Задача 1. Статистический анализ показателей численности населения
МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОСТОВСКОЙ ОБЛАСТИ
Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Ростовской области
«Ростовский технологический техникум сервиса»
(ГБПОУ РО «РТТС»)
Статистика
Курс __ группа ____
_____________________
г. Ростов-на-Дону
Тема: Сводка и группировка в статистике. Ряды распределения.
Цель: сформировать умение применять способы группировки, построения интервальных и ранжированных рядов распределения, использовать приемы работы в таблицах Microsoft Excel 7.0.
Теоретические сведения к практической работе:
Сводка – научно организованная обработка материалов наблюдения (по заранее разработанной программе), включающая в себя кроме обязательного контроля собранных данных, систематизацию, группировку материалов, составление таблиц, получение итогов по группам и в целом. Программа сводки включает определение групп и подгрупп, системы показателей и видов таблиц. По технике и способу выполнения сводка может быть ручной либо механизированной.
Группировка – разбиение совокупности на группы, однородные по какому-либо признаку или объединение отдельных единиц совокупности в группы, однородные по каким-либо признакам. Устойчивое разграничение объектов называется классификацией или стандартом, в котором каждая атрибутивная запись может быть отнесена лишь к одной группе или подгруппе. Метод группировки основывается на двух категориях – группировочном признаке и интервале.
|
|
|
Группировочный признак – признак, по которому происходит объединение отдельных единиц совокупности в однородные группы. Он может носить как количественный, так и качественный характер. В ряде случаев группировка, которая представляется чисто качественной, в конечном итоге оказывается основанной на количественном признаке. Такова, например, классификация промышленных предприятий по отраслям. Поскольку одно и то же предприятие выпускает продукцию разных видов, статистика решает этот вопрос по количественному преобладанию того или иного вида.
Интервал очерчивает количественные границы групп и представляет собой промежуток между максимальным и минимальным значениями признака в группе. Интервалы бывают равные, неравные, закрытые (когда имеется верхняя и нижняя граница) и открытые (когда одна из границ отсутствует).
Статистические группировки и классификации преследуют цели выделения качественно однородных совокупностей, изучения структуры совокупности, исследования взаимосвязи факторных и результативных признаков. Каждой из этих целей соответствует особый вид группировки: типологическая, структурная и аналитическая.
|
|
|
В зависимости от числа положенных в основание группировки признаков различают простые и многомерные группировки.
Простая группировка выполняется по одному признаку. Среди простых группировок особо выделяются ряды распределения. Ряд распределения – группировка, в которой для характеристики групп, упорядоченно расположенных по значению признака применяется один показатель – численность группы.
Классификация рядов:
· Вариационные (количественные)
v интервальные (значения данных заданы в виде интервалов)
v дискретные (вариации выражены отдельными значениями, чаще целыми числами)
v первичные (ряды исходных данных, расположенных по мере их регистрации)
v ранжированные (отсортированные по возрастанию или убыванию изучаемого признака)
· Атрибутивные (качественные)
Если необходимо построить интервальный ряд по признаку, который варьируется в некоторых границах, то находят величину интервала (шаг) по формуле:
где xмакс, xмин – соответственно максимальное и минимальное значение признака;
к – число групп, на которое расчленяется совокупность.
Чаще всего число групп в ряду распределения определяют по формуле Стерждесса:
|
|
|
или 
где k – число групп (округляемое до ближайшего целого числа); N – численность совокупности.
В нашем примере про студентов по формуле Стерждесса определим число групп: k = 1 + 3,322lg20 = 5,32. Так как число групп не может быть дробным, то округляем k = 5,32 до ближайшего целого числа по правилам округлений - 5.
Зная число групп, рассчитывают длину (размах) интервала по формуле:
Многомерная группировка производится по двум и более признакам. Частным случаем многомерной группировки является комбинационная группировка, базирующаяся на двух и более признаках, взятых во взаимосвязи.
По отношениям между признаками выделяют: иерархические группировки, выполняемые по двум и более признакам, при этом значения второго признака определяются областью значений первого (например, классификация отраслей промышленности по подотраслям); неиерархические группировки, когда строгой зависимости значений второго признака от первого не существует.
По очередности обработки информации группировки бывают первичными, составленные на основе первичных данных, и вторичные, являющиеся результатом перегруппировки ранее уже сгруппированного материала.
|
|
|
В соответствии со временным критерием различают статические группировки, дающие характеристику совокупности на определенный момент или за определенный период, и динамические, показывающие переходы единиц из одних групп в другие.
Пример решения и оформления типовой задачи.
Дана таблица: Данные о стоимости ОПФ и численности работающих на заводах отрасли народного хозяйства:
Требуется построить интервальный ряд по стоимости ОПФ, предварительно сделать группировку, образовывая 5 групп заводов (с равными интервалами). Построить простой ранжированный ряд по среднесписочному числу работников за отчетный период.
Решение: Рассчитаем шаг: 
.
Построим интервальный ряд по стоимости ОПФ.
Графа 3 получается в результате деления значений графы 2 на итог этой графы и задания формата ячейки как процентного.
Ранжированный ряд по среднесписочной численности работников
Содержание практической работы:
А. Ответить на вопросы:
1) Дайте определение сводки.
2) Дайте определение группировки. На каких категориях основан метод группировки?
3) Дайте определение ряда распределения. Приведите классификацию рядов.
4) Запишите формулу Стерждесса.
Б. Выполнить задания:
Дана таблица: Данные о стоимости ОПФ и численности работающих на заводах отрасли народного хозяйства. Требуется построить интервальный ряд по стоимости ОПФ, предварительно сделать группировку, образовывая 6 групп заводов (с равными интервалами). Построить простой ранжированный ряд по среднесписочному числу работников за отчетный период.
| Номер завода | Среднегодовая стоимость основных производственных фондов (ОПФ), млн. руб | Среднесписочная численность работников за отчетный период, чел. |
| 1 | 3,2 | 300 |
| 2 | 3,4 | 320 |
| 3 | 1,0 | 560 |
| 4 | 6,0 | 720 |
| 5 | 6,5 | 650 |
| 6 | 8,0 | 310 |
| 7 | 7,6 | 450 |
| 8 | 8,4 | 460 |
| 9 | 3,6 | 680 |
| 10 | 2,5 | 360 |
| 11 | 2,0 | 540 |
| 12 | 8,5 | 610 |
| 13 | 9,0 | 620 |
| 14 | 1,0 | 490 |
| 15 | 4,0 | 410 |
| 16 | 5,9 | 360 |
| 17 | 3,4 | 370 |
| 18 | 3,2 | 450 |
| 19 | 7,5 | 720 |
| 20 | 9,0 | 700 |
| 21 | 4,6 | 300 |
| 22 | 1,5 | 640 |
| 23 | 9,0 | 580 |
| 24 | 5,8 | 570 |
| 25 | 5,6 | 600 |
| 26 | 3,0 | 390 |
| 27 | 8,0 | 470 |
| 28 | 7,5 | 560 |
| Итого: | 148,7 | 14190 |
Тема: Абсолютные и относительные статистические величины
Цель: сформировать умение находить абсолютные и относительные статистические величины.
Теоретические сведения к практической работе:
Для характеристики массовых явлений статистика использует статистические величины (показатели). Они подразделяются на абсолютные, относительные и средние.
Результаты статистических наблюдений представляют собой абсолютные величины, отражающие уровень развития какого-либо явления или процесса. Абсолютные величины обозначаются X, а их общее количество в статистической совокупности N.
