Нестационарное электрическое поле

Лекция ДО_4

ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ

В НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЯХ

Нестационарное магнитное поле

Пусть теперь индукция магнитного поля B изменяется во времени.

Поскольку сила Лоренца всегда направлена перпендикулярно вектору B, магнитное поле не может передать энергию заряженной частице. Однако при изменении B во времени возникает вихревое электрическое поле Е:

(1)

которое уже может ускорять частицы.

Рассмотрим этот процесс детальнее. Пусть l – элемент дуги вдоль траектории частицы, а – ее поперечная скорость (скоростью v_ǁ в рамках нашего рассмотрения пренебрегаем!).

Запишем уравнение движения частицы в электромагнитных полях

(2)

и умножим его левую и правую части скалярно на v_^. Тогда, преобразовав его, получим:

Интегрирование по периоду вращения позволяет вычислить изменение энергии частиц за 1 оборот:

(3)

Если индукция магнитного поля меняется медленно (т.е. выполняется дрейфовое приближение), то интеграл по времени можно заменить интегралом вдоль невозмущенной орбиты

(4)

В этом выражении интеграл по замкнутому контуру по формуле Стокса можно заменить на поверхностный интеграл:

(5)

Здесь S -ориентированная поверхность, окруженная ларморовской орбитой. Направление нормали к ней определяется по правилу правой руки (пальцы указывают направление скорости V). Поскольку плазма является диамагнетиком, то для ионов произведение меньше нуля, а для электронов – больше нуля.

Т.к. зависимость B(t) считается слабой, будем считать, что за время одного оборота величина является постоянной и циклотронный радиус R_c также постоянен.

Тогда подставляя выражения для этих величин в формулу (5) и сокращая те же множители в числителе и знаменателе, получим:

Но величина представляет собой изменение величины магнитной индукции за период вращения, а – магнитный момент µ.

Таким образом, получаем

(6)

Поскольку левая часть этого равенства тождественно равна δ(μB), раскрывая приращение от произведения двух функций, придем к следующему соотношению:

т.е. или

(7)

Таким образом, в медленно меняющемся магнитном поле магнитный момент остается постоянным.

При изменении индукции магнитного поля ларморовские орбиты сжимаются или расширяются, а поперечная энергия частиц уменьшается или увеличивается. Этот обмен энергией между магнитным полем и частицами очень просто описывается соотношением (7).

Инвариантность величины μ позволяет легко доказать следующую теорему:

Магнитный поток через поверхность, ограниченную ларморовской орбитой, постоянен.

Покажем это. Магнитный поток

где

Подставляя сюда выражение для циклотронного радиуса, получим:

(8)

При этом в отличие от ситуации с постоянным по времени магнитным полем и ÑB ǁB параллельная скорость v_ǁ остается постоянной, а следовательно, в целом, энергия частицы меняется!

Нестационарное электрическое поле

Пусть теперь магнитное поле постоянно во времени, а поле E синусоидально меняется со временем с некоторой частотой ω.

Для определенности пусть вектор напряженности электрического поля E направлен по оси Ох:

(9)

где x₀ – орт в направлении Ox.

Дифференцируя записанное выражение, получим:

(9а)

Учитывая, что вектор индукции магнитного поля направлен, как и ранее, по оси Оz, т.е. , уравнение движения заряженной частицы

(10)

с учетом того, что векторное произведение представляется в виде определителя

можно записать в проекциях в следующем виде:

, (11)

, (12)

(13)

Если представить производные по времени как дифференцируемые величины с точкой сверху, первое уравнение (11) будет выглядеть так:

После дифференцирования по времени оно примет вид:

Подставляя в последнее уравнение значение производной по времени от проекции скорости v _y из уравнения (12), получим:

или, после умножения и деления второго слагаемого на B

(14)

где ω_c – циклотронная частота (как мы помним, всегда положительная величина!), а знаки ± учитывают сорт частицы (ион – электрон).

Аналогично тому, как было получено соотношение (14) относительно проекции v _x, можно получить уравнение для проекции v _y. Пожалуйста, сделайте это самостоятельно!!!!

Подставляя в уравнение (14) значение производной из (9а), запишем его в виде

откуда (15)

Аналогичную процедуру для получения выражения для , п ожалуйста, сделайте самостоятельно.

Введем обозначения

(16)

при этом верхний знак относится к частицам с положительным зарядом (ионам).

Тогда уравнения для вторых производных по времени от проекций скоростей примут вид:

(17)

Как и ранее, в рамках дрейфового приближения для проекций скорости, перпендикулярной вектору индукции магнитного поля, будем искать решение в виде суперпозиции дрейфа и вращения v_^:

(18)

Если соотношения (18) дважды продифференцировать по времени и подставить в уравнения (17), получим следующее:

(19)

(20)

Последние уравнения совпадают с (17) только в том случае, когда ω² мало по сравнению с . Если теперь предположить, что напряженность электрического поля меняется медленно, т.е. , то выражения (18) будут приближенными решениями уравнений (17).

