Способ введения новых переменных
Основные приёмы решения систем уравнений
Система уравнений – это группа уравнений, в которых одни и те же неизвестные подразумевают одни те же числа. Чтобы показать, что уравнения рассматриваются как система, слева от них ставится фигурная скобка:
x - 4y = 2 | |
3x - 2y = 16 |
Решить систему уравнений – это значит, найти общие решения для всех уравнений системы или убедиться, что решения нет.
Чтобы решить систему уравнений, нужно исключить одно неизвестное, то есть из двух уравнений с двумя неизвестными составить одно уравнение с одним неизвестным. Исключить одно из неизвестных можно тремя способами: подстановкой, сложением или вычитанием, а также способом ввода новых переменных
Способ подстановки
Чтобы решить систему уравнений способом подстановки, нужно в одном из уравнений выразить одно неизвестное через другое и результат подставить в другое уравнение, которое после этого будет содержать только одно неизвестное. Затем находим значение этого неизвестного и подставляем его в первое уравнение, после этого находим значение второго неизвестного.
Рассмотрим решение системы уравнений:
x - 4y = 2 | |
3x - 2y = 16 |
Сначала найдём, чему равен x в первом уравнении. Для этого перенесём все члены уравнения, не содержащие неизвестное x, в правую часть:
x - 4y = 2
x = 2 + 4y
Так как x, на основании определения системы уравнений, имеет такое же значение и во втором уравнении, то подставляем его значение во второе уравнение и получаем уравнение с одним неизвестным:
|
|
3x | - 2y = 16 |
3(2 + 4y) | - 2y = 16 |
Решаем полученное уравнение, чтобы найти, чему равен y.
3(2 + 4y) - 2y = 16 |
6 + 12y - 2y = 16 |
6 + 10y = 16 |
10y = 16 - 6 |
10y = 10 |
y = 10 : 10 |
y = 1 |
Мы определили что y = 1. Теперь, для нахождения численного значения x, подставим значение y в преобразованное первое уравнение, где мы ранее нашли, какому выражению равен x:
x = 2 + 4y = 2 + 4 · 1 = 2 + 4 = 6
Ответ: x = 6, y = 1.
Способ сложения или вычитания
Чтобы решить систему уравнений способом сложения, нужно составить из двух уравнений одно, сложив левые и правые части, при этом одно из неизвестных должно быть исключено из полученного уравнения. Неизвестное можно исключить, уравняв при нём коэффициенты в обоих уравнениях.
Рассмотрим систему:
x - 4y = 2 | |
3x - 2y = 16 |
Уравняем коэффициенты при неизвестном y, умножив все члены второго уравнения на -2:
(3x - 2y) · -2 = 16 · -2
-6x + 4y = -32
Получим:
x - 4y = 2 | |
-6x + 4y = -32 |
Теперь сложим по частям оба уравнения, чтобы получить уравнение с одним неизвестным:
+ | x - 4y = 2 |
-6x + 4y = -32 | |
-5x = -30 |
Находим значение x (x = 6). Теперь, подставив значение x в любое уравнение системы, найдём y = 1.
|
|
Если уравнять коэффициенты у x, то, для исключения этого неизвестного, нужно было бы вычесть одно уравнение из другого.
Уравняем коэффициенты при неизвестном x, умножив все члены первого уравнения на 3:
(x - 4y) · 3 = 2 · 3
3x - 12y = 6
Получим:
3x - 12y = 6 | |
3x - 2y = 16 |
Теперь вычтем по частям второе уравнение из первого, чтобы получить уравнение с одним неизвестным:
- | 3x - 12y = 6 |
3x - 2y = 16 | |
-10y = -10 |
Находим значение y (y = 1). Теперь, подставив значение y в любое уравнение системы, найдём x = 6:
3x - 2y = 16 |
3x - 2 · 1 = 16 |
3x - 2 = 16 |
3x = 16 + 2 |
3x = 18 |
x = 18 : 3 |
x = 6 |
Ответ: x = 6, y = 1.
Для решения системы уравнений, рассмотренной выше, был использован способ сложения, который основан на следующем свойстве:
Любое уравнение системы можно заменить на уравнение, получаемое путём сложения (или вычитания) уравнений, входящих в систему. При этом получается система уравнений, имеющая те же решения, что и исходная
Способ введения новых переменных
Рассмотрим систему:
для решения этой системы одной переменной недостаточно, надо вводить две переменные, например:
|
|
.
Получаем систему:
Если .
Если .
Ответ: (1;3);(-7;-1).
Решите уравнения
1.
2.
3.
Дата добавления: 2021-04-05; просмотров: 73; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!