Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Регрессия

Определение. Регрессией У на Х называется условное математическое ожидание У, при условии, что событие Х произошло, то есть

(6)

Регрессию У на Х можно рассматривать как функцию у(х). Рассмотрим как это происходит. Фиксируем, например, х₁ и вычислим

(7)

Аналогично вычисляется

и т.д.

Отметим на плоскости (х;у) точки А₁, А₂,…, А_мс координатами (х₁; ),

(х₂; , (х_м; ). Соединим эти точки кривой, называемой кривой регрессии У на Х. Это график функции y(x).

Аналогично строится кривая регрессии Х на У, то есть график х=х(у).

Линейная регрессия

Имеем кривую регрессии У на Х. Это график функции y(x). Эта кривая проходит через центр тяжести, то есть через точку (М(Х); М(У)). Построим прямую у=кх+в, проходящую через точку (М(Х);М(У)), такую, что сумма квадратов расстояний от линии регрессии до этой прямой была наименьшей.

Уравнение линейной регрессии У на Х выглядит следующим образом:

(8)

Построим теперь регрессию Х на У, то есть

Regr(X/Y)=M(X/Y). Это будет кривая х=х(у). Снова построим линейную регрессию Х на У, минимизируя квадраты расстояний, но уже по х, а не по у. Эта прямая также проходит через центр тяжести и имеет вид:

. (9)

Чем меньше угол между прямыми, тем более жёсткая связь между Х и У. Если r=0, то прямые перпендикулярны. Одна горизонтальная, другая вертикальная. Случайные величины некоррелированные.

Функция распределения. Функция плотности распределения непрерывной случайной величины

Функцией распределения называют функцию определяющую вероятность того, что случайная величина в результате испытания примет значение, меньшее , т. е. .

Пример 1. Дан ряд распределения случайной величины :

	–2	1	2	4
	0,4	0,1	0,2	0,3

Составить функцию распределения и построить ее график.

Решение:

при

Рис. 1. График функции распределения

Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале , равна приращению функции распределения на этом интервале:

Для непрерывной случайной величины:

Пример 2. Случайная величина задана функцией распределения

Равномерное распределение.

Найдите вероятность того, что в результате испытания примет значение, принадлежащее интервалу .

Решение. Так как на интервале , то Следовательно,

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины называют функцию – первую производную от функции распределения

Свойства плотности распределения:

1. ;

2. Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах

от до равен единице: (основное условие нормировки).

Пример 3. Дана функция распределения случайной величины :

Найдите плотность распределения .

Решение. Плотность распределения равна первой производной от функции распределения:

распределения:

Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от до : .