Геометрический и физический смысл производной. Уравнение касательной
ЛЕКЦИЯ: «ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ И МЕХАНИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ»
Определение производной
Определение производной. Пусть задана функция 
, 
и пусть 
- некоторая точка интервала 
. Предел
называется производной функции в точке и обозначается 
(если последний предел существует). Таким образом, по определению,
Функция, имеющая производную в некоторой точке, называется дифференцируемой в этой точке. Функция , , имеющая в каждой точке интервала производную, называется дифференцируемой на этом интервале. Операция нахождения производной данной функции называется дифференцированием.
Обозначение производной функции 
: 
Если ввести приращение аргумента 
и приращение функции 
, определение производной запишется в виде
Так как - произвольное значение аргумента, то можно обозначить его как x. Тогда получаем
Пример:
Дана функция 
, найдите её производную.
Решение.
а) 
, 
,
б) 
в) 
Таким образом, 
.
Производная суммы, разности, произведения и частного функций
Теорема 1. Если функции 
и 
дифференцируемы на некотором интервале, то на этом интервале
т.е. производная суммы (разности) функций равна сумме (разности) производных этих функций.
Теорема 2. Если функции и дифференцируемы на некотором интервале, то на этом интервале
.
Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак производной, т.е. 
, где 
- дифференцируемая функция.
|
|
|
Теорема 3. Если функции и дифференцируемы на некотором интервале и 
для любого x из этого интервала, то
.
Производные некоторых элементарных функций
1. 
9. 
2. 
10. 
3. 
11. 
4. 
12. 
5. 
13. 
6. 
14. 
7. 
15. 
8. 
16. 
Пример: Найдите производную функции 
Решение. По теореме 1 и следствию из теоремы 2 получаем:
Пример: Найдите производную функции 
Решение. По теореме 3 получаем:
Производная сложной функции
Пусть задана сложная функция , т.е. такая, что её можно представить в виде:
или 
. В выражении 
переменная u называется промежуточным аргументом.
Теорема. Если функция 
имеет в некоторой точке x производную 
, а функция имеет при соответствующем значении u производную 
, то сложная функция в указанной точке x также имеет производную, которая равна
|
|
|
,
где вместо u должно быть подставлено выражение .
Коротко,
,
т.е. производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу u на производную промежуточного аргумента по x.
Пример: Дана функция 
. Найдите 
.
Решение. Введем промежуточный аргумент u:
Тогда 
. По правилу дифференцирования сложной функции получаем:
Следствие. Если функция такова, что её можно представить в виде 
то
Пример: Дана функция 
. Найдите .
Решение. Пусть 
. Тогда 
. По рассмотренному выше следствию получаем:
Геометрический и физический смысл производной. Уравнение касательной
Пусть заданы две прямые в виде с угловым коэффициентом 
и 
, где 
- угловые коэффициенты данных прямых; 
- углы, образованные прямыми с положительным направлением оси Ox.
Тогда тангенс угла 
между двумя прямыми, отсчитанного против часовой стрелки от прямой до прямой вычисляется по формуле:
.
Из формулы следуют условия параллельности и перпендикулярности двух прямых:
1) прямые параллельны, т.е. 
; таким образом, если прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны.
|
|
|
2) прямые перпендикулярны, т.е. 
.
Геометрический смысл производной: Если кривая задана уравнением , то 
, где 
- угол, образованный касательной к кривой в точке с абсциссой с положительным направлением оси Ox.
Пример 1. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции 
в его точке с абсциссой 
Решение. Найдём производную 
. Тогда угловой коэффициент касательной равен 
.
Ответ: 3.
Уравнение касательной к графику функции в точке 
имеет вид:
.
Нормалью к кривой называется прямая, перпендикулярная к касательной и проходящая через точку касания.
Уравнение нормали к графику функции в точке имеет вид:
.
Пример 2. Составьте уравнение касательной к графику функции 
в точке его пересечения с осью ординат.
Решение. Уравнение касательной записывается в виде:
,
где - точка касания. Абсцисса 
, а ордината 
.
Найдём производную заданной функции в точке :
; 
.
Искомое уравнение касательной имеет вид:
, или 
.
Ответ: .
Механический смысл производной: Если при прямолинейном движении точки задан закон движения 
, то скорость движения в момент 
есть производная пути по времени 
.
Пример 3. Материальная точка движется прямолинейно по закону 
. Через сколько времени после начала движения точка остановится? Найдите путь, пройденный точкой до остановки.
|
|
|
Решение. В момент остановки скорость точки равна нулю. Находим 
. Решаем уравнение 
, т.е. 
. Таким образом, после начала движения точка остановится через 
с. Путь, пройденный точкой до остановки, составит 
м.
Ответ: 2; 80.
Дата добавления: 2021-04-24; просмотров: 81; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!