Плоские электромагнитные волны и их свойства
Глава 7. Электромагнитное поле
Уравнения Максвелла
В 1865 году Максвелл, основываясь на идеях Фарадея об электрическом и магнитном полях, обобщил законы, установленные экспериментальным путем, и разработал законченную теорию единого электромагнитного поля, создаваемого произвольной системой зарядов и токов.
Теория Максвелла представляет собой феноменологическую теорию электромагнитного поля. Это означает, что внутренний механизм явлений, происходящих в среде и вызывающих появление электрических и магнитных полей, в теории не рассматривается.
Теория Максвелла является макроскопической теорией электромагнитного поля, создаваемого макроскопическими зарядами и токами.
Электромагнитное поле – совокупность двух взаимосвязанных полей – электрического и магнитного.
Электромагнитное поле описывают следующими векторами:
(напряжённость электрического поля);
(электрическая индукция (электрическое смещение));
(магнитная индукция);
(напряжённость магнитного поля).
Уравнения Максвелла содержат 4 уравнения в интегральной форме, 4 уравнения в дифференциальной форме и 3 уравнения связи (материальные уравнения).
Уравнения Максвелла нельзя строго вывести или доказать, поэтому они являются обобщениями уже известных законов.
Запишем уравнения Максвелла в интегральной форме.
Первое уравнение .
Первое уравнение Максвелла является обобщением закона электромагнитной индукции Фарадея для .
|
|
|
Как было показано в 
6.2,
.
Магнитный поток 
.
Считая поверхность интегрирования 
- неподвижной и, учтя, что , получим
.
Тогда первое уравнение Максвелла можно записать в виде
, (7.1)
где 
любой замкнутый контур, мысленно выбранный в переменном магнитном поле; 
поверхность, ограниченная контуром 
; 
переменное во времени магнитное поле.
Из уравнения (7.1) можно сделать вывод: изменяющееся во времени магнитное поле порождает вихревое электрическое поле.
Второе уравнение:
Второе уравнение является обобщением закона полного тока.
Максвелл предположил, что переменное электрическое поле, также как электрический ток, является источником магнитного поля. Он ввел новое понятие 
ток смещения, следующим образом:
По теореме Гаусса для вектора 
,
где 
сторонние заряды.
Продифференцируем это выражение по времени
.
С учетом, что 
, и считая поверхность интегрирования 
неподвижной
.
Правая часть этого уравнения имеет размерность силы тока, тогда и левая часть должна ее иметь.
Используя формулу 
, Максвелл предположил, что 
имеет размерность плотности тока. Поэтому он предложил назвать 
плотностью тока смещения:
|
|
|
.
Тогда 
.
Введя представление о токе смещения, Максвелл поменял имеющиеся на тот момент представления о цепях переменного тока. Цепи постоянного тока должны быть замкнутыми, но для цепей переменного тока это условие считалось необязательным. Предполагалось, что при зарядке и разрядке конденсатора электрический ток проходит по проводнику, соединяющему обкладки конденсатора, и не проходит через диэлектрик, находящийся между обкладками, т.е. цепь не замкнута. Максвелл же доказал, что ток смещения как раз и проходит через диэлектрик, обеспечивая замкнутость таких цепей. Таким образом, линии переменного тока всюду замкнуты, также, как и линии постоянного тока.
В общем случае ток проводимости и ток смещения не разделены в пространстве. Все типы токов существуют в одном и том же объеме и тогда можно говорить о полном токе, равном сумме тока проводимости и тока смещения.
.
где 
– плотность тока проводимости; 
сила тока проводимости.
Обобщив для 
и, используя теорему о циркуляции 
Максвелл получил второе уравнение:
. (7.2)
Из уравнения (7.2) можно сделать вывод: ток проводимости и, изменяющееся во времени электрическое поле, порождают магнитное поле.
|
|
|
Третье уравнение.
Третье уравнение Максвелла обобщает теорему Гаусса для поля вектора 
. (7.3)
Из (7.3) можно сделать вывод: источником вектора электрического смещения 
являются сторонние заряды.
Четвёртое уравнение.
Четвертое уравнение обобщает теорему Гаусса для поля вектора магнитной индукции 
:
(7.4)
Из (7.4) можно сделать вывод: в природе отсутствуют однополюсные магнитные заряды (монополи).
Используя теоремы Стокса и Остроградского-Гаусса, из уравнений Максвелла в интегральной форме можно перейти к уравнениям Максвелла в дифференциальной форме, которые более удобны для описания электромагнитного поля:
(1) 
(2) 
(7.5)
(3) 
|
|
|
(4) 
Систему уравнений Максвелла необходимо дополнить материальными уравнениями, характеризующими электрические и магнитные свойства среды.
