ЗАДАНИЯ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЫ

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ

РАБОТА

КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ

ИНТЕГРАЛЫ

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

 

 КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

 

1. Двойной интеграл в декартовых координатах

l2

Y

                                                               Область D ограничена линиями:  причем

l1

                                                               Пусть прямые  пересекают границы области D не более, чем в двух точках. Тогда

b

x

a

0

X

                                                               

 

  

 

 

2. Двойной интеграл в полярных координатах

                               

					j = a
				l1
		l2

Область D ограничена линиями:      Тогда

    

 

3. Объем тела двойным интегралом

Цилиндроид – тело, ограниченное сверху поверхностью  с боков – цилиндрической поверхностью с образующими параллельными оси OZ, снизу – плоской областью D. Тогда

Площадь плоской области D находится по формуле

 

4. Объем тела тройным интегралом

Тело ограничено поверхностями:  причем

 - проекция тела в плоскость x 0 y.

 

 

5. Пусть  – центр тяжести тела D. Тогда:  Здесь плотность

 

 

6. Цилиндрические координаты:      

 

1) точка  - в декартовых координатах;                                        

2) эта же точка  - в цилиндрических координатах, где  - угол  с осью OX, Z=PM (как в декартовых координатах).

Тогда

и

  

 

 

7. Криволинейный интеграл (по координатам)

где AB – плоская кривая, соединяющая точки A и B.

Если AB задана так:  т.е.    

     

 

 

то

Работа переменной силы  на пути AB находится по формуле

Площадь плоской области, ограниченной замкнутой кривой l, находится по формуле

 

    8. Условие полного дифференциала:

 если

Для восстановления  используются формулы:

 где  – точка непрерывности  и их частных производных.

ОБРАЗЕЦ ВЫПОЛНЕНИЯ РГР

 

№ 1.  Изменить порядок интегрирования:

Решение:

Повторный интеграл является следствием двойного, поэтому

Для восстановления области D выписываем из данного повторного интеграла границы области:

 - уравнение параболы с вершиной в точке (0, -2).

 - уравнение параболы с вершиной в точке (0, 0).

Найдем точки пересечения парабол:

По данному повторному интегралу I восстанавливаем вид области D:

 

 

  

 

Производим переход в двойном интеграле к повторному, при этом внешнее интегрирование производим по x, внутреннее – по y.

Получим

 находим из уравнений соответствующих парабол:

1) точка A лежит на параболе  значит, ;

2) точка B лежит на параболе  значит,

Окончательно получим:

Ответ:

 

№ 2. С помощью двойного интеграла вычислить площадь фигуры, ограниченной данными линиями (сделать чертеж):

Решение:

Преобразуем данные уравнения

окружностей:

   

   Переводим уравнения окружностей в полярные координаты, используя формулы:    тогда

Ответ:  (кв. ед.).

№ 3. Найти объем тела, ограниченного заданными поверхностями (сделать схематический чертеж):

 

Решение:

 - уравнение сферы - C(0, 0), R=8, z³0.

 - уравнение параболоида вращения.

Найдем точки пересечения поверхностей:

  

 

 

 

  

 

    Переводим уравнения данных поверхностей в цилиндрические координаты, используя формулы:

 

 

Тогда:

 

где  - проекция тела D в плоскость xoy.

- есть круг, ограниченный окружностью

Ответ:

№ 4. а) Тело D задано ограничивающими его поверхностями, m – плотность. Найти массу тела (сделать чертеж проекции тела в плоскость xoy):

 

Решение:

Ответ: m=4.

 

б) Найти центр тяжести тела, заданного ограничивающими его поверхностями (сделать чертеж проекции тела в плоскость ):

 

Решение:

.

.

.

.

Ответ: .

 

№ 5. Проверить, что данное выражение является полным дифференциалом и восстановить  с помощью криволинейного интеграла. Сделать проверку.

.

Решение:

.

Так как , то данное выражение является полным дифференциалом.

Пусть .

Пусть .

Тогда

Проверка:

ЗАДАНИЯ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЫ

 

1. Изменить порядок интегрирования (сделать чертеж области):

1.1. .

1.2. .

1.3. .

1.4. .

1.5. .

1.6. .

1.7. .

1.8. .

1.9. .

1.10. .

1.11. .

1.12. .

1.13. .

1.14. .

1.15. .

1.16. .

1.17. .

1.18. .

1.19. .

1.20. .

2. С помощью двойного интеграла найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями (сделать чертеж):

2.1. .

2.2. .

2.3. .

2.4. .

2.5. .

2.6. .

2.7. .

2.8. .

2.9. .

2.10. .

2.11. .

2.12. .

2.13. .

2.14. .

2.15. .

2.16. .

2.17. .

2.18. .

2.19. .

2.20. .

3. Найти объем тела, ограниченного заданными поверхностями (сделать схематический чертеж):

3.1. .   3.2. .

3.3. .     3.4. .

3.5. .   3.6. .

3.7. .   3.8. .

3.9. .              3.10. .

3.11. . 3.12. .

3.13. .  3.14. .

3.15. . 3.16. .

3.17. . 3.18. .

3.19. . 3.20. .

4. Тело задано ограничивающими его поверхностями, плотность u = const. Найти центр тяжести тела (сделать чертеж проекции тела в плоскость xoy):

4.1. .

4.2. .

4.3. .

4.4. .

4.5. .

4.6. .

4.7. .

4.8. .

4.9. .

4.10. .

4.11. .

4.12. .

4.13. .

4.14. .

4.15. .

4.16. .

4.17. .

4.18. .

4.19. .

4.20. .

5. Проверить, что данное выражение является полным дифференциалом и восстановить  с помощью криволинейного интеграла. Сделать проверку:

5.1. .

5.2. .

5.3. .

5.4. .

5.5. .

5.6. .

5.7. .

5.8. .

5.9. .

5.10. .

5.11. .

5.12. .

5.13. .

5.14. .

5.15. .

5.16. .

5.17. .

5.18. .

5.19. .

5.20. .

---

Дата добавления: 2021-05-18; просмотров: 59; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!