рисунок 5.4

Момент инерции любого тела можно представить в виде:

J = m r 2 ,

где

r = i z

– радиус инерции – расстояние от оси вращения, на котором необходимо разместить массу тела, чтобы момент инерции размещенной массы равнялся моменту инерции тела

относительно этой оси, м.

Для сложных тел, для которых момент инерции математически выразить затруднительно, определяется и задается именно радиус инерции.

Момент инерции тела относительно оси проходящей через его центр масс (центральной оси) всегда наименьший.

Теорема Гюйгенса-Штейнера (рисунок 5.5)

Момент инерции тела относительно любой оси равен моменту инерции тела относительно параллельной оси, проходящей через центр его масс плюс произведение массы тела на квадрат