Выполняем 1,5, 8, 9. Указать тип неопределенности.

Практическая работа №1

Тема: Предел последовательности и предел функции. Замечательные пределы.

Цель: сформировать умение находить пределы последовательностей и пределы функций, использовать замечательные пределы для нахождения пределов.

Теоретические сведения к практической работе

Пусть существует последовательность действительных чисел .

Число а называется пределом последовательности

Пример 1. Вычислить предел

Решение

Пример 2. Вычислить предел

Решение

Пример 3. Вычислить предел

Решение

Пример 4. Вычислить предел

Решение

Число А называют пределом функции f(x) при (и пишут ), если для любого найдется число зависящее от , такое, что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство

Теоремы о пределах:

1. (c=const).

2. Если то:

Первый замечательный предел:

Второй замечательный предел (число е = 2,718…):

или

Замечательные пределы:

Пример 5. Вычислить предел

Решение

Пример 6. Вычислить предел

Решение

Пример 7. Вычислить предел

Решение

Пример 8. Вычислить предел

Решение

Чтобы найти предел элементарной функции нужно предельное значение аргумента подставить в функцию и посчитать. При этом, если х=х₀принадлежит области определения функции, то значение предела будет найдено, оно равно значению функции в точке х=х₀. При вычислении пределов полезно использовать следующие соотношения. Если то, учитывая свойства б.б. и б.м. функций, получим:

если если a>1.

Случаи, в которых подстановка предельного значения аргумента
в функцию не дает значения предела, называют неопределенностями;
к ним относятся неопределенности видов:

Пример 9. Вычислить предел

Решение

Пример 10. Вычислить предел

Решение

Пример 11. Вычислить предел

Решение Приме.12. Найти пределы:

а) б) ,

в)

Решение.

а)

б) ,

в) .

Следует отметить, что формулы (1.5) и (1.6) справедливы не только для многочленов целой степени, но и для многочленов дробной степени, так как для любого a>0.

Пример . Найти пределы.

а) ,

б) ,

в) ,

Решение:

а) В числителе три слагаемых соответственно степени: Следовательно, степень числителя равна , а главный член в числителе равен . Аналогично, главный член в знаменателе Имеем по формулам (1.5) и (1.6):

а)

б)

в)

т.к.

Здесь также можно было использовать идею, что главный член это старший член. Имеем:

Пример 13. (Неопределенности )

а) , б)

Решение. Для избавления от неопределенности здесь следует избавиться от иррациональности в числителе, умножив и разделив данное выражение на соответствующее сопряженное выражение.