Недопустимые значение переменных
Почему деление на ноль не определено?
0 был введен как часть большого механизма под названием целые числа для обозначения отсутствия чего-то. 0 облегчает счет и запись чисел, но нулевого количества нет, на него не укажешь пальцем, поэтому сказать, сколько 0 содержится в другом числе нельзя.
Разделить 3 на 0 означает сказать, сколько раз в 3 ничего нет. Ответить на вопрос, сколько в гараже квадратных метров можно, но ответить, сколько в нем пустоты, – нет.
Если бы был придуман какой-то смысл для выражения 
, то это противоречило бы некоторым известным свойствам и определениям, например свойствам умножения, поэтому деление на 0 не определяют.
Можно все же попробовать разделить 3 на 0. Деление – это действие, обратное умножению, т.е. 
, если 
.
Но при умножении на 0 всегда получается 0, т.е. такого 
просто не существует.
Рассмотрим случай деления 0 на 0, чтобы не возникало ощущения, что он – особый и отличается от деления 3 на 0. 
Равенство будет справедливым для любого , потому что 
Но результат деления должен быть конкретным числом. Снова получаем противоречие.
Поэтому деление на 0 в математике не определено.
Недопустимые значения переменных
Подставить в алгебраическое выражение можно любое число, но не всегда получится посчитать его значение.
Определение: такие значения переменной, при которых выражение не определено (нельзя вычислить его значение), называют недопустимыми значениями.
|
|
|
На данный момент мы знакомы только с одним таким случаем. Например, если в выражении есть дробь 
или деление 
, то мы не будем подставлять в выражение такие значения переменной, при которых знаменатель обращается в 0: 
.
Есть и другие случаи появления недопустимых значений переменных, но о них мы узнаем позже, по мере изучения различных функций.
Рассмотрим примеры на определение недопустимых значений переменных в выражениях.
Пример 1. Определить недопустимые значения переменной 
в выражении 
.
Решение. Выражение представляет собой дробь, поэтому её знаменатель не может обращаться в 0: 
.
Таким образом, недопустимым значением переменной является 0, т.е. выражение определено для любых 
.
Ответ: 0.
Пример 2. Определить недопустимые значения переменной 
в выражении 
.
Решение. Выражение представляет собой дробь, поэтому её знаменатель 
не может обращаться в 0: 
.
Таким образом, недопустимым значением переменной является 5, т.е. выражение определено для любых 
.
Ответ: 5.
Где еще можно встретить деление на ноль?
Докажем, что 
. Введем переменные 
, пусть 
.
Запишем:
Получим равенство:
Перегруппируем слагаемые и получим:
|
|
|
Вынесем общий множитель за скобки в каждой из частей равенства:
Разделим обе части равенства на 
и получим:
Получили, что . В чём подвох? Дело в том, что в наше «доказательство» вкралась ошибка: было выполнено деление на 0 при делении обеих частей равенства на выражение (по предположению эти числа равны: ).
Это пример математического софизма – утверждения с доказательством, в котором кроются ошибки. Софизмы бывают не только математическими, например, фраза «Ты не терял то, что у тебя есть. Ты не терял рога и хвост. Значит, у тебя есть рога и хвост» содержит логическую ошибку: из первой фразы не следует, что у тебя есть всё, что ты не терял.
Действия с числовыми выражениями
Мы уже сталкивались с эквивалентными выражениями, когда приводили дроби к общему знаменателю. Мы записывали цепочки эквивалентных дробей и выбирали из них те, у которых одинаковый знаменатель:
и 
Например, в данном случае это будут дроби: 
.
Эквивалентные выражения можно заменять друг другом, от этого смысл и значение записи не изменится.
Например, пусть есть выражение 
. Можно выполнить умножение и получить выражение 
. Оба эти числовых выражения равны, эквивалентны.
|
|
|
Если же выполнить все действия в каком-то числовом выражении, то получится его значение: 
, т.е. 
– значение числового выражения 
. Выполнив все действия, мы упростили числовое выражение.
Действия с алгебраическими выражениями
Алгебраические выражения могут быть записаны по-разному, но означать одно и то же, например: 
и 
.
Можно ли сказать, что выражение упрощено? Обычно под упрощением подразумевают эквивалентную запись в таком виде, чтобы для вычисления значения выражения нужно было выполнить как можно меньше действий.
Например, чтобы вычислить значение выражения 
при заданном значении переменной необходимо выполнить 3 действия, а для выражения – одно действие. Конечно, разница в 2 действия невелика, но, если бы такую операцию нужно было бы проделать 50 раз, тогда разница была бы уже в целых 100 действий.
Задача 2. Докажите, что выражение 
эквивалентно выражению 
.
Доказательство
Дважды воспользуемся распределительным законом 
:
Задача 3. Упростите выражение: 
.
Решение. Воспользуемся формулой разности квадратов 
:
Ответ: 
.
Сравним количество действий, которое необходимо сделать, чтобы вычислить первое выражение и второе. В первом случае нужно было выполнить 5 действий, а во втором – только 1. В таких случаях говорят, что мы упростили алгебраическое выражение.
|
|
|
Недопустимые значение переменных
Найдем недопустимые значения переменных для выражения: 
.
Знаменатель дроби содержит переменные, определим, когда он обратится в 0:
Т.е. недопустимыми значениями переменных будут противоположные значения. Например, если 
, то 
.
Эквивалетность выражений
Выражения и не являются эквивалентными для любых и , т.к. первое выражение не определено, когда 
, а второе выражение определено при любых значениях переменных и .
Т.е. эти выражения будут эквивалентными только для таких и , которые не являются противоположными числами.
Примеры упрощения алгебраических выражений
Задача 4. Упростите выражение: 
.
Решение. Воспользуемся распределительным законом, чтобы раскрыть обе скобки:
Ответ: 
.
Задача 5. Упростите выражение: 
.
Решение: воспользуемся распределительным законом, чтобы раскрыть внутренние скобки, затем упростим полученное в скобках выражение и снова применим распределительный закон:
Ответ: 
.
Дата добавления: 2021-04-15; просмотров: 220; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!