Относительная величина – это результат деления (сравнения) двух абсолютных величин. В числителе дроби стоит величина, которую сравнивают, а в знаменателе – величина, с которой сравнивают (база сравнения). Например, если явка студентов сегодня на лекцию составила 80 чел., а на предыдущую лекцию пришло 50 чел., то относительная величина покажет, что явка увеличилась в 80/50 = 1,4 раза, при этом базой сравнения является явка студентов на предыдущую лекцию. Полученная относительная величина выражена в виде коэффициента, который показывает, во сколько раз сравниваемая величина больше базисной. В данном примере база сравнения принята за единицу. В случае если основание принимается за 100, относительная величина выражается в процентах (%), если за 1000 – в промилле (‰). Выбор той или иной формы относительной величины зависит от ее абсолютного значения:
· если сравниваемая величина больше базы сравнения, то выбирают форму коэффициента (как в вышеприведенном примере - выражается в "разах");
· если сравниваемые величины примерно близки по значению, то относительную величину выражают в процентах (%);
· если сравниваемая величина значительно больше по значению базы сравнения, то относительную величину выражают в промилле (‰).
Различают следующие виды относительных величин, для краткости именуемые в дальнейшем индексами:
· динамики;
· структуры;
· координации;
· сравнения;
· интенсивности.
Расход топлива на производственные нужды предприятия характеризуется в отчетном периоде следующими данными:
| Вид топлива | Теплотворная способность, МДж/кГ | Расход, т | |
| по плану | фактически | ||
| Дизельное топливо | 41,9 | 1000 | 1050 |
| Мазут | 40,1 | 750 | 730 |
| Уголь | 26,4 | 500 | 555 |
Определить общее количество потребленного условного топлива (1 т.у.т. = 29,3 МДж/кГ) по плану и фактически, а также процент выполнения плана по общему расходу топлива.
Решение: Учитывая стандартную теплотворную способность 29,3 МДж/кГ, определяем количество потребленного условного топлива каждого вида по плану (X’1i) и фактически (X1i):
– дизельное топливо: X’1дт = 41,9/29,3*1000 = 1430,034 т.у.т.
дизельное топливо: X1дт = 41,9/29,3*1050 = 1501,536 т.у.т.;
– мазут: X’1м = 40,1/29,3*750 = 1026,451 т.у.т.
мазут: X1м = 40,1/29,3*730 = 999,078 т.у.т.;
– уголь: X’1у = 26,4/29,3*500 = 450,512 т.у.т.
уголь: X1у = 26,4/29,3*555 = 500,068 т.у.т.
Суммируя количество потребленного условного топлива каждого вида, получим общее количество потребленного условного топлива:
– по плану X’1= ∑X’1i= 2906,997 т.у.т.;
– фактически X1= ∑X1i= 3000,682 т.у.т.
Для определения процента выполнения плана необходимо рассчитать индекс выполнения плана, то есть отношение значений по факту и плану отчетного периода:
, (1)
Применяя формулу (1), имеем: 
= 3000,682/2906,997 = 1,032, то есть план по общему расходу топлива перевыполнен на 3,2%.
Рассчитать индекс и темп изменения, если в марте произведено продукции 130 тонн, а в феврале 100 тонн.
Решение: Индекс изменения (динамики) характеризует изменение какого-либо явления во времени. Он представляет собой отношение значений одной и той же абсолютной величины в разные периоды времени. Данный индекс определяется по формуле (2):
, (2)
где подиндексы означают: 1 — отчетный или анализируемый период, 0 — прошлый или базисный период.
Критериальным значением индекса динамики (темпа роста) служит единица, то есть если 
>1, то имеет место рост явления во времени; если =1 – стабильность; если <1 – наблюдается спад явления. Применяя формулу (2), имеем: = 130/100 = 1,3 (или 130%) > 1 – рост объема произведенной продукции.
Темп изменения (прироста) определяется по формуле (3):
. (3)
Применяя формулу (3), имеем: Т = 1,3 – 1 = 0,3 (или 30%), то есть объем произведенной продукции вырос в марте по сравнению с февралем на 30%.
Рассчитать индексы планового задания, выполнения плана и динамики, если выпуск продукции в отчетном году составил 100 млн. рублей, на следующий год планировалось 140 млн. рублей, а фактически получено 112 млн. рублей.
Решение: Индекс планового задания – это отношение значений одной и той же абсолютной величины по плану анализируемого периода и по факту базисного. Он определяется по формуле (4):
, (4)
где X’1 — план анализируемого периода; X0 — факт базисного периода.
Применяя формулу (4) имеем: 
= 140/100 = 1,4 (или 140%), то есть на следующий год планировалось выпустить продукции в размере 140% от объема предыдущего года.
Индекс выполнения плана определим, применяя формулу (1): 
= 112/140 = 0,8 (или 80%), то есть план по увеличению выпуска продукции выполнили лишь на 80% или недовыполнили на 20%.
Индекс динамики можно определить по формуле (2) или перемножая индексы планового задания и выполнения плана, то есть 
= 1,12.
Индекс сравнения – это отношение значений одной и той же величины в одном периоде или моменте времени, но для разных объектов или территорий. Он определяется по формуле (8):
, (8)
где А, Б — признаки сравниваемых объектов или территорий.
Показатель интенсивности – это отношение значений двух разнородных абсолютных величин для одного периода времени и одной территории или объекта. Он определяется по формуле (9):
. (9)
Содержание практической работы:
А. Ответить на вопросы:
1. Дайте определение абсолютной статистической величины.
2. Дайте определение относительной статистической величины. Укажите основные виды относительных величин.
3. Дайте определение и укажите формулу индекса изменения (динамики). Укажите критериальное значение индекса динамики.
4. Дайте определение и укажите формулу индекса планового задания.
5. Дайте определение и укажите формулу индекса выполнения плана.
6. Дайте определение и укажите формулу индекса интенсивности.
7. Дайте определение и укажите формулу индекса сравнения.
Б. Выполнить задания:
1. Определить общее производство моющих средств в условных тоннах (условная жирность 40%) по плану и фактически, а также процент выполнения плана по следующим данным:
| Вид продукта | Жирность, % | Физическая масса, т | |
| по плану | фактически | ||
| Мыло хозяйственное | 60 | 500 | 600 |
| Мыло туалетное | 80 | 1000 | 1500 |
| Стиральный порошок | 10 | 50000 | 40000 |
2. Рассчитать индекс и темп изменения, если в мае произведено продукции 210 тонн, а в апреле 170 тонн.
3. Рассчитать индекс и темп изменения, если в июле произведено продукции 60 тонн, а в июне 70 тонн.
4. Рассчитать индексы планового задания, выполнения плана и динамики, если выпуск продукции в отчетном году составил 200 млн. рублей, на следующий год планировалось 250 млн. рублей, а фактически получено 220 млн. рублей.
Тема: Средние величины и показатели вариации
Цель: сформировать умение находить абсолютные и относительные статистические величины.
Теоретические сведения к практической работе:
Наиболее распространенной формой статистических показателей, используемой в экономических исследованиях, является средняя величина, представляющая собой обобщенную количественную характеристику признака в статистической совокупности в конкретных условиях места и времени.
Важнейшее свойство средней величины заключается в том, что она отражает то общее, что присуще всем единицам исследуемой совокупности, ведь значения признака отдельных единиц совокупности колеблются в ту или иную сторону под влиянием множества факторов, среди которых могут быть и случайные.