Для изотропных сред, не содержащих сегнетоэлектриков и ферромагнетиков
(7.6)
где 
– удельная электрическая проводимость; 
– диэлектрическая проницаемость среды; 
– магнитная проницаемость среды; 
напряженность поля сторонних сил.
Представим уравнения (1)-(4) через оператор 
:
(1) 
;
(2) 
; (7.7)
(3) 
;
(4) 
.
Уравнения Максвелла в дифференциальной форме с уравнением движения заряженных частиц под действием силы Лоренца 
, составляют фундаментальную систему уравнений, которая, в принципе достаточна, для описания всех электромагнитных явлений, в которых не проявляются квантовые эффекты.
Дальнейшим развитием теории электромагнитного поля Максвелла явилась электронная теория, созданная Лоренцем.
Свойства уравнений Максвелла
1. Уравнения Максвелла – линейны (содержат первые производные векторов 
и первые степени 
. Свойство линейности связано с принципом суперпозиции полей.
2. Уравнения Максвелла содержат уравнение непрерывности, выражающее закон сохранения электрического заряда 
.
Покажем это. Запишем 2 уравнение Максвелла через оператор .
. Возьмем 
от левой и правой частей уравнения:
. Учитывая, что 
, получим
.
3. Уравнения Максвелла инвариантны относительно преобразований Лоренца: их вид не меняется при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, хотя в них преобразуются по определенным правилам.
4. Уравнения Максвелла не симметричны относительно электрических и магнитных полей (существуют электрические заряды, но нет магнитных зарядов). Для нейтральной однородной непроводящей среды 
, они симметричны (за исключением знака).
(левовинтовая система),
(правовинтовая система).
5. Из уравнений Максвелла вытекает существования электромагнитных волн – переменного электромагнитного поля, распространяющегося в пространстве с конечной скоростью.
Электромагнитные волны
Докажем, что из уравнений Максвелла вытекает существование электромагнитных волн.
Рассмотрим среду с( 
).
Перепишем уравнения Максвелла для векторов 
:
(1) 
(2) 
(7.8)
(3) 
(4) 
,
Возьмем 
от правой и левой частей (1):
. (7.9)
Воспользуемся следующим тождеством:
.
Тогда с учетом перестановочности операций 
перепишем (7.9)
,
так как 
, получим
. (7.10)
Введем величину с размерностью скорости 
, обозначим
. (7.11)
Тогда (7.10), с учетом (7.11)
, (7.12)
где 
оператор Лапласа.
Аналогичным образом можно поступить с уравнением (2) из системы (7.8) и прийти к уравнению: 
, а потом к
. (7.13)
Уравнения (7.12) и (7.13) представляют собой волновые уравнения, типа:
Функция 
, удовлетворяющая этому уравнению, описывает некоторую волну, распространяющуюся в пространстве со скоростью 
, т.е. решением волнового уравнения является бегущая гармоническая или плоская волна.
Таким образом, вектора 
и 
описывают волновой процесс, распространяющийся в пространстве со скоростью 
(7.14)
Скорость также можно выразить по-другому:
(7.15)
где 
скорость электромагнитных волн в вакууме;
- абсолютный показатель преломления среды.
Для вакуума 
, так как 
( 
)
Таким образом, электромагнитное поле вне источников имеет вид бегущей электромагнитной волны, распространяющейся в пространстве со скоростью, определяемой равенством (7.15).
Максвелл предсказал существование электромагнитных волн в 1865 г., а
открыты электромагнитные волны были Герцем в 1888 г, который подтвердил экспериментально теорию Максвелла.
Плоские электромагнитные волны и их свойства
1) электромагнитные волны – поперечные. Векторы 
и 
лежат в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны, т.е. 
причем 
.
1) 2) векторы 
, 
и 
образуют правую тройку векторов;
3) в случае плоской монохроматической волны ( 
), распространяющейся в направлении оси 
, проекции векторов 
и 
на оси координат совершают гармонические колебания одинаковой частоты, равной частоте волны 
(7.16)
где 
, 
– начальные фазы.
Волны, описываемые уравнениями (7.16), удовлетворяют волновым уравнениям (7.12) и (7.13);
4) векторы 
и 
всегда колеблются в одинаковых фазах, т.е. векторы 
и 
одновременно обращаются в нуль, и их модули одновременно достигают максимальных значений. Математически это означает, что в уравнениях (7.16) 
.
Мгновенные значения 
и 
связаны соотношением:
. (7.17)
5) электромагнитная волна обладает импульсом и переносит энергию вдоль направления своего распространения.
Плотность потока электромагнитной энергии определяется по формуле
. (7.18)
Вектор 
называют вектором Пойнтинга.
Вектор 
направлен в сторону распространения электромагнитной волны, а его модуль равен энергии, переносимой электромагнитной волной за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны.
Дата добавления: 2021-04-15; просмотров: 273; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!