Полезное следствие. Отрезки касательных, проведённых из одной точки – равны. (В данном случае эти отрезки – BA и BC)

Разбор тестовых задач по алгебре

Тест №1

Квадратичная функция: y=ax²+bx+c

Сделали почти всё, кроме примеров 3 и 5

Координаты вершины параболы находятся по формуле на стр. 243:

x₀=-b/2a, y₀=y(x₀)=c-b²/4a (1)

3) y=-x²+x+1

a=-1, b=1, c=1 => x₀=-b/2a=-1/(-2)=1/2=0,5, y₀=y(x₀)=-(1/2)²+1/2+1=-3/4=-0,75

Ответ: (0,5; -0,75)

5) График пересекается с осью абсцисс, если y =0 (2)

-x²+4x+5=0 => x₁=5, x₂=-1; ответ: (5; 0), (-1; 0)

4) График пересекается с осью ординат, если x =0 (3)

y=y(0)=-0²+8 0+6=6;

Ответ: (0; 6)

Тест №2

1)см . (1): x₀=-b/2a=-8/(-10)=0,8; y₀=y(0,8)=-5(0,8)²+8(0,8)+17= 20,2

Ответ: (0,8; 20,2)

2) x₀=-b/2a=0, y₀=y(0)=-6,82; ответ: (0; -6,82)

6) y=(x-2)(x+4)=x²+2x-8; x₀=-2/2=-1, y₀=y(-1)=-9; ответ: (-1; -9)

4) см. (2), (3): решаем уравнение y=x²-16=0,

x₁=4, x₂=-4, значит координаты пересечения с осью абсцисс: (4; 0),

(-4; 0);

чтобы найти координаты пересечения с осью ординат, подставляем x=0 в выражение для y: y(0)=-16; значит координаты пересечения: (0; -16)

Ответ: (4; 0), (-4; 0), (0; -16)

5) 7x²+5x=0 x₁=0, x₂=-5/7; y(0)=0;

одна из точек пересечения с осью абсцисс совпадает с точкой пересечения с осью ординат, а именно (0, 0);

Ответ: (0; 0), (-5/7; 0)

7) Если в уравнении функции y = ax ² + bx + c a >0, то функция имеет наименьшее значение и принимает его, когда парабола достигает вершины, при x =- b /2 a . Это значение равно: y = y (- b /2 a )= c - b ² /4 a .

Если же a <0, то при x =- b /2 a функция принимает наибольшее значение: y = y (- b /2 a ).

Иными словами, и наибольшее и наименьшее значения, если они существуют, совпадают с ординатой вершины параболы: y = y (- b /2 a )

(Стр. 250, параграф 39)

(4)

Когда я давал пример, то думал, что это будет вам очевидно из вида параболы.

y=x²+4x+7; a=1>0 => существует наименьшее значение функции

-b/2a=-4/2=-2, y(-2)=(-2)²+4(-2)+7=3

Ответ: y=3

Тест №3

3) –b/2a=-4/(-2)=2; y(-2)=3; ответ: (2; 3)

4) a=1>0, значит функция принимает наименьшее значение при x=-b/2a=-(-3)/2=3/2

5) a=-5<0, значит функция принимает наибольшее значение при x=-b/2a=-13/(-10)=13/10

Тест №4

Ось симметрии графика функции проходит через ту точку оси абсцисс, в которой парабола достигает вершины: x =- b /2 a

(5)

1) x=-b/2a=8/2=4

2) x=-b/2a=3/10

Из вида графика функции, то есть параболы, очевидно, что при a >0, значения функции отрицательны, когда x ₁ < x < x ₂ . Здесь x ₁ , x ₂ корни уравнения y = ax ² + bx + c =0.

(6)

4) y=x²-8x+15=0 x₁=3, x₂=5 => 3<x<5

5) a>0 => функция принимает наименьшее значение

при x=-b/2a=-16/2=-8

Тест №5

Из вида графика очевидно, что при a >0, функция y = ax ² + bx + c убывает, когда x <= b /2 a (то есть слева от вершины параболы) и возрастает, когда x >- b /2 a (справа от вершины параболы).

