Критерий минимального риска (критерий Севиджа)

Оценка сложных систем в условиях риска и неопределенности

Определенность или детерминированность процессов определяется тем, что определённой ситуации соответствует единственный исход, такая зависимость носит название функциональной. Примером функциональной зависимости является, например, связь между скоростью, временем и длиной пути: S = V*T

Неопределенность возникает в том случае, когда ситуация имеет несколько исходов. О неопределенности говорят в случае, если вероятность каждого исхода неизвестна. Если можно оценить вероятность каждого исхода, то говорят об условиях риска.

Исследования показали, что в зависимости от характера неопределенности все модели по принятию решений можно разделить на игровые и статистически неопределенные. В игровых операциях неопределенность формируется за счет сознательных действий противника, для исследования таких операций используется теория игр («монетка», «выбор стратегии», 2х3, «бросание кости»)

В настоящее время нет универсального критерия по выбору решения для задач неопределенных статически. Разработаны лишь общие требования к критериям и процедурам оценки и выбора оптимальных систем.

Обычно задачи записываются в матрице вида:

а \ n	n₁		n _k	K (a_j)
a₁ a _m	k ₁₁		K _mk

a = (а₁…а_m) – вектор управляемых параметров, определяющий свойства систем

n = (n₁...n_k) – вектор неуправляемых параметров, определяющий состояние обстановки.

К_ij – значение эффективности системы аi для состояния обстановки nj

Наиболее часто в неопределенной ситуации используются критерии:

1. Среднего выигрыша (критерий Байеса)

2. Достаточного основания (критерий Лапласа)

3. Осторожного наблюдателя (критерий Вальда)

4. Пессимизма-оптимизма (критерий Гурвица)

5. Минимального риска (критерий Севиджа)

Пример

Необходимо оценить один из трех программных продуктов а_i для борьбы с одним из четырех программных воздействий k_j. Матрица эффективности выглядит следующим образом.

а\к	к₁	к₂	к₃	к₄
а₁	0,1	0,5	0,1	0,2
а₂	0,2	0,3	0,2	0,4
а₃	0,1	0,4	0,4	0,3

Критерий среднего выигрыша (Байеса)

Предполагает задание вероятностей состояния обстановки Р_i. Эффективность систем оценивается как среднее ожидание (мат. ожидание) оценок эффективности по всем состояниям обстановки. Оптимальной системе будет соответствовать максимальная оценка.

К = ∑ Р _i К _ij

Предположим, что вероятность применения противником программных воздействий Р1 = 0,4; Р2=0,1; Р3=0,1; Р4=0,3

К(а₁)=0,4*0,1+0,5*0,2+0,1*0,1+0,3*0,2=0,21

К(а₂)=0,4*0,2+0,2*0,3+0,1*0,2+0,3*0,4=0,28

К(а₃)=0,4*0,1+0,2*0,4+0,1*0,4+0,3*0,3=0,25

Оптимальное решение по данному критерию - программный продукт а_2.

Критерий Лапласа (достаточного основания)

Предполагается, что состояние обстановки равновероятно, так как нет достаточных оснований предполагать иное.

К=1/к∑К ij , для каждого i,

а оптимальное значение указывает максимальную сумму К.

Р1=0,25; Р2=0,25; Р3=0,25; Р4=0,25

К(а₁)=0,25*(0,1+0,5+0,1+0,2)=0,225

К(а₂)=0,25*(0,2+0,3+0,2+0,4)=0,275

К(а₃)=0,25*(0,1+0,4+0,4+0,3)=0,3

Оптимальное решение - программа а₃

Замечание – критерий Лапласа – это частный случай критерия среднего выигрыша.

Критерий осторожного наблюдателя (критерий Вальда)

Это максимальный критерий (максимальные доходы, минимальные потери). Он гарантирует определенный выигрыш при худших условиях. Критерий использует то, что при неизвестной обстановке нужно поступать самым осторожным образом, ориентируясь на минимальное значение эффекта каждой системы.

