Самостоятельная работа №3 по теме: «ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ»
ТЕМА: «МЕТОД КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ»
Три попарно перпендикулярные прямые, на которых выбрано направление и единичные отрезки, называются прямоугольной системой координат в пространстве.
Прямые с выбранными на них направлениями называются осями координат, а их общая точка – началом координат. Она обозначается буквой О. Оси координат обозначаются так: Ох, Оу. Их называют: ось абсцисс, ось ординат, ось аппликат. Вся система обозначается Охуz.
Три плоскости, проходящие соответственно через оси координат Ох и Оу, Оу и Оz, Оz и Ох - координатные плоскости. Их обозначают Оху, Оуz, Оzх.
Точка О разделяет каждую из осей координат на 2 луча, один из них – положительная полуось, другой – отрицательная полуось.
В прямоугольной системе координат каждой точке М пространства сопоставляется тройка чисел, которые называются её координатами.
М (х; у; z), х – абсцисса, у – ордината, z- аппликата.
При решении задач в координатах применяют правила:
1. Если вектор 
имеет координаты 
, то его можно разложить по координатным векторам
где 
- координатные (базисные) векторы.
Базисные векторы записываются следующим образом:
Пусть даны векторы 
и 
2. Если 
, то 
3. 
4. 
5. 
Скалярное произведение векторов: 
Скалярное произведение векторов в координатах: 
6. Признаки ортогональности и коллинеарности векторов.
1) 
, если = 0 {векторы перпендикулярны (ортогональны), если их скалярное произведение (сумма произведений одноименных координат) равно нулю}.
|
|
|
2) 
, векторы параллельны(коллинеарные) если координаты векторов пропорциональны
Пусть даны векторы и , если 
.
Вычисление координат середины отрезка
и 
- середина отрезка
Вычисление длины вектора по его координатам
Расстояние между двумя точками
Угол между векторами и
Угол между прямыми , где и - направляющие векторы прямых
Примеры решения задач:
№1
Дано: 
Решение
1) Находим координаты вектора 
;
2) Затем находим координаты вектора 
3) Теперь находим аналогично координаты вектора 
4) Теперь находим сумму данных векторов, складывая соответствующие координаты: 
Ответ: 
№ 2
Дано: 
; 2) 
.
Решение
1.
1) Находим координаты вектора 
;
2) Затем находим разность векторов 
;
3) Теперь находим длину вектора 
: 
2.
1) Находим координаты вектора 
;
2) Находим координаты вектора 
;
3) Затем находим сумму векторов 
;
4) Теперь находим длину вектора 
: 
|
|
|
Ответ: 
Самостоятельная работа №1 «РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ГОТОВЫМ ЧЕРТЕЖАМ»
ВАРИАНТ
1. По данным рисунка определите координаты всех точек.
2. Найдите длины векторов: АВ, BD, DC,CF, FE, DA.
3. Найдите скалярное произведение векторов: AB и CF, FE и DA.
4. Вычислите угол между векторами BD и DC.
_______________________________________________________________________
ВАРИАНТ
1. По данным рисунка определите координаты всех точек.
2. Найдите длины векторов: ВC, DF, DE, BF, AE, CE .
3. Найдите скалярное произведение векторов: DF и AE; BF и DE.
4. Вычислите угол между векторами BC и CE.
Самостоятельная работа №2
«Метод координат в пространстве»
Вариант 1
1. Даны точки А(5; 0; 2), В(4; -3; 2),
С(0; 0; 1), D(2; -4; -4). Найдите:
а) координаты векторов  и  ;
б) координаты векторов  ;  ;  .
в) длины векторов  ;
г) скалярное произведение векторов 
2. Вершины треугольника КМ N имеют координаты K(-2; 3; -2), M(8; 1;2), N(2; -3; 0). Найдите:
а) координаты середины стороны КМ;
б) длины сторон треугольника и определите вид этого треугольника (равносторонний, равнобедренный или разносторонний);
в) вычислите косинус угла М и определите вид этого угла (острый, прямой или тупой)
| Самостоятельная работа №2
«Метод координат в пространстве»
Вариант 2
1. Даны точки А(5; -5; 0), В(-2; 1; -3),
С(0; 3; 1), D(1; 3; -4). Найдите:
а) координаты векторов и ;
б) координаты векторов ; ; .
в) длины векторов ;
г) скалярное произведение векторов
2. Вершины треугольника КМ N имеют координаты K(8; 3; 5), M(14; 1;0), N(12; -5; 0). Найдите:
а) координаты середины стороны КМ;
б) длины сторон треугольника и определите вид этого треугольника (равносторонний, равнобедренный или разносторонний);
в) вычислите косинус угла М и определите вид этого угла (острый, прямой или тупой)
|
Самостоятельная работа №2
«Метод координат в пространстве»
Вариант 3
1. Даны точки А(4; 4; 0), В(1; 0; 5),
С(-1; -5; 0), D(10; -1; 0). Найдите:
а) координаты векторов и ;
б) координаты векторов ; ;  .