Если a <0, то функция возрастает, когда x <- b /2 a и убывает, когда x >- b /2 a

(7)

1) a=1>0, –b/2a=4/2=2 =>функция возрастает при x>2.

Промежутки, удовлетворяющие этому условию: (2; 3), (3; 4)

2) a=-1<0, -b/2a=(-6)/(-2)=3 =>функция возрастает при x<3

Ответ: (-10; 0), (0; 1), (1; 3)

Чтобы найти координаты пересечения графиков функций, надо приравнять функции и решить полученное уравнение.

(8)

4) x²+5x=x-3; x₁=-1, x₂=-3, y(-1)=-4, y(-3)=-6

Ответ: (-1; -4), (-3; -6)

Тест №6

График функции y = a ( x + d )²+ c получается из графика y = ax ² + c сдвигом вправо, если d <0 и влево, если d >0. Прибавление числа c к функции сдвигает график вверх, если c >0 и вниз, если c <0.

Сделайте к концу следующей недели тест самостоятельно и доделайте неразобранные задачи из предыдущих тестов.

Геометрия

Тест №1

Радиус, проведённый в точку касания перпендикулярен касательной. (1)

Хуже всего сделали 1, 6, 8, 9

1)Прямоугольные треугольники OBC и OBA равны по общей стороне OB и катетам OA и OC, равным радиусу. Значит, OB – биссектриса углов ABC и AOC. Угол OBA=(90-120/2) =30 => OB=2(OA)=32

Полезное следствие. Отрезки касательных, проведённых из одной точки – равны. (В данном случае эти отрезки – BA и BC)

(2)

6)OB= , как гипотенуза равнобедренного треугольника

8) Радиус, проведённый в точку касания, назовём его OM – высота и медиана равнобедренного треугольника AOB. По теореме Пифагора AM²=13²-5²=12² => AM=12 => AB=24

9) Отрезки касательных равны (2) => KB=MB=5, CK=CP=7, PA=AM.

P=32=2(AP)+5+5+7+7 => AP=4 => AC=7+4=11

Тест №2

7) Минимальный радиус равен расстоянию от вершины прямого угла до гипотенузы, то есть высоте, опущенной на гипотенузу. Она равна произведению катетов, делённому на гипотенузу. Второй катет находим по теореме Пифагора, он равен 12.

6) Отрезки касательных равны (NK=MK); KO – биссектрисса угла NKM (зад.1 из теста 1) => NKM=60 , значит треугольник NKM равносторонний и NM=15.

5) Угол AMB равен удвоенному углу OMB, а угол OMB =30 , так как против него лежит катет OB, в два раза меньший гипотенузы OM. Ответ: 60 .

4) Воспользуйтесь тем, что треугольник ABO равносторонний, а угол OAC – прямой.

3) Пусть K – точка касания окружности прямой MN. Тогда AM=MK, KN=NB (как отрезки касательных) => MN=4+1=5. MA параллелен NB, так как они перпендикулярны диаметру AB. Найдите диаметр, как неизвестную сторону прямоугольной трапеции AMNB.

2) Задача – следствие задачи 1 из теста 1. (Очевидно, что углы AMB и AOB в сумме равны 180 .)

1) На теоретические вопросы всегда можно найти ответ в учебнике.

Тест №3 – теоретический.

Тест №4

2) Воспользуйтесь тем, что треугольник AOB – равносторонний.

3) Центральный угол в два раза больше вписанного. Доделайте самостоятельно.

4) По теореме о пересекающихся хордах (стр. 173) AE EB=ED CE

5) Докажите, что угол BEC равен сумме вписанных углов, опирающихся на дуги AD и BC (например, сумме углов ABD и BDC), то есть равен полусумме этих дуг.

Дата добавления: 2021-04-23; просмотров: 54; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

Мы поможем в написании ваших работ!