Понятие марковского случайного процесса.
Понятие случайного процесса.
Случайным процессом называется множество или семейство случайных величин, значения которых индексируются временным параметром. Например, число студентов в аудитории, атмосферное давление или температура в этой аудитории как функции времени являются случайными процессами.
Случайные процессы находят широкое применение при изучении сложных стохастических систем как адекватные математические модели процесса функционирования таких систем.
Основными понятиями для случайных процессов являются понятия состояния процесса и перехода его из одного состояния в другое.
Значения переменных, которые описывают случайный процесс, в данный момент времени называются состояниемслучайногопроцесса. Случайный процесс совершает переход из одного состояния в другое, если значения переменных, задающих одно состояние, изменяются на значения, которые определяют другое состояние.
Число возможных состояний (пространство состояний) случайного процесса может быть конечным или бесконечным. Если число возможных состояний конечно или счетно (всем возможным состояниям могут быть присвоены порядковые номера), то случайный процесс называется процессом с дискретными состояниями. Например, число покупателей в магазине, число клиентов в банке в течение дня описываются случайными процессами с дискретными состояниями.
Если переменные, описывающие случайный процесс, могут принимать любые значения из конечного или бесконечного непрерывного интервала, а, значит, число состояний несчетно, то случайный процесс называется процессом с непрерывными состояниями. Например, температура воздуха в течение суток является случайным процессом с непрерывными состояниями.
|
|
|
Для случайных процессов с дискретными состояниями характерны скачкообразные переходы из одного состояния в другое, тогда, как в процессах с непрерывными состояниями переходы являются плавными. Далее будем рассматривать только процессы с дискретными состояниями, которых часто называют цепями.
Обозначим через g(t) случайный процесс с дискретными состояниями, а возможные значения g(t), т.е. возможные состояния цепи, - через символы E0, E1, E2, … . Иногда для обозначения дискретных состояний используют числа 0, 1, 2,... из натурального ряда.
Случайный процесс g(t) называется процессомсдискретнымвременем, если переходы процесса из состояния в состояние возможны только в строго определенные, заранее фиксированные моменты времени t0, t1, t2, …. Если переход процесса из состояния в состояние возможен в любой, заранее неизвестный момент времени, то случайный процесс называется процессомс непрерывнымвременем. В первом случае, очевидно, что интервалы времени между переходами являются детерминированными, а во втором - случайными величинами.
|
|
|
Процесс с дискретным временем имеет место либо, когда структура системы, которая описывается этим процессом, такова, что ее состояния могут изменяться только в заранее определенные моменты времени, либо когда предполагается, что для описания процесса (системы) достаточно знать состояния в определенные моменты времени. Тогда эти моменты можно пронумеровать и говорить о состоянии Ei в момент времени ti.
Случайные процессы с дискретными состояниями могут изображаться в виде графа переходов (или состояний), в котором вершины соответствуют состояниям, а ориентированные дуги - переходам из одного состояния в другое. Если из состояния Ei возможен переход только в одно состояние Ej, то этот факт на графе переходов отражается дугой, направленной из вершины Ei в вершину Ej (рис.1,а). Переходы из одного состояния в несколько других состояний и из нескольких состояний в одно состояние отражается на графе переходов, как показано на рис.1,б и 1,в.
а) б) в)
|
|
|
 | ||||||
| ||||||
|
| |||||
 |
Ei Ej Ei Ek Ek Ei
Em Em
Рис.1. Фрагменты графа переходов.
Понятие марковского случайного процесса.
Особое место среди случайных процессов занимают так называемые марковские случайные процессы, впервые описанные А.А. Марковым в 1907г. Случайный процесс называется марковским, если вероятность любого его состояния в будущем зависит только от состояния в настоящем и не зависит от того, каким образом и когда процесс пришел в текущее состояние. Аналитически сказанное может быть записано в виде:
|
|
|
|
=Pr{g(tn+1)=En+1| g(tn)=En},
где t1< t2< … < tn< tn+1, а En - текущее состояние. Иными словами, в марковских случайных процессах влияние (воздействие) всей предыстории процесса на его будущее полностью сосредоточено в текущем состоянии процесса. Это свойство называется свойствомотсутствияпоследействия или применительно к случайным процессам марковскимсвойством.
Свойство отсутствия последействия накладывает существенные ограничения на распределение времени пребывания марковского процесса в том или ином состоянии. Так, в случае цепи Маркова с непрерывным временем время пребывания в данном состоянии должно быть распределено по экспоненциальному, а в случае дискретной цепи Маркова - по геометрическому, законам распределения, которые являются единственными, соответственно, непрерывным и дискретным распределениями без последействия. Только при таких ограничениях на времена пребывания процесса в состояниях гарантировано выполнение марковского свойства.
|
Pi = Pr{g{t} = Ei}, i = 0,n.
Очевидно, что в любой момент времени t процесс находится в одном из n+1 возможных состояний, т.е. события g{t}=Ei, i = 0,n заключающиеся в том, что в момент времени t процесс находится в состояниях E0, E1 ,…, En, образуют полную группу несовместных событий. Отсюда следует, что в любой момент времени t выполняется условие:
|
1,
которое называется нормировочным.
Совокупность вероятностей Pi(t), i=0,n, может быть представлена вектором, называемым вектором состояний, с числом компонент, равным числу возможных состояний процесса:
P(t)={P0(t), P1(t), …, Pn(t)}.
Главная задача изучения марковских случайных процессов заключается в определении вероятностей Pi(t), i = 0,n, нахождения процесса в любой момент времени t в том или ином состоянии, что дает полную информацию о случайном процессе. Для решения данной задачи необходимо:
1) указать в каком состоянии находится процесс в начальный момент времени;
2) описать переходы между состояниями.
Состояние процесса в начальный момент времени t=0 задается вектором начальных вероятностей
P(0)={P0(0), P1(0), …, Pn(0)}.
Описание переходов между состояниями зависит от того, каким (с дискретным или с непрерывным временем) является изучаемый марковский случайный процесс. Этот вопрос будет рассматриваться в следующих параграфах.
Очень часто при изучении марковских случайных процессов достаточно определить не вероятности P0(t), P1(t), …, Pn(t) в любой момент времени t, а их предельные значения (если они существуют) при 
.
Если при вероятности Pi(t), i=0,n, стремятся к предельным значениям Pi , i=0,n, не зависящим от распределения начальных вероятностей Pi(0), i=0,n, то говорят, что случайный процесс обладает эргодическимсвойством.Таким образом, для процессов, обладающих эргодическим свойством, существуют пределы
, i=0,n.
Предельные вероятности Pi, i=0,n, часто называют вероятностями состояний равновесия или стационарными вероятностями.
Дата добавления: 2021-05-18; просмотров: 71; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!