Приведем примеры экономических показателей, основанных на вычислении средней величины и раскрывающих ее сущность:
- расчет средней заработной платы работников предприятия осуществляется делением общего фонда заработной платы на число работников;
- средний размер вклада в банке находят делением суммы вкладов в денежном выражении на количество вкладов;
- для определения средней дневной выработки одного работника необходимо объем работ (количество деталей), выполненных работником за определенный период разделить на число дней в этом периоде.
Рассмотрим основные виды средних величин, используемых при решении социально-эконмических и аналитических задач.
Средняя арифметическая простая вычисляется по формуле:
|
| |||||
| Средняя арифметическая простая используется в тех случаях, когда расчет осуществляется по не сгруппированным данным. Пример применения формулы средней арифметической простой представлен в задаче 1. Средняя арифметическая взвешенная определяется по формуле: | |||||
|
При расчете средних величин отдельные значения осредняемого признака могут повторяться, встречаться по несколько раз. В подобных случаях расчет средней производится по сгруппированным данным или вариационным рядам. Пример применения формулы средней арифметической взвешенной представлен в задаче 2. Средняя гармоническая простая определяется по формуле: | |||||
|
Средние гармонические используются тогда, когда по экономическому содержанию имеется информация для числителя, а для знаменателя ее необходимо предварительно определить. Средняя гармоническая взвешенная определяется по формуле: | |||||
Данная формула используется для расчета средних показателей не только в статике, но и в динамике, когда известны индивидуальные значения признака и веса W за ряд временных интервалов. Пример применения формулы средней гармонической взвешенной представлен в задаче 3.
Средняя геометрическая простая (невзвешенная) опеределяется по формуле:
| |||||
|
Наиболее широкое применение этот вид средней получил в анализе динамики для определения среднего темпа роста. Средняя квадратическая простая (невзвешенная) опеределяется по формуле: | |||||
|
Средняя квадратическая лежит в основе вычислений ряда сводных расчетных показателей. Наиболее часто используемыми в экономической практике структурными средними являются мода и медиана. Мода (Мо) представляет собой значение изучаемого признака, повторяющееся с наибольшей частотой. Медианой (Ме) называется значение признака, приходящееся на середину ранжированной (упорядоченной) совокупности. Пример определения медианы и моды для дискретного ряда чисел представлен в задаче 1. | |||||
|
Главное свойство медианы заключается в том, что сумма абсолютных отклонений значений признака от медианы меньше, чем от любой другой величины. Для интервального ряда расчет моды осуществляется по формуле: | |||||
|
где Хо - нижняя граница модального интервала (модальным называется интервал, имеющий наибольшую частоту); i - величина модального интервала; f Мо - частота модального интервала; f Мо-1 - частота интервала, предшествующего модальному; f Мо+1 - частота интервала, следующего за модальным. Для интервального ряда расчет медианы осуществляется по формуле: | |||||
|
Хо - нижняя граница медианного интервала (медианным называется первый интервал, накопленная частота которого превышает половину общей суммы частот); i - величина медианного интервала; Sme-1 - накопленная частота интервала, предшествующего медианному; f Me - частота медианного интервала. Задача 1. Дан ряд чисел: 15; 15; 12; 14; 13. Найдите размах, среднее арифметическое, медиану и моду этого ряда. Решение 1) Размах ряда чисел – это разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел. В данном случае размах равен R = 15-12 = 3 2) Среднее арифметическое данного ряда находим по формуле средней арифметической простой. Хср = (15+15+12+14+13)/5=13,8 3) Для определения медианы необходимо предложенный ряд упорядочить – расположить числа, например, в порядке возрастания: 12; 13; 14; 15; 15. 4) Мода дискретного ряда чисел – это число, которое встречается в данном ряде чаще других. Так как число 15 встречается в нашем ряде чаще других, то Мо = 15. Задача 2. Имеется информация о численности студентов ВУЗов города и удельном весе (%) обучающихся студентов на коммерческой основе:
| |||||
| Определить: 1) средний удельный вес студентов ВУЗов, обучающихся на коммерческой основе; 2) число этих студентов. Решение Для решения расширим предложенную таблицу:
| |||||
| Средний удельный вес студентов ВУЗов, обучающихся на коммерческой основе определим по формуле средней арифметической взвешенной: Хср = (15×15+3×10+7×20) / (15+3+7) = 15,8%. Ответ. Средний удельный вес студентов ВУЗов, обучающихся на коммерческой основе равен 15,8%, число этих студентов – 3 950 человек. Задача 3. Сумма невыплаченной своевременно задолженности по кредитам на 1 июля составила 92,4 млн. денежных единиц. По отдельным отраслям экономики она распределялась следующим образом: | |||||
|
| |||||
| Определить средний процент невыплаченной своевременно задолженности. Обоснуйте выбор формы средней. Решение Поскольку на различных предприятиях сумма задолженности по кредитам разная при разных удельных весах, то применим формулу средней гармонической взвешенной. Ответ. Средний процент невыплаченной своевременно задолженности равен 18,48%. | |||||
Часто в статистике при анализе какого-либо явления или процесса необходимо учитывать не только информацию о средних уровнях исследуемых показателей, но и разброс или вариацию значений отдельных единиц, которая является важной характеристикой изучаемой совокупности.
В наибольшей степени вариации подвержены курсы акций, объемы спроса и предложения, процентные ставки в разные периоды времени и в разных местах.
Основными показателями, характеризующими вариацию, являются размах, дисперсия, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.
Размах вариации представляет собой разность максимального и минимального значений признака: R = Xmax – Xmin. Недостатком данного показателя является то, что он оценивает только границы варьирования признака и не отражает его колеблемость внутри этих границ.
