Физический смысл определенного интеграла
23.04.2020
Тема занятия «Понятие определенного интеграла, его геометрический и физический смысл»
План занятия
Законспектировать теоретический материал
Понятие определенного интеграла
Геометрический смысл определенного интеграла
Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная неотрицательная функция y = f(x). Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная сверху графиком функции y = f(x), снизу – осью Ох, слева и справа – прямыми x = a и x = b (рис. 2).
Определенный интеграл от неотрицательной функции y = f(x) с геометрической точки зрения равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции y = f(x), слева и справа – отрезками прямых x = a и x = b, снизу – отрезком оси Ох.
Основные свойства определенного интеграла
1.Значение определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования:
2. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:
3. Определенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций:
4.Если функция y = f(x) интегрируема на [a, b] и a < b < c, то
5. (теорема о среднем). Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то на этом отрезке существует точка , такая, что
Формула Ньютона–Лейбница
Теорема 2. Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и F(x) – какая-либо ее первообразная на этом отрезке, то справедлива следующая формула:
|
|
|
которая называется формулой Ньютона–Лейбница. Разность F(b) - F(a) принято записывать следующим образом:
где символ 
называется знаком двойной подстановки.
Таким образом, формулу (2) можно записать в виде:
Пример 1. Вычислить интеграл
Решение. Для подынтегральной функции f(x) = x2 произвольная первообразная имеет вид
Так как в формуле Ньютона-Лейбница можно использовать любую первообразную, то для вычисления интеграла возьмем первообразную, имеющую наиболее простой вид:
Тогда
Замена переменной в определенном интеграле
Теорема 3. Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b]. Если:
1) функция x = φ(t) и ее производная φ'(t) непрерывны при 
;
2) множеством значений функции x = φ(t) при является отрезок [a, b];
3) φ(a) = a, φ(b) = b, то справедлива формула
которая называется формулой замены переменной в определенном интеграле.
В отличие от неопределенного интеграла, в данном случае нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования – достаточно лишь найти новые пределы интегрирования α и β (для этого надо решить относительно переменной t уравнения φ(t) = a и φ(t) = b).
|
|
|
Вместо подстановки x = φ(t) можно использовать подстановку t = g(x). В этом случае нахождение новых пределов интегрирования по переменной t упрощается: α = g(a), β = g(b).
Пример 2. Вычислить интеграл
Решение. Введем новую переменную по формуле 
. Возведя в квадрат обе части равенства , получим 1 + x = t2, откуда x = t2 - 1, dx = (t2 - 1)'dt = 2tdt. Находим новые пределы интегрирования. Для этого в формулу подставим старые пределы x = 3 и x = 8. Получим: 
, откуда t = 2 и α = 2; , откуда t = 3 и β = 3. Итак,
Интегрирование по частям
Теорема 4. Пусть функции u = u(x) и v = v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a, b]. Тогда имеет место следующая формула интегрирования по частям:
Пример 3. Вычислить
Решение. Пусть u = ln x, тогда , v = x. По формуле (4)
Физический смысл определенного интеграла
Дата добавления: 2021-04-24; просмотров: 117; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!