Возведение в степень и извлечение корня из комплексных чисел
Поле комплексных чисел
Комплексные числа — одна из важнейших математических абстракций, применяемая как в самой математике, так и в ее приложениях. Комплексные числа используют в реальных расчетах инженеры, физики, электронщики и другие специалисты.
В процессе изучения математики мы расширяли свои представления о числах. В начальных классах мы работали с множеством натуральных чисел N={1, 2, 3, …}, при этом их складывали, вычитали, умножали и делили. Поскольку разность двух натуральных чисел не всегда является натуральным числом, мы «расширили» множество натуральных числе до множества целых чисел Z={…, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}, добавив нуль и отрицательные числа. Далее, рассматривая дробные числа (частное двух целых чисел не всегда целое число), мы перешли к рациональным числам. И уже в среднем звене познакомились с понятием действительно (вещественного) числа, в связи с необходимостью введения иррациональных чисел, например,  .
| Историческая справка |
Действительные числа образуют числовое поле, т.е. числовое множество с определенными в нем операциями сложения, вычитания, умножения и деления (кроме деления на 0). Расширим поле действительных чисел, введя новое число – мнимую единицу.
При определении разрешимости квадратных уравнений мы используем дискриминант, и если дискриминант отрицателен, то обычно даем ответ: уравнение не имеет корней. Но на самом-то деле, ответ должен быть следующим: уравнение не имеет действительных корней.
|
|
|
Рассмотрим простейшее квадратное уравнение 
. Оно не имеет действительных корней, так как не существует действительного числа, квадрат которого был бы равен 
. Введем новое число, обозначив его через 
, такое, что 
. Число будем называть мнимой единицей ( – начальная буква французского слова imaginaire – «мнимый»). Заметим, что произведение 
в квадрате также равно . Будем обозначать это произведение через 
.
Теперь мы можем извлекать квадратные корни из любого отрицательного числа. Например, 
. Следовательно, мы можем найти корни квадратных уравнений вида 
, где 
, а именно 
.
Для нахождения корней произвольного квадратного уравнения 
определим понятие комплексного числа.
Введем формальное определение комплексного числа. Мы знаем, что действительные числа изображаются точками на числовой прямой:
Таким образом, любой точке на этой прямой сопоставляется некоторое действительное число. Здесь, например, точке A соответствует число –3, точке B – число 2, и O – ноль.
Любой же точке на координатной плоскости соответствует пара действительных чисел. Выберем на плоскости прямоугольную (декартову) систему координат с одинаковыми масштабами на обеих осях. Упорядоченную пару действительных чисел 
, соответствующую точке на этой плоскости, будем называть комплексным числом, а саму плоскость комплексной. Для комплексного числа число a называется действительной частью числа z и обозначается Rez, b – его мнимой частью и обозначается Imz.
|
|
|
Комплексные числа, у которых действительная и мнимая части являются целыми числами, называются гауссовыми.
| Изобразить комплексное число на плоскости |
Множество всех комплексных чисел будем обозначать через C, т.е. 
.
Два комплексных числа 
и 
будем называть равными, если у них совпадают действительные и мнимые части:
|
Пример. Пусть 
и 
. Если 
, то 
.
На множестве комплексных чисел введем операции сложения и умножения:
1.
| Записать правило сложения комплексных чисел |
двух комплексных чисел 
и будем называть комплексное число 
такое, что 
.
2.
| Записать правило умножения комплексных чисел |
двух комплексных чисел и будем называть комплексное число такое, что 
.
Примеры.
1)  ;
| 2)  ;
| ||
3)  ;
| 4)  ;
| ||
5)  ;
| |||
| 6)
| |||
7)  ;
| 8)  .
| ||
;
| Записать свойства сложения и умножения комплексных чисел |
Перечислим свойства операций:
| 1' |
| 2' |
| 4' |
| 3' |
Вывод 1: множество комплексных чисел C относительно сложения образует коммутативную группу.
| 5' |
| 7' |
| 8' |
| 6' |
Вывод 2: множество ненулевых комплексных чисел 
относительно умножения образует коммутативную группу.
| Вывод 3: |
| 9' |
Рассмотрим пары 
с нулевой мнимой частью. Каждой из этих пар соответствует единственное действительное число a, т.е. множество всех пар вида изоморфно множеству всех действительных чисел. Следовательно, всякое комплексное число можно отождествить с действительным числом a. В частности, 
и 
. Таким образом, можем сделать вывод, что множество действительных чисел содержится в множестве комплексных чисел. Более того, поле комплексных чисел является расширением поля действительных чисел.