Дисперсия лишена этого недостатка. Она рассчитывается как средний квадрат отклонений значений признака от их средней величины:
|
|
| |
| Упрощенный способ расчета дисперсии осуществляется с помощью следующих формул (простой и взвешенной): | |
| |
|
| |||||
| Примеры применения данных формул представлены в задачах 1 и 2. Широко распространенным на практике показателем является среднее квадратическое отклонение: | |||||
|
Среднее квадратическое отклонение определяется как квадратный корень из дисперсии и имеет ту же размеренность, что и изучаемый признак. Рассмотренные показатели позволяют получить абсолютное значение вариации, т.е. оценивают ее в единицах измерения исследуемого признака. В отличие от них, коэффициент вариации измеряет колеблемость в относительном выражении - относительно среднего уровня, что во многих случаях является предпочтительнее. | |||||
|
- формула для расчета коэффициента вариации. Задача 1. При изучении влияния рекламы на размер среднемесячного вклада в банках района обследовано 2 банка. Получены следующие результаты: | |||||
|
| |||||
|
Определить: 1) Составим расчетную таблицу для банка с рекламой. Для определения среднего размера вклада за месяц найдем середины интервалов. При этом величина открытого интервала (первого) условно приравнивается к величине интервала, примыкающего к нему (второго). | |||||
|
| |||||
| Средний размер вклада найдем по формуле средней арифметической взвешенной: | |||||
|
= 29 000/50 = 580 руб. Дисперсию вклада найдем по формуле: = 23 400/50 = 468 | |||||
| Аналогичные действия произведем для банка без рекламы: | |||||
|
| |||||
|
|
Содержание практической работы: А. Ответить на вопросы: 1) Охарактеризуйте главное свойство средней величины. 2) Приведите примеры экономических показателей, основанных на вычислении средних величин. 3) Назовите основные виды средних величин и укажите их формулы. 4) Назовите основные показатели вариации и укажите их формулы. 5) Для чего используется коэффициент вариации? Укажите его формулу. Б. Выполнить задания: 1) Дан ряд чисел: 3,5,6,5,8,1,4,5,1,2. Найти размах, среднее арифметическое, медиану и моду этого ряда. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) Имеется информация о численности студентов групп 3 курса РТТС и удельном весе студентов, обучающихся на отлично:
Определить средний удельный вес студентов, обучающихся на отлично и число этих студентов. 3) Сумма невыплаченной своевременно задолженности по кредитам на 1 ноября составила 97,6 млн. денежных единиц. По отдельным отраслям экономики она распределялась следующим образом:
Определить средний процент невыплаченной своевременно задолженности. 4) При изучении влияния рекламы на размер среднемесячного вклада в банках района обследовано 2 банка. Получены следующие результаты:
Определить: Тема: Расчет моды и медианы в статистике Цель: сформировать умение находить моду и медиану. Теоретические сведения к практической работе: Мода (Мо) – это значение случайной величины, имеющее наибольшую частоту в рассматриваемой выборке. 1, 2, 7, 6, 5, 3, 2 Мо=2 4, 2, 8, 8, 3, 1, 4 Мо1=4, Мо2=8
М0=4 Медиана (Ме) – это число, разделяющее упорядоченную выборку на две равные по количеству части. Если в упорядоченной выборке нечетное количество данных, то медиана равна серединному из них. Если четное количество – медиана равна среднему арифметическому двух серединных чисел. 4, 2, 8, 3, 10: 2, 3, 4, 8, 10 Ме=4 2, 7, 3, 5, 4, 1: 1, 2, 3, 4, 5, 7 Ме=
2, 3, 3, 8, 8, 8, 8 Ме=8 Среднее (среднее арифметическое) выборки – это число, равное отношению суммы всех чисел выборки к их количеству. Если рассматривается совокупность значений случайной величины Х, то ее среднее обозначают Х: 2, 8, 3, 10, 1
Математическое ожидание Разность наибольшего и наименьшего значения случайной величины выборки называют ее размахом и обозначают R. 30, 70, 110, 200 R=200-30=170 Среднее (среднее арифметическое) выборки – это число, равное отношению суммы всех чисел выборки к их количеству. Х: 3, 5, 6, 7, 8 Отклонением от среднего называется разность между рассматриваемым значением случайной величины и средним значением выборки.
Дисперсией называется среднее арифметическое квадратов отклонений.
Корень квадратный из дисперсии называется средним квадратичным отклонением и обозначается σ.
Пример: Найти дисперсию и среднее квадратичное отклонение:
Случайная величина Х – это числовая функция
Математическим ожиданием (средним значением) дискретной случайной величины Х называют сумму произведений всех ее возможных значений на соответствующие им вероятности Дисперсией дискретной случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания
Средним квадратичным отклонением дискретной случайной величины называют корень квадратный из дисперсии Если случайная величина Х имеет биномиальное распределение вероятностей, то
Случайная величина Х задана таблицей распределения вероятностей. Найти М(Х), D(Х), σ(Х).
Решение: Найти математическое ожидание и дисперсию числа лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, если приобретено 100 билетов, а вероятность выигрыша на каждый билет равна 0,05. Решение:
Содержание практической работы: А. Ответить на вопросы: 1) Дайте определение моды. Приведите примеры нахождения моды. 2) Дайте определение медианы. Приведите примеры нахождения медианы. 3) Дайте определение дисперсии. Приведите примеры нахождения дисперсии. 4) Дайте определение среднего квадратичного отклонения. Приведите примеры нахождения среднего квадратичного отклонения. 5) Дайте определение математического ожидания. Укажите формулу для его нахождения. Б. Выполнить задания: 1) Найти моду, медиану, размах и среднее выборки 8,6,5,9,1,10,2,5,6,4,8,7,5,2,3,6,5,2. 2) Найти моду, медиану, среднее и математическое ожидание
3) Найти моду, медиану, дисперсия и среднее квадратичное отклонение
4) Случайная величина Х задана таблицей распределения вероятностей. Найти М(Х), D(Х), σ(Х).
5) Найти математическое ожидание и дисперсию числа лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, если приобретено 230 билетов, а вероятность выигрыша на каждый билет равна 0,07. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
, определенная на пространстве элементарных событий. Случайные величины, имеющие счетные множества возможных значений, называются дискретными. Дискретная случайная величина определена, если известны все ее значения и соответствующие им вероятности. Соотношение между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями называют распределением вероятностей случайной величины. Для дискретной случайной величины это соответствие может быть записано в виде таблицы: 
. Дисперсия дискретной случайной величины вычисляется по формулам:
.
Тема: Ряды динамики
Цель: сформировать понятие рядов динамики и их видов, научиться решать задачи по теме.
Теоретические сведения к практической работе:
Процесс развития, движения социально-экономических явлений во времени в статистике принято называть динамикой. Для отображения динамики строят ряды динамики(хронологические, временные), которые представляют собой ряды изменяющихся во времени значений статистического показателя, расположенных в хронологическом порядке.
Составными элементами ряда динамики являются показатели уровней ряда и показатели времени (годы, кварталы, месяцы, сутки) или моменты (даты) времени. Уровни ряда обычно обозначаются через «y», моменты или периоды времени, к которым относятся - через «t».
Существуют различные виды рядов динамики, которые классифицируют по следующим признакам:
- В зависимости от способа выражения уровней ряды динамики подразделяются на ряды абсолютных, относительных и средних величин.
- В зависимости от того выражают уровни ряда состояние явления на определенные моменты времени (на начало месяца, квартала, года и т.п.) или его величину за определенные интервалы времени (например, за сутки, месяц, год и т.п.), различают соответственно моментные и интервальные ряды динамики.
- В зависимости от расстояния между уровнями, ряды динамики подразделяются на ряды с равноотстоящими уровнями и неравноотстоящими уровнями во времени. Ряды динамики следующих друг за другом периодов или следующих через определенные промежутки дат называется равноотстоящими. Если же в рядах даются прерывающиеся периоды или неравномерные промежутки между датами, то ряды называются неравноотстоящими.
- В зависимости от наличия основной тенденции изучаемого процесса ряды динамики подразделяются на стационарные и нестационарные. Если математическое ожидание значения признака и дисперсия (основные характеристики случайного процесса) - постоянны, не зависят от времени, то процесс считается стационарным, и ряды динамики также называются стационарными. Экономические процессы во времени обычно не являются стационарными, т.к. содержат основную тенденцию развития, но их можно преобразовать в стационарные путем исключения тенденций.
Показатели изменения уровней ряда динамики:
Анализ скорости и интенсивности развития явления во времени осуществляется с помощью статистических показателей, возникающих в результате сравнения уровней между собой. К таким показателям относятся: абсолютный прирост, темп роста и прироста, абсолютное значение одного процента прироста. При этом принято сравниваемый уровень называть отчетным, а уровень, с которым происходит сравнение - базисным.
