Задания для самостоятельного решения
Делимость натуральных чисел.
НОД И НОК чисел. Разложение на множители.
Преобразования дробей.
Натуральные числа — это числа, которые используются для счета предметов — 1, 2, 3, 4 , … Но число 0 не является натуральным!
Множество натуральных чисел обозначают N. Запись «3 ∈ N » означает, что число три принадлежит множеству натуральных чисел, а запись «0 ∉ N » означает, что число нуль не принадлежит этому множеству.
Десятичная система счисления — позиционная система счисления по основанию 10.
Делимость натуральных чисел. Простые и составные числа.
Делителем натурального числа а называется натуральное число, на которое а делится без остатка. Число 1 является делителем любого натурального числа.
Натуральное число называется простым, если оно имеет только два делителя: единицу и само это число. Например, числа 2, 3, 11, 23 — простые числа.
Число, имеющее более двух делителей, называется составным. Например, числа 4, 8, 15, 27 — составные числа.
Признак делимости произведения нескольких чисел: если хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число. Произведение 24 • 15 • 77 делится на 12, поскольку множитель этого числа 24 делится на 12.
Признак делимости суммы (разности) чисел: если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и вся сумма делится на это число. Если а : b и c : b, то (а + c) : b. А если а : b, а c не делится на b, то a + c не делится на число b.
|
|
|
Если а : c и c : b, то а : b. Исходя из того, что 72 : 24 и 24 : 12, делаем вывод, что 72 : 12.
Представление числа в виде произведения степеней простых чисел называют разложением числа на простые множители.
| Простые и составные числа Все целые числа (кроме 0 и 1) имеют минимум два делителя: 1 и самого себя. Числа, не имеющие других делителей, называютсяпростыми числами. Числа, имеющие другие делители, называются составными (или сложными) числами. Простых чисел – бесконечное множество. Ниже приведены простые числа, не превосходящие 200: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199. Разложение на простые множители Всякое составное число может быть единственным образом представлено в виде произведения простых множителей. Например, 48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3, 225 = 3 · 3 · 5 · 5, 1050 = 2 · 3 · 5 · 5 · 7 . Для небольших чисел это разложение легко делается на основетаблицы умножения. Для больших чисел рекомендуем пользоваться следующим способом, который рассмотрим на конкретном примере. Разложим на простые множители число 1463. Для этого воспользуемся таблицей простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199. Перебираем числа по этой таблице и останавливаемся на том числе, которое является делителем данного числа. В нашем примере это 7. Делим 1463 на 7 и получаем 209. Теперь повторяем процесс перебора простых чисел для 209 и останавливаемся на числе 11, которое является его делителем (см. параграф "Признаки делимости"). Делим 209 на 11 и получаем 19, которое в соответствии с этой же таблицей является простым числом. Таким образом, имеем: 1463 = 7 ∙ 11 ∙ 19, т.е. простыми делителями числа 1463 являются 7, 11 и 19. Описанный процесс можно записать следующим образом: Делимое Делитель ---------------------------- 1463 7 209 11 19 19 ---------------------------- |
Признаки делимости
|
|
|
Отправлено 9 февр. 2015 г., 15:45 пользователем Ksenija Borska
| Признаки делимости Признаки делимости на 2, 4, 8, 3, 9, 6, 5, 25, 10, 100, 1000, 11. Признак делимости на 2. Число делится на 2, если его последняя цифра - ноль или делится на 2. Числа, делящиеся на два, называются чётными, не делящиеся на два – нечётными. Признак делимости на 4. Число делится на 4, если две егопоследние цифры - нули или образуют число, которое делится на 4. Признак делимости на 8. Число делится на 8, если три егопоследние цифры - нули или образуют число, которое делится на 8. Признаки делимости на 3 и 9. Число делится на 3, если егосумма цифр делится на 3. Число делится на 9, если его сумма цифр делится на 9. Признак делимости на 6. Число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3. Признак делимости на 5. Число делится на 5, если его последняя цифра - ноль или 5. Признак делимости на 25. Число делится на 25, если две егопоследние цифры - нули или образуют число, которое делится на 25. Признак делимости на 10. Число делится на 10, если егопоследняя цифра - ноль. Признак делимости на 100. Число делится на 100, если две егопоследние цифры – нули. Признак делимости на 1000. Число делится на 1000, если триего последние цифры – нули. Признак делимости на 11. На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр, стоящих на нечётных местах, либо равна сумме цифр, стоящих на чётных местах, либо отличается от неё на число, делящееся на 11. Существуют признаки делимости и для некоторых других чисел, однако они более сложные и в программе средней школы не рассматриваются. П р и м е р . Число 378015 делится на 3, так как сумма его цифр равна: 3 + 7 + 8 + 0 + 1 + 5 = 24, а это число делится на 3. Данное число делится на 5, так как его последняя цифра 5.Наконец, это число делится на 11, так как суммы его нечётных цифр: 3 + 8 + 1 = 12 и чётных цифр 7 + 0 + 5 = 12 равны. Но это число не делится на 2, 4, 6, 8, 9, 10, 25, 100 и 1000, так как … |
|
|
|
|
|
|
Наименьшее общее кратное
Общее кратное. Наименьшее общее кратное.