Вернемся к примеру, в котором мы находили квадрат пары 
: 
. Таким образом, мы имеем число, квадрат которого равен . Следовательно, 
.
Отсюда получаем, что 
. Эта запись комплексного числа называется алгебраической.
|
|
|
Если действительная часть комплексного числа 
равна нулю (a = 0), то комплексное число bi называется чисто мнимым. Если b = 0 , то комплексное число равно a и оно будет действительным числом. Если a = 0 и b = 0 одновременно, то комплексное число 0 + 0i равно нулю.
Отметим, что производить действия над комплексными числами проще в алгебраической записи. Действительно, если даны два комплексных числа 
и 
, то
|
| Записать формулы |
Примеры.
1) 
;
2) 
;
3)
| Вычислить |
;
4) 
Рассмотрим геометрический смысл сложения и умножения комплексных чисел.
Пусть даны два числа и . Согласно формальному определению, комплексное число есть пара действительных чисел 
. Тогда, с точки зрения геометрии, эта пара задает на плоскости вектор с координатами 
, имеющий начало в точке O – начале координат. Следовательно, наши числа 
и 
задают два вектора с координатами 
и 
соответственно. Складывая по правилу, определенному выше, получим, что сумме 
соответствует вектор с координатами 
– вектор, получающийся по правилу параллелограмма. Таким образом, сложение комплексных чисел геометрически выполняется по правилу параллелограмма. Далее, число, противоположное числу , будет точкой комплексной плоскости, симметричной с точкой z относительно начала координат (рис. 2). Отсюда без труда может быть получено геометрическое истолкование вычитания.
U AQAACwAAAAAAAAAAAAAAAAAvAQAAX3JlbHMvLnJlbHNQSwECLQAUAAYACAAAACEABUFyrdMHAABe NwAADgAAAAAAAAAAAAAAAAAuAgAAZHJzL2Uyb0RvYy54bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEA7O8ig+AA AAALAQAADwAAAAAAAAAAAAAAAAAtCgAAZHJzL2Rvd25yZXYueG1sUEsFBgAAAAAEAAQA8wAAADoL AAAAAA== ">
| Imz |
| Rez |
| z |
| –z |
| –a |
| a |
| b |
| –b |
| b2 |
| b1 |
| a2 |
| a1 |
| O |
| z1+z2 |
| z2 |
| z1 |
| Rez |
| Imz |
| Добавить пометки |
рис. 1 рис. 2
| рис.3 |
| Изобразить разность двух комплексных чисел |
Геометрический смысл умножения и деления комплексных чисел станет ясным лишь после того, как мы введем для комплексных чисел новую запись, отличную от алгебраической. Запись числа z в виде использует декартовы координаты вектора, соответствующего этому числу. Зададим этот вектор в его полярных координат: длина вектора r и угла j между положительным направлением оси абсцисс и вектором (рис. 4).
Длина r вектора, изображающего комплексное число z на плоскости, называется модулем этого числа, и обозначается 
Число r является неотрицательным действительным числом, причем оно равно нулю лишь для числа 0. Для z, лежащего на действительной оси, т.е. являющегося действительным числом, число r будет абсолютной величиной z.
| 0 |
| z |
|
| r |
| Imz |
| Rez |
| b |
| a |
рис. 4
Угол j называется аргументом комплексного числа z и обозначается a rgz. Угол j может принимать любые действительные значения, как положительные, так и отрицательные, причем положительные углы должны отсчитываться против часовой стрелки. Аргумент не определен лишь для числа 0, это число вполне определяется, однако равенством 
Аргумент комплексного числа является естественным обобщением знака действительного числа. В самом деле, аргумент положительного действительного числа равен 0, аргумент отрицательного действительного числа равен p; на действительной оси из начала координат выходят лишь два направления и их можно различать двумя символами + и –, тогда как на комплексной плоскости направлений выходящих из точки 0, бесконечно много и различаются они уже углом, составляемым ими с положительным направлением действительной оси.
Между декартовыми и полярными координатами точки существует следующая связь, справедливая при любом расположении точек на плоскости:
(1)
Выразить a и b
через r и j
Отсюда
(2)
Применим формулы (1) к произвольному комплексному числу z:
,
или
. (3)
Обратно, пусть число допускает запись вида 
, где r0 и j 0 – некоторые действительные числа, причем r0 ³ 0. Тогда r0cos j 0 =a, r0 sin j 0 =b, откуда r0= 
, т.е., ввиду (2), 
. Отсюда, используя (1), получаем: cos j 0 =cos j , sin j 0 =sin j , т.е. j 0 =argz.Таким образом, всякое комплексное число z однозначным образом записывается в виде (3), где 
, j =argz (причем аргумент j определен лишь с точностью до слагаемых, кратных 2p). Эта запись числа z называется его тригонометрической формой, где 
, а аргумент j вычисляется из равенств:
, 
. (4)
Выведем формулы умножения и деления комплексных чисел в тригонометрической форме. Пусть комплексные числа z1 и z2 заданы в тригонометрической форме: 
, 
. Перемножим эти числа:
|
|
т.е.