Из (18) следует, что движение ведущего центра в рассмотренном случае является более сложным, а его скорость имеет 2 составляющие:

а) y-компонента скорости, перпендикулярная векторам и напряженности электрического, и индукции магнитного поля – это обычный электрический дрейф в скрещенных электрическом и магнитном полях, за исключением лишь того, что v_E теперь медленно осциллирует с частотой ω;

б) x-составляющая соответствует новому виду дрейфа вдоль направления E, который называется поляризационным дрейфом. Подумайте, пожалуйста, почему выбрано такое его название!

Заменяя в множителе перед мнимой частью формулы (16) , можно обобщить это соотношение и записать скорость поляризационного дрейфа в виде:

(21)

Поскольку скорости V_p у ионов и электронов направлены в разные стороны, возникает поляризационный ток. При Z = 1 его плотность составляет

где ρ – массовая плотность плазмы.

Задание. Сформулируйте, для каких видов рассмотренных дрейфовых движений в плазме будут возникать дрейфовые токи, а для каких - нет. С чем это связано?

Рассмотрим далее другие виды дрейфа, не связанные с нестационарностью полей.

Гравитационный дрейф

В этом случае в качестве поперечной силы, приводящей к дрейфу, рассматривается сила тяжести F = M g. Выражение для скорости гравитационного дрейфа имеет вид:

Ионы и электроны дрейфуют в различных направлениях, причем v_ge << v_gi.

Плотность дрейфового тока в этом случае при Z = 1 составляет

где M и m – массы иона и электрона соответственно.

Инерционный дрейф

В заключение рассмотрения дрейфового приближения для описания движения заряженных частиц в электромагнитных полях вернемся к ранее сформулированному парадоксу, связанному с пропорциональностью величине действующей силы не ускорения, а скорости дрейфа. Надеюсь, что вы уже думали об этой проблеме и имеете какое-то свое мнение на этот счет!

Если вы помните, при выводе формулы для скорости дрейфа мы предполагали ее постоянство во времени и опускали в уравнении движения слагаемое, содержащее производную по времени от скорости дрейфа. Давайте теперь в следующем приближении попробуем учесть это слагаемое и выяснить его влияние на результат и погрешность дрейфового приближения.

Для этого представим составляющую скорости частицы V_^, перпендикулярную вектору индукции магнитного поля, в виде суммы не двух, а трех слагаемых, первое из которых представляет собой скорость быстрого вращения вокруг магнитной силовой линии, а два других характеризуют существенно более медленное смещение ведущего центра перпендикулярно вектору B, т.е. дрейфовое движение:

. (22)

При этом – та самая постоянная во времени скорость дрейфа, которую мы с вами исследовали в последних лекциях, а – некоторая поправка к ней в следующем приближении.

При подстановке последнего выражения в уравнение движения заряженной частицы

(23)

чтобы получить формулу для скорости дрейфа, мы пренебрегли и получили выражение

, (24)

которое позволяет определить эту скорость в нулевом приближении.

Для определения скорости дрейфа в первом приближении учтем слагаемое, содержащее производную от скорости дрейфа по времени. Подставив выражение (22) в уравнение движения (23), получим:

(25)

Пренебрегая в этом выражении третьим слагаемым в левой части, которое содержит производную от скорости дрейфа в первом приближении по времени, отметим, что помеченные маркерами одного цвета слагаемые в левой и правой частях уравнения (25) тождественно равны друг другу. Так, из уравнения со слагаемыми только желтого цвета мы ранее определяли скорость вращения частицы вокруг магнитной силовой линии , а из уравнения только со слагаемыми голубого цвета – скорость дрейфа в нулевом приближении.

Оставшиеся слагаемые уравнения (25) дают нам возможность нахождения скорости дрейфа в следующем - первом – приближении (напоминаю, что слагаемым с производной по времени от скорости дрейфа в первом приближении – слагаемым, отмеченным красным маркером мы пренебрегаем!!!):

(26)

Искомая переменная входит в уравнение (26) под знаком векторного произведения, поэтому для ее нахождения необходимо умножить обе части этого уравнения векторно на вектор индукции магнитного поля B и раскрыть тройное векторное произведение, как мы делали это при нахождении выражения для скорости дрейфа (24).

Не повторяя эти действия, приведу сразу ответ - выражение для скорости дрейфа в первом приближении:

(27)

Отметим, что направление отличается от

В соответствии с (27) выражением компоненту движения, определяемую скоростью , можно рассматривать как дрейф под действием силы инерции . (см. формулу (24)). Поэтому эта компонента получила название инерционного (инерциального) дрейфа. Рассмотрение этого вида дрейфа пригодится нам позже для анализа течения при генерации плазмы и заполнении ими магнитных ловушек.

Подставив выражение для из (24), можно получить другую формулу для скорости дрейфа в первом приближении:

(28)

Т.к. в две последние формулы входят M и Z, частицы различных знаков заряда дрейфуют в различных направлениях и

Аналогично приведенному рассмотрению можно найти поправки к скорости дрейфа и более высоких порядков малости. Для этого в уравнении (22) необходимо последовательно учитывать и другие слагаемые , и т.д.

В заключение анализа движения независимых заряженных частиц обратим внимание, что дрейфовое приближение справедливо не для всех возможных электромагнитных конфигураций и не для всех параметров частиц и полей. Поэтому еще раз напоминаю условия его применимости!

Дата добавления: 2021-05-18; просмотров: 241; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!