Индуктивности систем параллельных проводов.
Лекция 10
Метод участков.
Если разбить тонкие контуры на отдельные участки (рис. 10–1а), то взаимную индуктивность между тонкими контурами можно записать в виде суммы интегралов по участкам:
l1k
l1k r 1 2 r
l2p
l2p
а) б)
Рисунок 10–1
,
Выражение, полученное под знаком двойной суммы, можно считать взаимной индуктивностью между двумя отрезками контуров:
; 
.
Аналогично для вычисления индуктивности (рис 10–1б), учитывая, что m = n и проводя интегрирование один раз по оси, а другой по внутреннему контуру, можем записать:
.
Если сравнить формулы для участков, полученные для определения взаимных индуктивностей Mkp и формулы для взаимных потенциальных коэффициентов, полученные по методу средних потенциалов, то можно заметить их сходство:
; 
.
Разница заключается в множителях, стоящих перед интегралами, а также в том, что при вычислении взаимной индуктивности под интегралом определяется скалярное произведение векторов элементарных отрезков: 
, а при вычислении взаимного потенциального коэффициента произведение модулей этих же величин (без необходимости учета косинуса угла q между ними).
Индуктивность контуров, составленных из прямолинейных отрезков.
Если отрезки прямолинейны, то cosq может быть вынесен за знак интеграла, так как на всем интервале интегрирования угол q между прямолинейными отрезками остается постоянным. В этом случае выражение для взаимной индуктивности между двумя прямолинейными отрезками принимает вид:
.
Тогда для расчета взаимной индуктивности между прямолинейными отрезками можно пользоваться формулами, полученными для взаимных потенциальных коэффициентов таких же отрезков по методу средних потенциалов, используя для пересчета соотношение:
Для собственной внешней индуктивности прямолинейного отрезка, учитывая, что q = 0 и cosq = 1, можем записать:
.
Сравнивая это выражение с собственным потенциальным коэффициентом, найденным по методу средних потенциалов:
,
легко показать, что соотношения отличаются только коэффициентами, стоящими перед интегралом, поэтому:
.
Следует подчеркнуть, что выражения для потенциальных коэффициентов, полученные по методу средних потенциалов, не позволяют обеспечить достаточно высокую точность из-за необоснованного предположения о равномерном распределении заряда вдоль отрезков проводников (t = const). Однако, аналогичные выражения для расчета индуктивностей по методу участков абсолютно точны, так как ток в проводнике во всех его сечениях одинаков (i = const).
Кроме того, необходимо иметь в виду, что дополнительный сомножитель (cosq) , связывающий выражения для взаимных индуктивностей и взаимных потенциальных коэффициентов оказывает существенное влияние на результат. Если прямолинейные отрезки параллельны и направления токов в них совпадают, то cosq = 1. Если токи направлены противоположно, то cosq = – 1, а если отрезки перпендикулярны, то cosq = 0, и взаимная индуктивность между ними будет равна нулю, хотя взаимный потенциальный коэффициент нулю не равен.
Определим в качестве примера взаимную индуктивность между двумя одинаковыми прямоугольными рамками, расположенными в параллельных плоскостях на некотором расстоянии x друг от друга (рис.10–2). Выберем направление обхода обоих контуров по часовой стрелке. При расчете взаимной индуктивности между первым и вторым контуром, разобьем каждый из них на четыре прямолинейных участка.
Определим взаимные индуктивности между всеми отрезками обоих контуров и сложим их. Таких слагаемых будет 16. Половина их этих слагаемых равна нулю из-за взаимной перпендикулярности отдельных отрезков (1a ¸ 2b, 2d; 1b ¸ 2a, 2c и т. д.). Остальные пары отрезков параллельны (q = 00, 1a ¸ 2a; 1b ¸ 2b и т.д.) или антипараллельны (q = 1800, 1a ¸ 2c; 1b ¸ 2d и т.д.) Взаимная индуктивность между этими отрезками зависит от их длины (вертикальная сторона рамки равна «a», а горизонтальная сторона рамки равна «b») и от расстояния между ними. Расстояние между параллельными отрезками равно x, а между антипараллельными определяется из соотношений 
и 
.
1b 2b
1c 2c
1a 1d 2a 2d
x
Рисунок 10–2
Для двух параллельных отрезков одинаковой длины, начало которых расположено на одном перпендикуляре к ним (рис. 10–3) можно определить взаимный потенциальный коэффициент или взаимную индуктивность:
l
dx1
x1
r D
x2 dx2
x
Рисунок 10–3
Вычисление подобных интегралов приведено в справочной литературе по расчету емкостей и индуктивностей (Иоссель; Калантаров и Цейтлин).
Индуктивности систем параллельных проводов.
В системе параллельных проводов с токами поле имеет плоскопараллельный характер, векторный потенциал, как и плотность тока, имеет единственную составляющую, направленную вдоль оси z.
В одной из предыдущих лекций мы рассматривали случай определения сцепленного с прямоугольной рамкой магнитного потока, созданного током в линейном проводе. Разность векторных магнитных потенциалов на разных сторонах рамки, удаленных на расстояния a и b от провода, мы получили в виде:
.
По аналогии векторный магнитный потенциал в системе проводов с токами можем записать:
,
где rk – расстояние от рассматриваемой точки до соответствующего провода.
Для двухпроводной линии с прямим и обратным током (рис.10–4) определим внешнее потокосцепление и внешнюю индуктивность участка линии длиной l , используя контур, расположенный на ближних друг к другу поверхностях проводов.
Az
1 2
i i
r1 r2
R l
z
D
Рисунок 10–4
В произвольной точке около двухпроводной линии векторный магнитный потенциал равен: 
.
Тогда векторные потенциалы на внутренних поверхностях первого и второго провода имеют вид: 
,
а внешний магнитный поток и внешняя индуктивность двухпроводной линии равны соответственно:
; 
Внутренняя индуктивность этой линии определяется магнитным потоком внутри прямого и обратного провода (общая длина 2l ): 
.
Окончательно индуктивность двухпроводной линии равна: 
.
В реальных линиях расстояние между проводами превышает радиус провода примерно в 1000 раз, тогда: 
Дата добавления: 2021-05-18; просмотров: 233; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!