Абсолютный прирост (Δу) характеризует размер увеличения (или уменьшения) уровня ряда за определенный промежуток времени. Он равен разности двух сравниваемых уровней и выражает абсолютную скорость роста: Δy = уi-yi-k (i=1,2,3,...,n). Если k=1, то уровень yi-1 является предыдущим для данного уровня, а абсолютные приросты изменения уровня будут цепными. Если же k постоянны для данного ряда, то абсолютные приросты будут базисными.
Показатель интенсивности изменения уровня ряда - в зависимости от того, выражается ли он в виде коэффициента или в процентах, принято называть коэффициентом роста (темпом роста). Темп роста (t) показывает во сколько раз данный уровень ряда больше базисного уровня (если этот коэффициент больше единицы) или какую часть базисного уровня составляет уровень текущего периода за некоторый промежуток времени (если он меньше единицы): t = yi / yi-1или t = yi / y1
Темпа прироста (Δt), характеризует относительную скорость изменения уровня ряда в единицу времени. Темп прироста показывает, на какую долю (или процент) уровень данного периода или момента времени больше (или меньше) базисного уровня. Находят темп прироста как отношение абсолютного прироста к уровню ряда, принятого за базу: Δt = Δy / yi-1 или Δt = Δy / y1 или Δt = t-1 (Δt = t-100%). Если темп роста всегда положительное число, то темп прироста может быть положительным, отрицательным и равным нулю.
В статистической практике часто вместо расчета и анализа темпов роста и прироста рассматривают абсолютное значение одного процента прироста (А). Оно представляет собой одну сотую часть базисного уровня и в то же время - отношение абсолютного прироста к соответствующему темпу прироста: А= Δy /( Δt*100) = yi-1/100
Средний уровень ряда динамики рассчитывается по средней хронологической. Средней хронологической называется средняя, исчисленная из значений, изменяющихся во времени. Такие средние обобщают хронологическую вариацию. В хронологической средней отражается совокупность тех условий, в которых развивалось изучаемое явление в данном промежутке времени. Формулы для вычисления средних показателей ряда динамики представлены в таблице.
| Показатель | Обозначение и формула |
| Средний уровень интервального ряда динамики | 
|
| Средний уровень моментного ряда динамики | 
|
| Средний абсолютный прирост за весь период | 
|
| Средний темп роста | 
|
| Средний темп прироста | 
|
Задача 1. Данные о площадях под картофелем до и после изменения границ района, тысяч гектаров. Сомкнуть ряд, выразив площадь под картофелем в условиях изменения границ района.
Решение: Примем за базу сравнения третий период – период, за который есть данные как в прежних, так и в старых границах района. Затем эти два ряда с одинаковой базой смыкаем в один.
Задача 2. Имеется информация об экспорте продукции из региона за ряд лет. Определить: 1) цепные и базисные: а) абсолютные приросты; б) темпы роста; в) темпы прироста; 2)абсолютное содержание одного процента прироста; 3) средние показатели: а) средний уровень ряда; б) среднегодовой абсолютный прирост.
Решение
Напомним, что:
- если каждый текущий уровень сравнивать с предыдущим, то мы получим цепные показатели;
- если каждый текущий уровень сравнивать с первоначальным, то получим базисные показатели.
Для решения расширим предложенную таблицу.
Средний уровень ряда определим по средней арифметической простой: Уср=202467:4=50616,75 тыс. долларов США.
Среднегодовой абсолютный прирост определим по формуле:
= (64344-42376) / (4-1) = 7322,67 тыс. долларов США.
Задача 3. По следующей информации определить средний размер имущества предприятия за квартал:
Решение:
Средний размер имущества предприятия за квартал определим по формуле:
= (30/2 +40 +50 +30/2) / (4-1) = 40 млн. руб.
Содержание практической работы:
А. Ответить на вопросы:
1) Дайте определение процесса динамики, ряда динамики.
2) Перечислите различные виды рядов динамики.
3) Назовите основные показатели изменения уровней рядов динамики. Укажите основные формулы для вычисления средних показателей ряда динамики.
Б. Выполнить задания:
1) Данные о площадях под кукурузу до и после изменения границ района, тысяч гектаров. Сомкнуть ряд, выразив площадь под кукурузу в условиях изменения границ района.
| Периоды Площадь под кукурузу | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| До изменения границ района | 112 | 116 | 120 | 115 | - | - | - |
| После изменения границ района | - | - | - | 206 | 204 | 231 | 226 |
2) Имеется информация об экспорте продукции из региона за ряд лет. Определить: 1) цепные и базисные: а) абсолютные приросты; б) темпы роста; в) темпы прироста; 2)абсолютное содержание одного процента прироста; 3) средние показатели: а) средний уровень ряда; б) среднегодовой абсолютный прирост.
| Год | Экспорт, млн. рублей |
| 2011 | 36588 |
| 2012 | 39126 |
| 2013 | 41257 |
| 2014 | 53258 |
| итого | 170229 |
3) По следующей информации определить средний размер имущества предприятия за квартал:
| Дата | Размер имущества, млн. рублей |
| На 15 января | 60 |
| На 15 февраля | 50 |
| На 15 марта | 70 |
| На 15 апреля | 80 |
| На 15 мая | 70 |
Тема: Индексы в статистике
Цель: сформировать понятие индекса в статистике и их видов, научиться решать задачи по теме.
Теоретические сведения к практической работе:
Как известно, «индекс» в переводе с латинского означает «указатель» или «показатель». В статистике индексом называют показатель относительного изменения данного уровня исследуемого явления по сравнению с другим его уровнем, принятым за базу сравнения. В качестве такой базы может быть использован или уровень за какой-либо прошлый период времени (динамический индекс), или уровень того же явления по другой территории (территориальный индекс).
В статистической практике индексы являются незаменимым инструментом исследования в тех случаях, когда необходимо сравнить во времени или пространстве две совокупности, элементы которых непосредственно суммировать нельзя. В целом, индексный метод направлен на решение следующих задач:
- характеристика общего изменения уровня сложного социально-экономического явления;
- анализ влияния каждого из факторов на изменение индексируемой величины путем элиминирования воздействия прочих факторов;
- анализ влияния структурных сдвигов на изменение индексируемой величины.
Простейшим показателем, используемым в индексном анализе, является индивидуальный индекс (i), который характеризует изменение во времени экономических величин, относящихся к одному объекту:
- индекс цены: ip = p1/p0, где p1 - цена товара в текущем периоде, p0 - цена товара в базисном периоде;
- индекс физического объема реализации (количества товара): iq = q1/q0, где q1 – физический объем реализации товара в текущем периоде, q0 – физический объем реализации товара в базисном периоде;
- индекс товарооборота: ipq = p1q1/p0q0;
- индекс себестоимости произведенной продукции: iz=z1/z0, где z1 – себестоимость произведенной продукции в текущем периоде, z0 – себестоимость произведенной продукции в базисном периоде.
В тех случаях, когда исследуются не единичные объекты, а состоящие из нескольких элементов совокупности, используются сводные (общие) индексы (I). Исходной формой сводного индекса является агрегатная форма. Формулы для вычисления общих индексов представлены в таблице.
| Показатель | Обозначение и формула |
| Агрегатный индекс товарооборота | 
|
| Агрегатный индекс затрат | 
|
| Агрегатный индекс цен (по методу Пааше) | 
|
| Агрегатный индекс цен (по методу Ласпейреса) | 
|
| Агрегатный индекс объема (по методу Пааше) | 
|
| Агрегатный индекс объема (по методу Ласпейреса) | 
|
| Среднеарифметический индекс цен | 
|
| Среднегармонический индекс цен | 
|
| Абсолютное изменение товарооборота в целом | 
|
| Абсолютное изменение товарооборота за счет изменения цен | 
|
| Абсолютное изменение товарооборота за счет изменения объема | 
|
Задача 1. Имеется информация о выпуске продукции на предприятии, ее себестоимости за 2 квартала.