в) длины векторов ;
г) скалярное произведение векторов
2. Вершины треугольника КМ N имеют координаты K(3; 8; -4), M(-5; 8;4), N(-5; 0;-4). Найдите:
а) координаты середины стороны КМ;
б) длины сторон треугольника и определите вид этого треугольника (равносторонний, равнобедренный или разносторонний);
в) вычислите косинус угла М и определите вид этого угла (острый, прямой или тупой)
|
Самостоятельная работа №2
«Метод координат в пространстве»
Вариант 4
1. Даны точки А(3; 0; 3), В(0; -3; 1),
С(-1; 2; 1), D(4; 4; -2). Найдите:
а) координаты векторов и ;
б) координаты векторов ; ;  .
в) длины векторов ;
г) скалярное произведение векторов
2. Вершины треугольника КМ N имеют координаты K(5; -1; -3), M(1; 6;2), N(9; 6; 2). Найдите:
а) координаты середины стороны КМ;
б) длины сторон треугольника и определите вид этого треугольника (равносторонний, равнобедренный или разносторонний);
в) вычислите косинус угла М и определите вид этого угла (острый, прямой или тупой)
|
|
|
|
|
|
|
Самостоятельная работа №2
«Метод координат в пространстве»
Вариант 5
1.Даны точки А(-1; -2; -1), В(3; -2; 0),
С(4; -4; 0), D(0; 3; 2). Найдите:
а) координаты векторов и ;
б) координаты векторов ; ;  .
в) длины векторов ;
г) скалярное произведение векторов
2. Вершины треугольника КМ N имеют координаты K(4; 5; -3), M(6; 13;0), N(-4; 7; 0). Найдите:
а) координаты середины стороны КМ;
б) длины сторон треугольника и определите вид этого треугольника (равносторонний, равнобедренный или разносторонний);
в) вычислите косинус угла М и определите вид этого угла (острый, прямой или тупой)
| Самостоятельная работа №2
«Метод координат в пространстве»
Вариант 6
1.Даны точки А(3; 3; 1), В(-3; 1; -3),
С(0; -2; 5), D(2; 3; 4). Найдите:
а) координаты векторов и ;
б) координаты векторов ; ;  .
в) длины векторов ;
г) скалярное произведение векторов
2. Вершины треугольника КМ N имеют координаты K(4; -3; 5), M(7;-12;0), N(-1; -7; 2). Найдите:
а) координаты середины стороны КМ;
б) длины сторон треугольника и определите вид этого треугольника (равносторонний, равнобедренный или разносторонний);
в) вычислите косинус угла М и определите вид этого угла (острый, прямой или тупой)
|
Самостоятельная работа №2
«Метод координат в пространстве»
Вариант 7
1.Даны точки А(1; -2; 0), В(2; 2; 3),
С(3; 0; 5), D(-4; -1; -2). Найдите:
а) координаты векторов и ;
б) координаты векторов ; ;  .
в) длины векторов ;
г) скалярное произведение векторов
2. Вершины треугольника КМ N имеют координаты K(-2; 0; 4), M(8; -2; 4), N(6; 8; 4). Найдите:
а) координаты середины стороны КМ;
б) длины сторон треугольника и определите вид этого треугольника (равносторонний, равнобедренный или разносторонний);
в) вычислите косинус угла М и определите вид этого угла (острый, прямой или тупой)
|
Самостоятельная работа №2
«Метод координат в пространстве»
Вариант 8
1.Даны точки А(-3; 1; 0), В(0; 0; 1),
С(2; -2; 2), D(-1; -1; -4). Найдите:
а) координаты векторов и ;
б) координаты векторов ; ;  .
в) длины векторов ;
г) скалярное произведение векторов
2. Вершины треугольника КМ N имеют координаты K(8;7;-3), M(10;15;-3), N(2;13;-3). Найдите:
а) координаты середины стороны КМ;
б) длины сторон треугольника и определите вид этого треугольника (равносторонний, равнобедренный или разносторонний);
в) вычислите косинус угла М и определите вид этого угла (острый, прямой или тупой)
|
| Самостоятельная работа №2
«Метод координат в пространстве»
Вариант 9
1.Даны точки А(3; 0; 2), В(-1; -2; 4),
С(0; 0; 2), D(-3; 3; 2). Найдите:
а) координаты векторов и ;
б) координаты векторов ; ; .
в) длины векторов ;
г) скалярное произведение векторов
2. Вершины треугольника КМ N имеют координаты K(8; 3; 4), M(14; 1;0), N(12;-5;-4). Найдите:
а) координаты середины стороны КМ;
б) длины сторон треугольника и определите вид этого треугольника (равносторонний, равнобедренный или разносторонний);
в) вычислите косинус угла М и определите вид этого угла (острый, прямой или тупой)
| Самостоятельная работа №2
«Метод координат в пространстве»
Вариант 10
1.Даны точки А(0; -2; 1), В(-2; -2; 0),
С(1; 2; 3), D(1; 0; -1). Найдите:
а) координаты векторов и ;
б) координаты векторов ; ;  .