Общим кратным нескольких чисел называется число, котороеделится на каждое из этих чисел. Например, числа 9, 18 и 45 имеют общее кратное 180. Но 90 и 360 – тоже их общие кратные.Среди всех общих кратных всегда есть наименьшее, в данномслучае это 90. Это число называется наименьшим общимкратным (НОК).
Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) нескольких чисел надо:
1) представить каждое число как произведение его простых множителей, например:
504 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7 ,
2) записать степени всех простых множителей:
504 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7 = 23 · 32 · 71,
3) выписать все простые делители (множители) каждого из этих чисел;
4) выбрать наибольшую степень каждого из них, встретившуюся во всех разложениях этих чисел;
5) перемножить эти степени.
П р и м е р . Найти НОК чисел: 168, 180 и 3024.
Р е ш е н и е . 168 = 2 · 2 · 2 · 3 · 7 = 23 · 31 · 71 ,
180 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 22 · 32 · 51 ,
3024 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 7 = 24 · 33 · 71.
Выписываем наибольшие степени всех простых делителей
и перемножаем их:
НОК = 24 · 33 · 51 · 71 = 15120 .
Наибольший общий делитель
Общий делитель. Наибольший общий делитель.
Общим делителем нескольких чисел называется число, котороеявляется делите-лем каждого из них. Например, числа 36, 60, 42 имеют общие делители 2, 3 и 6. Среди всех общих делителей всегда есть наибольший, в данном случае это 6. Это и естьнаибольший общий делитель (НОД).
Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) нескольких чисел надо:
1) представить каждое число как произведение его простых множителей, например:
360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 ,
2) записать степени всех простых множителей:
360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 23 · 32 · 51,
3) выписать все общие делители (множители) этих чисел;
4) выбрать наименьшую степень каждого из них, встретившуюся во всех произведениях;
5) перемножить эти степени.
П р и м е р . Найти НОД чисел: 168, 180 и 3024.
Р е ш е н и е . 168 = 2 · 2 · 2 · 3 · 7 = 23 · 31 · 71 ,
180 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 22 · 32 · 51 ,
3024 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 7 = 24 · 33 · 71.
Выпишем наименьшие степени общих делителей 2 и 3
и перемножим их:
НОД = 22 · 31 = 12 .