Определить: 1) индивидуальные индексы количества и себестоимости; 2) общие индексы затрат на производство, натурального выпуска и себестоимости; 3) абсолютное изменение затрат на выпуск продукции в целом и по факторам: а) за счет изменения себестоимости; б) за счет изменения натурального выпуска. Сделать выводы.
Решение
1) Найдем индивидуальные индексы количества:
для продукции А: iq = q1/q0 = 12/10=1,2;
для продукции Б: iq = q1/q0 = 20/20=1;
для продукции В: iq = q1/q0 = 12/15=0,8
Найдем индивидуальные индексы себестоимости:
для продукции А: ip = p1/p0 = 12/15=0,8;
для продукции Б: ip = p1/p0 = 12/10=1,2;
для продукции В: ip = p1/p0 = 8/8=1
2) общие индексы затрат на производство, натурального выпуска и себестоимости найдем по формулам:
|
= (12*12+12*20+8*12)/(15*10+10*20+8*15) = 480/470 = 1,021=102,1%
|
= (12*15+20*10+12*8)/470 = 476/470 = 1,013 = 101,3%
|
= 480/476 = 1,008=100,8%
3) абсолютное изменение затрат на выпуск продукции в целом:
|
= 480-470=10 тыс.руб.
По факторам: а) за счет изменения себестоимости:
|
= 480-476=4 тыс.руб.
б) за счет изменения натурального выпуска
|
= 476-470 = 6 тыс.руб.
Вывод: Товарный выпуск во втором квартале увеличился по сравнению с первым на 102,1-100=2,1%. В абсолютном выражении это соответствует 10 тыс. руб. Этот рост произошел как за счет увеличения объема выпуска (на 101,3-100=1,3% или 6 тыс. руб.), так и за счет себестоимости (100,8-100=0,8% или 4 тыс. руб.).
Задача 2. Имеется информация о затратах на производство и индексах количества:
Определить: 1)индивидуальные индексы физического объема производства; 2) общий индекс физического объема производства; 3) общий индекс себестоимости, если известно, что общие затраты на производство выросли на 25%. Сделать выводы.
Решение
1) Найдем индивидуальные индексы количества:
для продукции А: iq = q1/q0 = (100+10)/100 = 110/100=1,1;
для продукции Б: iq = q1/q0 = (100-13)/100 = 87/100=0,87;
для продукции В: iq = q1/q0 = (100+25)/100 = 125/100=1,25
2) Поскольку известны затраты на производство в І квартале по каждому виду продукции (z0q0), где z0 - себестоимость продукции, q0- количество произведенной продукции, то найдем:
для продукции А: z0q1= z0q0*iq = 20*1,1 = 22;
для продукции Б: z0q1= z0q0*iq = 12*0,87 = 10,44;
для продукции В: z0q1= z0q0*iq = 15*1,25 = 18,75
Далее найдем общий индекс объема производства:
|
= (22+10,44+18,75)/(20+12+15)=51,19/47=1,089=108,9%
3) Поскольку общие затраты на производство выросли на 25%, то общий индекс затрат Izq = 1,25.
Найдем общий индекс себестоимости: Iz = Izq:Iq = 1,25:1,089 = 1,148 =114,8%
Вывод: Увеличение общих затрат на производство во втором квартале на 25% произошло как за счет увеличения объема выпуска на 108,9-100=8,9%, так и за счет увеличения себестоимости на 114,8-100= 14,8%.
Содержание практической работы:
А. Ответить на вопросы:
1) Дайте определение индекса в статистике. Для решения каких задач направлены индексы?
2) Какие индексы относятся к индивидуальным? Укажите их формулы.
3) Какие индексы относятся к сводным (общим)? Укажите их формулы.
Б. Выполнить задания:
1) Имеется информация о выпуске продукции на предприятии, ее себестоимости за 2 квартала.
Определить: 1) индивидуальные индексы количества и себестоимости; 2) общие индексы затрат на производство, натурального выпуска и себестоимости; 3) абсолютное изменение затрат на выпуск продукции в целом и по факторам: а) за счет изменения себестоимости; б) за счет изменения натурального выпуска. Сделать выводы.
| Виды продукции | Произведено, тыс. единиц | Себестоимость единицы продукции, руб. | ||
| I квартал (q0) | II квартал (q1) | I квартал (p0) | II квартал (p1) | |
| А | 12 | 14 | 15 | 12 |
| Б | 15 | 15 | 13 | 10 |
| В | 20 | 10 | 8 | 8 |
2) Имеется информация о затратах на производство и индексах количества:
Определить: 1)индивидуальные индексы физического объема производства; 2) общий индекс физического объема производства; 3) общий индекс себестоимости, если известно, что общие затраты на производство выросли на 25%. Сделать выводы.
| Виды продукции | Затраты на производство в I квартале, млн. руб. | Изменения количества произведенной продукции во II квартале по сравнению с I кварталом, % |
| А | 15 | +8 |
| Б | 12 | -10 |
| В | 20 | +15 |
Тема: Выборочное наблюдение
Цель: сформировать понятие индекса в статистике и их видов, научиться решать задачи по теме.
Теоретические сведения к практической работе:
В статистике существует два способа наблюдения массовых явлений в зависимости от полноты охвата объекта: сплошное и несплошное. Разновидностью несплошного наблюдения является выборочное наблюдение.
Под выборочным наблюдением понимается несплошное наблюдение, при котором статистическому обследованию (наблюдению) подвергаются единицы изучаемой совокупности, отобранные случайным образом.
Выборочное наблюдение ставит перед собой задачу – по обследуемой части дать характеристику всей совокупности единиц при условии соблюдения всех правил и принципов проведения статистического наблюдения и научно организованной работы по отбору единиц. Совокупность отобранных для обследования единиц в статистике принято называть выборочной совокупностью, а совокупность единиц, из которых производится отбор, называют генеральной совокупностью. Основные характеристики генеральной и выборочной совокупности представлены в таблице 1.
| Таблица 1 - Основные характеристики генеральной и выборочной совокупности | |||
| Показатель | Обозначение или формула | ||
| Генеральная совокупность | Выборочная совокупность | ||
| Число единиц | N | n | |
| Число единиц, обладающих каким-либо признаком | M | m | |
| Доля единиц, обладающих этим признаком | p = M/N | ω = m/n | |
| Доля единиц, не обладающих этим признаком | q = 1 - p | 1 - ω | |
| Средняя величина признака | 
| 
| |
| Дисперсия признака | 
| 
| |
| Дисперсия альтернативного признака (дисперсия доли) | pq | ω (1 - ω ) | |
При проведении выборочного наблюдения возникают систематические и случайные ошибки. Систематические ошибки возникают в силу нарушения правил отбора единиц в выборку. Изменив правила отбора, от таких ошибок можно избавиться.
Случайные ошибки возникают в силу несплошного характера обследования. Иначе их называют ошибками репрезентативности (представительности). Случайные ошибки разделяют на средние и предельные ошибки выборки, которые определяются как при расчете признака, так и при расчете доли.