Для этого в каждой строке матрицы находится минимальная из оценок систем

К(а _i ) min К _ij .

Оптимальной считается система из строки с максимальным значением эффективности Копт= max ( minK_ij ) для всех ij

I j

К(а₁)=min(0,1;0,5;0,1;0,2)=0,1

К(а₂)=min(0,2;0,3;0,2;0,4)=0,2

К(а₃)=min(0,1;0,4;0,4;0,3)=0,1

Оптимальное решение – продукт а₂

В любом состоянии обстановки выбранная система покажет результат не хуже найденного максимина. Однако такая осторожность является в ряде случаев недостатком критерия.

Критерий пессимизма-оптимизма (критерий Гурвица)

Критерий обобщенного максимина. Согласно данному критерию при оценке и выборе систем не разумно проявлять как осторожность, так и азарт. Следует принимать во внимание самое высокое и самое низкое значение эффективности и занимать промежуточную позицию. Эффективность находится как взвешенная с помощью коэффициента α сумма максимальных и минимальных оценок.

К( a_i ) = α max K_ij +(1- α)* min K_ij

J j

0≤ α ≤1

Копт = max { α max K_ij +(1- α)* min K_ij }

I j j

d=0,6 К(а₁)=0,6*0,5+(1-0,6)*0,1=0,34

К(а₂)=0,6*0,4+(1-0,6)*0,2=0,32

К(а₃)=0,6*0,4+(1-0,6)*0,1=0,28

Оптимальное решение – продукт а₁

При α = 0 критерий Гурвица сводится к критерию максимина. На практике используются значения α из интервала (0,3÷0,7).

Критерий минимального риска (критерий Севиджа)

Минимизирует потери эффективности при наихудших условиях. В этом случае матрица эффективности должна быть преобразована в матрицу потерь. Каждый элемент определяется как разность между максимальным и текущим значениями оценок эффективности в столбце.

∆ К _ij = maxK_ij - K_ij

После преобразования матрицы используется критерий минимакса, т.е. оптимального решения критерия.

K ( a_i )= max ∆ К _ij

K опт= min ( max ∆ К _ij )

I j

Матрица потерь

а\к	к₁	к₂	к₃	к₄	к(а_i)
а₁	0,1	0	0,3	0,2	0,3
а₂	0	0,2	0,2	0	0,2
а₃	0,1	0,1	0	0,1	0,1

Оптимальное решение – продукт а₃

Комментарий: критерий отражает сожаления по поводу того, что выбранная система не оказалась лучшей при определении состава обстановки. Например, если выбрать программу а₁ , а угрозу n₃ , то сожаление, что не выбрана лучшая из программ а₃ составит 0,3.

Таким образом, эффективность систем в неопределенных операциях может оцениваться по ряду критериев. На выбор каждого из них может влиять ряд факторов:

а) природа конкретных операций и ее цель

- в одном случае допустим риск

- в другом - гарантированный результат

б) причина неопределенности

- закон природы

- разумные действия противника

в) характер лица, принимающего решение:

- склонность добиться большего, идя на риск

- всегда осторожные действия

Результаты всех расчётов записываются в одну таблицу:

Форма записи результатов

а\к	к₁	к₂	к₃	к₄	Ср. выигр	Лапласа	Вальда	Гурвица	Севиджа
а₁	0,1	0,5	0,1	0,2	0,21	0,225	0,1	0,34	0,3
а₂	0,2	0,3	0,2	0,4	0,28	0,275	0,2	0,32	0,2
а₃	0,1	0,4	0,4	0,3	0,25	0,300	0,1	0,28	0,1

Тип критерия для выбора рационального варианта выбирается на аналитической стадии рассмотрения сложных систем.

Дата добавления: 2021-04-05; просмотров: 116; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

Мы поможем в написании ваших работ!