(5)
Аналогично для частного, где r2 ¹ 0.
(6)
Отсюда следует, что
, (7)
, (8)
т.е. модуль произведения комплексных чисел равен__________________________________, модуль частного двух комплексных чисел равен _______________________________________
______________________. Далее,
, (9)
, (10)
т.е. аргумент произведения комплексных чисел равен _______________________________, аргумент частного двух комплексных чисел получается _______________________________
___________________________________________.
Геометрический смысл умножения и деления выясняется теперь без затруднений. Действительно, ввиду формул (7) и (9), мы получим точку, изображающую произведение числа z1 на z2, если вектор, идущий от 0 к z1 (рис. 5), повернем на угол y =argz2, а затем растянем этот вектор в r2 раз. Далее, из (6) следует, что при z2¹0 будет
, (11)
т.е. 
, 
. Таким образом, мы получим точку 
, если от точки 
перейдем к точке 
, лежащей на расстоянии 
от нуля на той же полупрямой, что и точка (рис. 6), а затем перейдем к точке, симметричной с 
относительно действительной оси.
| Rez |
| z2 |
| z1 |
| Imz |
рис. 5 рис. 6
Изобразить число, обратное числу  .
На рисунке показать ,  , 
|
Замечание. Для комплексных чисел понятия "больше" и "меньше" не применяются. Для комплексных чисел введено только отношение равенства.
Возведение в степень и извлечение корня из комплексных чисел
Переходим к вопросу о возведении комплексных чисел в степень и извлечении из них корня. Для возведения числа в целую положительную степень n достаточно применить к выражению 
формулу бинома Ньютона, а затем воспользоваться равенствами 
, 
, 
, откуда вообще
, 
, 
, 
.
Если число z задано в тригонометрической форме, то при целом положительном n из формулы (5) вытекает следующая формула, называемая формулой Муавра:
|
, (12)
т.е. при возведении комплексного числа в степень________________________________________
___________________________________ . Формула (12) верна и для целых отрицательных показателей. Действительно, ввиду 
, достаточно применить формулу Муавра к числу 
, тригонометрическую форму которого дает формула (11).
Пусть нужно извлечь корень n-ой степени из числа . Предположим, что это сделать можно и что в результате получается число 
, т. е.
. (13)
Тогда, по формуле Муавра, r n =r, т.е. 
, где в правой части стоит однозначно определенное положительное значение корня n-й степени из положительного действительного числа r. С другой стороны, аргумент левой части равенства (13) есть n q . Нельзя утверждать, однако, что n q равно j , так как эти углы могут в действительности отличаться на слагаемое, являющееся некоторым целым кратным числа 2p . Поэтому n q = j +2k p , где k - целое число, откуда
.
Обратно, если мы берем число 
, то при любом целом k, положительном или отрицательном, n-я степень этого числа равна z. Таким образом,
. (14)
Давая k различные значения, мы не всегда будем получать различные значения искомого корня. Действительно, при
k=0, 1, 2, . . ., n-1 (15)
мы получим n значений корня, которые все будут различными, так как увеличение k на единицу влечет за собой увеличение аргумента на 
. Пусть теперь k произвольно. Если k=nq+r, 
, то
,
т.е. значение аргумента при нашем k отличается от значения аргумента при r=k на число, кратное 2 p . Мы получаем, следовательно, такое же значение корня, как при значении k, равном r, т.е. входящем в систему (15).
Таким образом, извлечение корня n-ой степени из комплексного числа z всегда возможно и дает n различных значений. Все значения корня n-й степени расположены на окружности радиуса 
с центром в нуле и делят эту окружность на n равных частей.
В частности, корень n-й из действительного числа z имеет также n различных значений; действительных среди этих значений будет два, одно или ни одного в зависимости от знака z и четности n.
Изобразить значения  .
|
| Imz |
| Rez |
| Пример: =
|
Особенно важен случай извлечения корня n-й степени из числа 1. Этот корень имеет n значений, причем, ввиду равенства 1=cos0+isin0 и формулы (14), все эти значения или, как мы будем говорить, все корни n-й степени из единицы, задаются формулой
. (16)
Обозначим множество всех корней n-й степени из числа 1 через 
=
= 
. Например, 
, 
.
| Дописать |
Найдем кубические корни из единицы: 
.