Средние и предельные ошибки связаны следующим соотношением: Δ = tμ, где Δ - предельная ошибка выборки, μ - средняя ошибка выборки, t - коэффициент доверия, определяемый в зависимости от уровня вероятности. В таблице 2 приведены некоторые значения t, взятые из теории вероятностей.
| Таблица 2 - Соответствие некоторых значений вероятностей коэффициенту доверия | ||||||
| Вероятность, Р | 0,683 | 0,866 | 0,954 | 0,988 | 0,997 | 0,999 |
| Значение t | 1,0 | 1,5 | 2,0 | 2,5 | 3,0 | 3,5 |
Величина средней ошибки выборки рассчитывается дифференцированно в зависимости от способа отбора и процедуры выборки. Основные формулы для расчета ошибок выборки представлены в таблице 3.
| Таблица 3 - Основные формулы для расчета ошибок выборки при повторном и бесповторном отборе | |||
| Показатель | Обозначение и формула | ||
| Генеральная совокупность | Выборочная совокупность | ||
| Средняя ошибка признака при случайном повторном отборе | 
| 
| |
| Средняя ошибка доли при случайном повторном отборе | 
| 
| |
| Предельная ошибка признака при случайном повторном отборе | 
| 
| |
| Предельная ошибка доли при случайном повторном отборе | 
| 
| |
| Средняя ошибка признака при случайном бесповторном отборе | 
| 
| |
| Средняя ошибка доли при случайном бесповторном отборе | 
| 
| |
| Предельная ошибка признака при случайном бесповторном отборе | 
| 
| |
| Предельная ошибка доли при случайном бесповторном отборе | 
| 
| |
Расчет средней и предельной ошибок выборки позволяет определить возможные пределы, в которых будут находиться характеристики генеральной совокупности.
|
Например, для выборочной средней такие пределы устанавливаются на основе следующих соотношений:
|
- пределы доли признака в генеральной совокупности р.
Задача 1. Имеется информация о выпуске продукции (работ, услуг), полученной на основе 10% выборочного наблюдения по предприятиям области:
|
Определить: 1) по предприятиям, включенным в выборку: а) средний размер произведенной продукции на одно предприятие; б) дисперсию объема производства; в) долю предприятий с объемом производства продукции более 400 тыс. руб..
Решение:
Для решения задачи расширим предложенную таблицу.
|
1) По предприятиям, включенным в выборку, средний размер произведенной продукции на одно предприятие
|
= 110800/400 = 277 тыс. руб.
Дисперсию объема производства вычислим упрощенным способом σ2 = 35640000/400 – 2772 = 89100 - 76229 = 12371.
Число предприятий, объем производства продукции которых превышает 400 тыс. руб. равно 36+12 = 48, а их доля равна ω = 48:400 = 0,12 = 12%.
Содержание практической работы:
А. Ответить на вопросы:
1) Дайте определение выборочного наблюдения. Какую задачу ставит перед собой выборочное наблюдение?
2) Дайте определения генеральной и выборочной совокупностей. Укажите основные их характеристики.
3) Укажите основные формулы для расчета ошибок выборки при различном отборе.
Б. Выполнить задания:
| Группа предприятий по объему продукции, тыс. руб. | Число предприятий |
| До 100 | 15 |
| 100-200 | 17 |
| 200-300 | 86 |
| 300-400 | 112 |
| 400-500 | 42 |
| 500 и более | 8 |
| итого | 280 |
1) Имеется информация о выпуске продукции (работ, услуг), полученной на основе 10% выборочного наблюдения по предприятиям области:
Определить: 1) по предприятиям, включенным в выборку: а) средний размер произведенной продукции на одно предприятие; б) дисперсию объема производства; в) долю предприятий с объемом производства продукции более 400 тыс. руб.
Тема: Статистическое изучение взаимосвязей
Цель: сформировать понятие взаимосвязи в статистике, понятий корреляция и регрессия, научиться решать задачи по теме.
Теоретические сведения к практической работе:
Исследование объективно существующих связей между явлениями - важнейшая задача статистики. В процессе статистического исследования зависимостей выявляются причинно-следственные отношения между явлениями. Причинно-следственные отношения - это такая связь явлений и процессов, когда изменение одного из них - причины ведет к изменению другого - следствия.
Признаки явлений и процессов по их значению для изучения взаимосвязи делятся на два класса. Признаки, обуславливающие изменения других, связанных с ними признаков, называют факторными, или просто факторами. Признаки, изменяющиеся под действием факторных признаков, называют результативными.
В статистике различают функциональные и стохастические (вероятностные) связи явлений и процессов:
- Функциональной называют такую связь, при которой определенному значению факторного признака соответствует одно значение результативного.
- Если причинная зависимость проявляется не в каждом отдельном случае, а в общем, среднем при большом числе наблюдений, то такая зависимость называетсястохастической (вероятностной). Частным случаем стохастической связи является корреляционная связь.
Кроме того, связи между явлениями и их признаками классифицируются по степени тесноты, направлению и аналитическому выражению.
По направлению выделяют связь прямую и обратную:
- Прямая связь - это такая связь, при которой с увеличением (уменьшением) значений факторного признака происходит увеличение (уменьшение) значений результативного. Так, например, рост производительности труда способствует увеличению уровня рентабельности производства.
- В случае обратной связи значения результативного признака изменяются под воздействием факторного, но в противоположном направлении по сравнению с изменением факторного признака. Так с увеличением уровня фондоотдачи снижается себестоимость единицы производимой продукции.
По аналитическому выражению выделяют связи прямолинейные (или просто линейные) и нелинейные:
- Если статистическая связь между явлениями может быть приблизительно выражена уравнением прямой линии, то ее называют линейной связью вида: у=а+bх.
- Если же связь может быть выражена уравнением какой-либо кривой линии (параболы, гиперболы и др.), то такую связь называют нелинейной (криволинейной) связью.
Теснота связи показывает меру влияния факторного признака на общую вариацию результативного признака. Классификация связи по степени тесноты представлена в таблице 1.
| Таблица 1 - Количественные критерии оценки тесноты связи | |
| Величина коэффициента корреляции | Характер связи |
| До ±3 | Практически отсутствует |
| От ±3 до ±0,5 | Слабая |
| От ±0,5 до ±0,7 | Умеренная |
| От ±0,7 до ±1,0 | Сильная |
Для выявления наличия связи, ее характера и направления в статистике используются следующие методы: приведения параллельных данных, аналитических группировок, графический, корреляции. Основным методом изучения статистической взаимосвязи является статистическое моделирование связи на основе корреляционного и регрессионного анализа.
Корреляция - это статистическая зависимость между случайными величинами, не имеющая строго функционального характера, при которой изменение одной из случайных величин приводит к изменению математического ожидания другой. В статистике принято различать следующие виды корреляции:
- парная корреляция - связь между двумя признаками (результативным и факторным, или двумя факторными);
- частная корреляция - зависимость между результативным и одним факторным признаками при фиксированном значении других факторных признаков;
- множественная корреляция - зависимость результативного и двух или более факторных признаков, включенных в исследование.
Задачей корреляционного анализа является количественное определение тесноты связи между двумя признаками (при парной связи) и между результативным и множеством факторных признаков (при многофакторной связи).
Теснота связи количественно выражается величиной коэффициентов корреляции, которые давая количественную характеристику тесноты связи между признаками, позволяют определять «полезность» факторных признаков при построении уравнения множественной регрессии.
