Решение упражнений на нахождение первообразной.

Урок №126

Комбинированное занятие № 55

Тема: Правила вычисления первообразной. Вычисление первообразных.

Цель:

Учебная:

- познакомить обучающихся с правилами вычисления первообразной, научить находить первообразные функций;

Развивающая:

- формирование умений применять приемы сравнения, обобщения, выделения главного, логически излагать мысли, делать выводы, развивать речь, внимание и память.

Воспитательная:

- способствовать формированию умений применять приемы: сравнения, обобщения, выявления главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитию математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.

Методы обучения: практическая работа, контрольная работа.

Оборудование: компьютер, проектор.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Формируемые на уроке ПК и ОК

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

План занятия.

1. Организационный момент.

2. Актуализация темы.

3. Правила вычисления первообразной.

4. Решение упражнений на нахождение первообразной.

5. Домашнее задание.

6. Итоги занятия.

Ход занятия.

1. Организационный момент – приветствие, проверка посещаемости.

Актуализация темы.

Обучающиеся вспоминают, что такое первообразная.

Правила вычисления первообразной.

Операция, обратная дифференцированию, называется интегрированием. С помощью этой операции для функции у = f(x), вычисляется новая функция у = F(x), производная которой равна функции f:

F'(x) = f(x).

Такая функция F называется первообразной функции f.

Задача интегрирования возникает в процессе поиска некоторой функции F при известной ее производной f. Известно, что производная площади S подграфика функции f равна самой функции f. Следовательно, для нахождения S нужно искать первообразную известной функции f.

2. Свойства первообразной.

1. Если F — первообразная функции f, то функция F + С, где С – константа, также является первообразной той же функции f.

2. Обратно, если F₁ и F₂ – две первообразные одной и той же функции f, то они отличаются на постоянное слагаемое:

F₁ = F₂ + C.

3. Если F и G — первообразные функций f и g, то сумма F + G является первообразной функции f + g.

4. Если F — первообразная функции f, то Cf является первообразной функции Cf (С – постоянное число).

Свойства первообразной – это свойства производной, только переписанные в обратном порядке.

Исключение составляет свойство 2, которое означает, что функция, производная которой тождественно равна нулю, обязательно является константой. Это свойство очевидно, так как с точки зрения механики производная – это скорость. Если скорость тела равна нулю, то тело находится в покое.

Как вычисляют первообразную?

1. Операция дифференцирования совершается формально – нужно запомнить несколько правил, и их будет достаточно для нахождения производных. Не так обстоит дело с интегрированием: например, нет формулы для интегрирования произведения и частного функций. Поэтому составлены обширные таблицы интегралов (первообразных) и появляется новая задача — научиться преобразовывать вычисляемые интегралы в табличные.

2. Одна и та же функция f имеет бесконечно много первообразных, но все они друг от друга отличаются на константу. Знаком неопределенного интеграла ʃ обозначается какая-либо из первообразных. Отсюда ясно, что всякие равенства с использованием знака ʃ надо понимать с точностью до постоянного слагаемого. Чтобы помнить это, при вычислении первообразных пишут какую-нибудь из них, а затем добавляют постоянную С.