Следовательно,
Записать  .
|
| Дописать |
Таким образом, 
.
Действительные значения корня n-й степени из единицы получаются из формулы (16) при значениях k=0 и 
, если n четно, и при k=0, если n нечетно. На комплексной плоскости корни n-й степени из единицы расположены на окружности единичного круга и делят ее на n равных дуг; одной из точек деления служит число 1. Отсюда следует, что те из корней n-й степени из единицы, которые не являются действительными, расположены симметрично относительно действительной оси (т.е. попарно сопряжены???).
Утверждение. Все значения корня n-й степени из комплексного числа z можно получить умножением одного из этих значений на все корни n-й степени из единицы.
Доказательство. Действительно, пусть b будет одно из значений корня n-й степени из числа z, т.е. bn=z, а e - произвольное значение корня n-й степени из единицы, т.е. en =1. Тогда (be)n=bnen =z, т.е. be также будет одним из значений для 
. Умножая b на каждый из корней n-й степени из единицы, мы получаем n различных значений корня n-й степени из числа z, т.е. все значения этого корня.
Рассмотрим свойства корней n-й степени из единицы 
.
Свойство 1°Произведение двух корней n-й степени из единицы само есть корень n-й степени из единицы.
Доказательство.
Свойство 2° Умножение корней n-й степени из единицы ассоциативно.
Доказательство.
Свойство 3°Число, обратное корню n-й степени из единицы, само есть такой же корень.
Доказательство.
Вывод. Множество корней n-й степени из единицы относительно умножения образует коммутативную группу.
Свойство 4°Всякая степень корня n-й степени из единицы есть также корень n-й степени из единицы.
Доказательство.
Свойство 5°Всякий корень k-й степени из единицы будет также корнем l-й степени из единицы для всякого l, кратного k.
Доказательство.
Таким образом, некоторые из корней n-й степени из единицы, т.е. элементы 
, уже будут корнями n ¢ -й степени из единицы для некоторых n ¢ , являющихся делителями числа, т.е.будут принадлежать множеству 
, причем n нацело делится на n ¢. Для всякого n существуют, однако, такие корни n-й степени из единицы, которые не являются корнями из единицы никакой меньшей степени. Такие корни называются первообразными корнями n-й степени из единицы. Их существование вытекает из формулы (16): если значение корня, соответствующее данному значению k, мы обозначим через ek (так что e0=1), то на основании формулы Муавра e1k=ek . Никакая степень числа e1, меньшая, чем n-я, не будет, следовательно, равна 1, т.е. 
является первообразным корнем.
Рассмотрим свойства первообразных корней.
Теорема 1.Корень n-й степени из единицы e тогда и только тогда будет первообразным, если его степени ek, 
, различны, т.е. если ими исчерпываются все корни n-й степени из единицы.
Доказательство. Действительно, если все указанные степени числа e различны, т.е. 
, где 
, то e будет, очевидно, первообразным корнем n-й степени. Если же, например, ek =el при 0 £ k<l £ n-1, то el-k=1, т.е., ввиду неравенств 1£ l-k £ n-1, корень e не будет первообразным.
Число e1, найденное выше, в общем случае – не единственный первообразный корень n-й степени. Для разыскания всех этих корней служит следующая теорема.
Теорема 2.Если e есть первообразный корень n- й степени из единицы, то число ek тогда и только тогда будет первообразным корнем n-й степени, если k взаимно просто с n.
Доказательство. В самом деле, пусть d будет наибольшим общим делителем чисел k и n. Если d>1 и k=dk¢, n=dn¢, то (ek)n¢=ekn¢=ek¢n=(en)k¢=1, т.е. корень ek оказался корнем n¢-й степени из единицы.
Пусть, с другой стороны, d=1 и пусть, вместе с тем, число ek оказывается корнем m-й степени из единицы, 1£m<n. Таким образом (ek)m=ekm=1. Так как число e -первообразный корень n-й степени из единицы, т.е. лишь его степени с показателями, кратными n, могут быть равными единице, то число km будет кратным n. Отсюда вытекает, однако, так как 1£m<n, что числа k и n не могут быть взаимно простыми в противоречие с предположением.
Таким образом, число первообразных корней n-й степени из единицы равно числу целых положительных чисел k, меньших n и взаимно простых с ним.
Если p – простое число, то первообразными корнями p-й степени из единицы будут все эти корни, кроме самой единицы. С другой стороны, среди корней четвертой степени из единицы первообразными будут i и -i, но не 1 и -1.
Дата добавления: 2021-04-24; просмотров: 244; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!