Попробуйте решить следующие примеры(для тренировки,по желанию)
Тема: «Применение производной к исследованию функций»
Цель работы: научиться применять производную функции для исследования свойств функции и построения графиков.
Производная функции применяется для определения промежутков монотонности функции, т.е. промежутков возрастания и убывания, а также точек экстремума (точек максимума и минимума) функции.
Внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует, называют критическими точками этой функции.
Эти точки играют важную роль при построении графика функции, поскольку только они могут быть точками экстремума функции, т.е. точками максимума и минимума.
Если 
> 0 на промежутке, то функция 
возрастает на этом промежутке.
Если < 0 на промежутке, то функция 
убывает на этом промежутке.
Необходимое условие экстремума
Если точка 
является точкой экстремума функции и в этой точке существует производная , то она равна нулю: =0.
Признак максимума функции. Если функция непрерывна в точке и при переходе через критическую точку производная меняет знак с плюса на минус, то точка является точкой максимума функции .
Признак минимума функции. Если функция непрерывна в точке и при переходе через критическую точку производная меняет знак с минуса на плюс, то точка является точкой минимума функции .
|
|
|
Алгоритм нахождения промежутков монотонности функции и ее экстремумов:
1. Найти область определения функции 
.
2. Найти производную функции 
и посмотреть, в каких точках она не существует.
3. Найти критические точки. Для этого решить уравнение 
.
-либо выносим за скобки общий множитель
-либо применяем формулу 
-если квадратный трехчлен, то решаем через дискриминант, находим корни
Отметить критические точки на области определения функции (на числовой прямой)
5. На каждом промежутке определить знак производной функции.
По знаку производной определить промежутки возрастания и убывания функции.
Определить точки экстремума функции.
Пример 1. Найти интервалы монотонности функции 
.
(В заданиях с такой формулировкой выполняем только первые 6 пунктов)
1. 
2. Найдем производную: 
3. Приравняем производную к нулю и решим уравнение 
4. Отмечаем эти точки на числовой прямой
5. Чтобы определить знак производной на каждом промежутке, нужно выбрать одно число из данного промежутка и подставить его вместо x в производную 
- на крайнем правом промежутке ставим знак +
на среднем промежутке ставим знак -
|
|
|
на крайнем левом промежутке ставим знак +
Знаки всегда расставляем справа – налево
Ответ: функция возрастает на промежутках 
функция убывает на промежутке [0;2].
Пример 2. Найти точки экстремума функции 
.
=R
, 
Найдем критические точки, для этого решим уравнение 
(применили формулу разности квадратов)
1- x =0 или 1+х=0; х=1, х=-1 – критические точки функции
Отметим критические точки на области определения функции и найдем знак производной на каждом промежутке. 
- на крайнем правом промежутке ставим знак -
на среднем промежутке ставим знак +
на крайнем левом промежутке ставим знак -
| 1 |
| -1 |
| min |
| max |
| X |
В точке -1 производная меняет знак с «–» на «+», значит, эта точка является точкой минимума. В точке 1 производная меняет знак с «+» на «–», значит, эта точка является точкой максимума.
Попробуйте решить следующие примеры(для тренировки,по желанию)
Найти экстремумы функции, промежутки возрастания и убывания.
| В производной вынести за скобки общий множитель |
| В производной сначала вынести за скобки общий множитель, а затем применить формулу разности квадратов |
 
| «Производную» решить через дискриминант |
Дата добавления: 2021-04-24; просмотров: 78; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!