Задания для самостоятельного решения
Задание 1. Найдите НОД чисел 12 и 16
Задание 2. Найдите НОК чисел 12 и 16
Задание 3. Найдите НОД чисел 40 и 32
Задание 4. Найдите НОК чисел 40 и 32
Задание 5. Найдите НОД чисел 54 и 86
Задание 6. Найдите НОК чисел 54 и 86
Задание 7. Найдите НОД чисел 98 и 35
Задание 8. Найдите НОК чисел 98 и 35
Задание 9. Найдите НОД чисел 112 и 82
Задание 10. Найдите НОК чисел 112 и 82
Задание 11. Найдите НОД чисел 24, 48, 64
Задание 12. Найдите НОК чисел 24, 48, 64
Задание 13. Найдите НОД чисел 18, 48, 96
Задание 14. Найдите НОК чисел 18, 48, 96
Задание 15. Найдите НОД чисел 28, 24, 76
Задание 16. Найдите НОК чисел 28, 24, 76
| Самостоятельная работа | |
| 1. Какие из чисел делятся на 3: 1335, 167, 432, 893, 309, 642? Какие из чисел делятся на 5: 1235, 340, 7650, 1234, 7653, 9090? | 1.2 Какие из чисел делятся на 9: 342, 690, 108, 4320, 9369, 1207? Какие из чисел делятся на 2: 1209, 4568, 1230, 90576, 3452, 9621? |
| 2.1 Разложите на простые множители: 280, 990, 1080, 408, 92 | 2.2 Разложите на простые множители: 406, 360, 1470, 495, 182 |
| 3.1 Найдите НОД (128; 80), НОД (28, 55), НОД (120, 15) | 3.2 Найдите НОД (340; 51), НОД (66, 35), НОД (150, 30) |
| 4.1 Найдите НОК (25; 60), НОК (14, 165), НОК (180, 12) | 4.2 Найдите НОК (35, 80), НОК (16, 225), НОК (220, 11) |
| 5.1 Являются ли числа взаимно простыми? А) 18 и 275 б) 51 и 153 в) 21 и 22 | 5.2 Являются ли числа взаимно простыми? А) 16 и 147 б) 48 и 80 в) 33 и 34 |
| 6.1 Какую цифру можно поставить вместо *, чтобы полученное число делилось на 3, но не делилось на 2? 61* Какую цифру можно поставить вместо *, чтобы полученное число делилось на 9? 7234*045 | 6.2 Какую цифру можно поставить вместо *, чтобы полученное число делилось на 5, но не делилось на 3? 36* Какую цифру можно поставить вместо *, чтобы полученное число делилось на 9? 6784*532 |
| 7.1 Некто записал шестизначное число, делящееся на 3. Затем переставил несколько цифр и получил новое число. Делится ли оно на 3? Почему? | 7.2 Некто записал шестизначное число, делящееся на 9. Затем переставил несколько цифр и получил новое число. Делится ли оно на 9? Почему? |
| 2. Какие из чисел делятся на 3: 1335, 167, 432, 893, 309, 642? Какие из чисел делятся на 5: 1235, 340, 7650, 1234, 7653, 9090? | 1.2 Какие из чисел делятся на 9: 342, 690, 108, 4320, 9369, 1207? Какие из чисел делятся на 2: 1209, 4568, 1230, 90576, 3452, 9621? |
| 2.1 Разложите на простые множители: 280, 990, 1080, 408, 92 | 2.2 Разложите на простые множители: 406, 360, 1470, 495, 182 |
| 3.1 Найдите НОД (128; 80), НОД (28, 55), НОД (120, 15) | 3.2 Найдите НОД (340; 51), НОД (66, 35), НОД (150, 30) |
| 4.1 Найдите НОК (25; 60), НОК (14, 165), НОК (180, 12) | 4.2 Найдите НОК (35, 80), НОК (16, 225), НОК (220, 11) |
| 5.1 Являются ли числа взаимно простыми? А) 18 и 275 б) 51 и 153 в) 21 и 22 | 5.2 Являются ли числа взаимно простыми? А) 16 и 147 б) 48 и 80 в) 33 и 34 |
| 6.1 Какую цифру можно поставить вместо *, чтобы полученное число делилось на 3, но не делилось на 2? 61* Какую цифру можно поставить вместо *, чтобы полученное число делилось на 9? 7234*045 | 6.2 Какую цифру можно поставить вместо *, чтобы полученное число делилось на 5, но не делилось на 3? 36* Какую цифру можно поставить вместо *, чтобы полученное число делилось на 9? 6784*532 |
| 7.1 Некто записал шестизначное число, делящееся на 3. Затем переставил несколько цифр и получил новое число. Делится ли оно на 3? Почему? | 7.2 Некто записал шестизначное число, делящееся на 9. Затем переставил несколько цифр и получил новое число. Делится ли оно на 9? Почему? |
Дата добавления: 2021-04-24; просмотров: 198; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!