Корреляция взаимосвязана с регрессией, поскольку первая оценивает силу (тесноту) статистической связи, вторая исследует ее форму.
Регрессионный анализ заключается в определении аналитического выражения связи в виде уравнения регрессии.
Регрессией называется зависимость среднего значения случайной величины результативного признака от величины факторного, а уравнением регрессии – уравнение описывающее корреляционную зависимость между результативным признаком и одним или несколькими факторными.
Формулы корреляционно-регрессионного анализа для прямолинейной связи при парной корреляции представлены в таблице 2.
| Таблица 2 - Формулы корреляционно-регрессионного анализа для прямолинейной связи при парной корреляции | |
| Показатель | Обозначение и формула |
| Уравнение прямой при парной корреляции | yx = a +bx, где b - коэффициент регрессии |
| Система нормальных уравнений способом наименьших квадратов для определения коэффициентов a и b | 
|
| Линейный коэффициент корреляции для определения тесноты связи, его интерпретация: r = 0 – связь отсутствует; 0<r<1 – связь прямая (с увеличением х увеличивается у); -1<r<0 – связь обратная (с увеличением х уменьшается у); r = 1 – связь функциональная | 
|
| Эластичность абсолютная | 
|
| Эластичность относительная | 
|
Задача 1 (анализ прямолинейной связи при парной корреляции). Имеются данные о квалификации и месячной выработке пяти рабочих цеха:
|
Для изучения связи между квалификацией рабочих и их выработкой определить линейное уравнение связи и коэффициент корреляции..
Решение. Расширим предлагаемую таблицу.
|
Определим параметры уравнения прямой yx = a +bx. Для этого решим систему уравнений:
|
|
Здесь п = 5.
|
|
Значит коэффициент регрессии равен 18.
Поскольку в - положительное число, то имеется прямая связь между параметрами x и у.
а=92-4×18
а=20
Линейное уравнение связи имеет вид ух=20+18х.
Задача 2. На предприятии цены на изделия снижены с 80 руб. за единицу до 60 руб. После снижения цен продажа возросла с 400 до 500 единиц в день. Определить абсолютную и относительную эластичность. Сделать оценку эластичности с целью возможности (или невозможности) дальнейшего снижения цен.
Решение. Рассчитаем показатели, позволяющие провести предварительный анализ эластичности:
|
Как видим, темпы снижения цены равны по абсолютной величине темпам увеличения спроса.
Абсолютную и относительную эластичность найдем по формулам:
|
|
= (500-400)/(60-80) =100/(-20)= -5 - эластичность абсолютная
|
|
= (100:400)/(-20:80) = -1 - эластичность относительная
Модуль относительной эластичности равен 1. Это подтверждает тот факт, что темп роста спроса равен темпу снижения цены. В такой ситуации вычислим выручку, получаемую предприятием ранее и после снижения цены: 80*400 = 32 000 руб. в день, 60*500 = 30 000 руб. в день – как видим, выручка снизилась и дальнейшее снижение цен не является целесообразным.
Содержание практической работы:
А. Ответить на вопросы:
1) Какие связи явлений и процессов различают в статистике? Охарактеризуйте кратко каждую из связей.
2) По каким признакам характеризуются связи между явлениями в статистике. Дайте характеристику каждого признака.
3) Дайте определение корреляции, укажите ее виды. В чем заключается задача корреляционного анализа?
4) Дайте определение регрессии. Для чего используется уравнение регрессии.
5) Укажите основные показатели и формулы корреляционно-регрессивного анализа.
Б. Выполнить задания:
| Табельный номер рабочего | Разряд | Выработка продукции за смену, шт. |
| 1 | 4 | 100 |
| 2 | 5 | 120 |
| 3 | 6 | 140 |
| 4 | 2 | 60 |
| 5 | 3 | 80 |
1) Имеются данные о квалификации и месячной выработке пяти рабочих фабрики:
Для изучения связи между квалификацией рабочих и их выработкой определить линейное уравнение связи и коэффициент корреляции.
2) На предприятии цены на изделия снижены с 60 руб. за единицу до 40 руб. После снижения цен продажа возросла с 200 до 300 единиц в день. Определить абсолютную и относительную эластичность. Сделать оценку эластичности с целью возможности (или невозможности) дальнейшего снижения цен.
Тема: Статистический анализ социально-экономического развития общества
Цель: сформировать понятия статистических показателей численности и динамики численности населения, научиться решать задачи по теме.
Теоретические сведения к практической работе:
Задача 1. Статистический анализ показателей численности населения
Имеются следующие данные за 2019 год:
- численность населения, тыс чел.: на 1 января - 430,0; на 1 апреля - 430,2; на 1 июля 430,3; на 1 октября - 430,7; на 1 января 2020 г. 430,8;
- число умерших, чел. - 8 170;
- число выбывших на постоянно жительство в другие населенные пункты, чел. - 570;
- коэффициент жизненности - 1,075;
- доля женщин в общей численности населения, % - 58;
- доля женщин в возрасте 15-49 лет в общей численности женщин, % - 39.
Определите: коэффициенты рождаемости, смертности, естественного, механического и общего прироста населения; число родившихся; число прибывших на постоянное жительство из других населенных пунктов; специальный коэффициент рождаемости.
Решение:
1) Зная, как менялась численность населения в 2012 году, найдем среднюю численность населения по формуле:
|
Sср = (0,5×430+430,2+430,3+430,7+0,5×430,8)/4 = 430,4 тыс. чел.
2) Зная число умерших (М=8170) и коэффициент жизненности (Кжизн.=1,075), определим число родившихся (N) из формулы:
Кжизн. = n/m = N/M отсюда N = М*Кжизн. = 8170×1,075 = 8782,75≈8783 чел.
3) Зная число родившихся (N=8783чел.) и среднюю численность населения (Sср = 430,4тыс. чел.), определим коэффициент рождаемости по формуле:
n = N/Sср = 8783/430400 = 0,02041 = 20,41‰.
4) Зная число умерших (М=8170чел.) и среднюю численность населения (Sср=430,4тыс. чел.), определим коэффициент смертности:
m = M/Sср = 8170/430400 = 0,01898 = 18,98‰.
5) Коэффициент естественного прироста находим по формуле:
Кn-m = n-m = 0,02041-0,01898=0,00143 = 1,43‰.
6) Для определения числа прибывших на постоянное жительство из других населенных пунктов найдем абсолютный естественный прирост численности населения:
Ае = N-M = 8783-8170 = 613 чел.
Далее найдем абсолютный миграционный прирост из равенства: Ам = О - Ае , где О – общий прирост населения (находится как разность между численностью на конец года и начало).
Ам=430 800-430 000-613=187чел.
Тогда число прибывших (П) найдем из равенства: Ам = П-В, отсюда П=Ам+В=187+570=757 чел.
8) Коэффициент прибытия находим по формуле Кпр = П/Sср = 757:430 400 = 0,00176 = 1,76‰.
9) Коэффициент выбытия находим по формуле Квыб = В/Sср = 570:430400 =0,00132 = 1,32‰.
10) Коэффициент механического прироста находим по формуле Кмиг/мех = Кпр - Квыб =0,00176-0,00132= 0,00044 = 0,44‰.
11) Коэффициент постоянного прироста населения находим по формуле Кобщ = Кn-m + Кмиг = 0,00143-0,00044= 0,00099=0,99‰
Дата добавления: 2021-05-18; просмотров: 2266; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!