в) длины векторов ;
г) скалярное произведение векторов
2. Вершины треугольника КМ N имеют координаты K(0; -2; 5), M(-2;8;-1), N(8; 6; 4). Найдите:
а) координаты середины стороны КМ;
б) длины сторон треугольника и определите вид этого треугольника (равносторонний, равнобедренный или разносторонний);
в) вычислите косинус угла М и определите вид этого угла (острый, прямой или тупой)
|
Самостоятельная работа №2
«Метод координат в пространстве»
Вариант 11
1.Даны точки А(-2; 0; 3), В(1; 1; 1),
С(3; -2; -2), D(1; 2; 0). Найдите:
а) координаты векторов и ;
б) координаты векторов ; ;  .
в) длины векторов ;
г) скалярное произведение векторов
2. Вершины треугольника КМ N имеют координаты K(3; 8; 3), M(8; 14; 1), N(6;12;-5). Найдите:
а) координаты середины стороны КМ;
б) длины сторон треугольника и определите вид этого треугольника (равносторонний, равнобедренный или разносторонний);
в) вычислите косинус угла М и определите вид этого угла (острый, прямой или тупой)
|
Самостоятельная работа №2
«Метод координат в пространстве»
Вариант 12
1.Даны точки А(-1; 2; -2), В(3; -3; 0),
С(0; 1; -1), D(-2; 3; 1). Найдите:
а) координаты векторов и ;
б) координаты векторов ; ;  .
в) длины векторов ;
г) скалярное произведение векторов
2. Вершины треугольника КМ N имеют координаты K(2;-2; 3), M(2; 8; 1), N(2; 2;-3). Найдите:
а) координаты середины стороны КМ;
б) длины сторон треугольника и определите вид этого треугольника (равносторонний, равнобедренный или разносторонний);
в) вычислите косинус угла М и определите вид этого угла (острый, прямой или тупой)
|
Самостоятельная работа №3 по теме: «ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ»
Вариант 1
1. Найдите координаты вектора 
, 
, 
, если 
2. Найдите координаты вектора 
, если 
3. Найдите длину вектора 
, если
4. Из точки 
построен вектор 
. Найдите координаты точки 
, если: 
5. Вычислите угол между прямыми АВ и СД, если А (5;-8;-1), В (6;-8;-2), С (7;-5;-11), Д (7;-7;-9).
6. При каком значении α векторы 
и 
параллельны?
7. При каком значении α векторы 
и 
перпендикулярны?
Вариант 2
1. Найдите координаты вектора , , , если 
2. Найдите координаты вектора , если 
3. Найдите длину вектора , если 
4. Из точки построен вектор . Найдите координаты точки , если: 
5. Вычислите угол между прямыми АВ и СД, если А (6;-3;-7), В (8;-5;-7), С (4;-5;-6), Д (7;-5;-9).
6. При каком значении α векторы 
и 
параллельны?
7. При каком значении α векторы и перпендикулярны?
Самостоятельная работа №4
Вариант №1
1) Найдите координаты вектора 
, 
2) Даны 
. Найдите координаты вектора 
.
3) Точки А(2; –1;0) и В(–2;3;2) являются концами диаметра окружности. Найдите координаты центра окружности и её радиус.
4) Даны точки А(0;4;–1), В(1;3;0),С(0;2;5). Найдите длину вектора 
.
5) Вычислите косинус угла между векторами и выясните, какой угол (острый, прямой или тупой) образуют эти векторы, если
6) Проверьте, лежит ли точка А на сфере (х + 1)2 + (у – 2)2 + (z – 3)2 = 9,если А(-1;-1;3)
7) Составьте уравнение сферы с центром в точке С, проходящей через точку М, если С(0;-4;9), М(6;-1;0).
Вариант №2
1) Найдите координаты вектора , 
.
2) Даны 
. Найдите координаты вектора 
.
3) Треугольник АВС задан координатами его вершин А(3;–4;2), В(–3;2;–4), С(1;3; –1). Найти длину медианы СМ.
4) Даны точки А(1;-1;0), В(-3;-1;2), С(-1;2;1).Найдите длину вектора 
.
5) Вычислите косинус угла между векторами и выясните, какой угол (острый, прямой или тупой) образуют эти векторы, если
6) Проверьте, лежит ли точка А на сфере (х - 2)2 + (у + 3)2 + (z + 4)2 = 16, если А(4;-3;-2)
7) Составьте уравнение сферы с центром в точке С, проходящей через точку М, если С(-2;4;0), М(-2;4;3)
Дата добавления: 2021-05-18; просмотров: 333; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!