Алгоритм решения дифференциального уравнения с разделяющимися переменными

1) Выразить производную функции через дифференциалы и

2) Члены с одинаковыми дифференциалами перенести в одну сторону равенства и вынести дифференциал за скобку. ( ) d __ = ( ) d ___

3) Разделить переменные. ( f( ____) ) d __ = ( f( ____) ) d ___

4) Проинтегрировать обе части равенства и найти общее решение.

5) Если заданы начальные условия, то найти частное решение.

2.3.4 Выберите дифференциальное уравнение, полученное в результате разделения переменных :

А) ; Б) ; В) .

Ответ: __________

2.3.5 Дано дифференциальное уравнение: . Тогда его общее решение имеет вид:

А) ; Б) ; В) .

Ответ: __________

2.3.6 Функция является общим решение некоторого дифференциального уравнения, тогда при частное решение имеет вид

А) Б)

В) Г)

Ответ: __________

2.3.7 Дифференциальное уравнение первого порядка вида:

___________________________

называется однородным, если

2.3.8 Однородное дифференциальное уравнение приводится к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными

подстановкой ___ y = _______________________

тогда ___ y ‘ = _________________________ , _____ ____

2.3.9 Дифференциальное уравнение первого порядка вида:

_________________________________ ,

где и – функции переменной x или постоянные величины, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка, если искомая функция и ее производная входят в это уравнение в первой степени.

2.3.10 Заполните пропуски

Алгоритм решения линейного дифференциального уравнения первого порядка

1 Привести уравнение к виду .

2 Используя подстановку , найти и подставить эти выражения в уравнения.

3 Сгру ппировать члены уравнения и вынести из второго и третьего слагаемых функцию за скобки.

4 Найти функцию , приравняв выражение в скобках к ________ и решив полученное уравнение. При нахождении функции постоянная считается равной нулю.

5 Подставить найденную функцию в оставшееся выражение и найти вторую функцию.

6 Записать общее решение, подставив выражения для найденных функций и в равенство .

7 Если требуется найти частное решение, то определить С из начальных условий и подставить в общее решение.

К работе допускается ______________

3. Результаты работы

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 15

Решение дифференциальных уравнений второго порядка

4. Цель работы

1.1 Научиться решать дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.

1.2 Научиться решать линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

1.3 Научиться применять дифференциальные уравнения к решению физических задач

5. Ход работы

2.1 Вариант

Найдите общее решение дифференциального уравнения:

1) _____________________________________________

2) ______________________________________________

Найдите частное решение дифференциального уравнения:

3) ______________________________________________

______________________________________________

4) _______________________________________________________________________________

Найдите закон движения точки:

5) _______________________________________________________________________________

6)________________________________________________________________________________

2.2 Допуск к работе

2.2.1 Решите уравнение

2.2.2 Вычислите

2.2.3 Продолжите равенства: a) ln 5 + ln 4 = ln 5∙4 = ln _____

б) ln(x+3) + lnC = _____________________

в) ln 12 = b ↔ 12 = e ^b

г) ln z = 5x + 8 ↔ z =

д)

е)

2.2.4 Заполните таблицу:

Дифференциаль- ное уравнение
Характеристичес- кое уравнение
Дискриминант
Корни характеристичес-кого уравнения
Общее решение дифференциаль- ного уравнения

К работе допускается ______________

6. Результаты работы

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 16

Применение дифференциальных уравнений для решения прикладных задач

1. Цель работы

1.1 Научиться применять дифференциальные уравнения для решения прикладных задач

2. Ход работы

2.1 Вариант

1) Для некоторой компьютерной фирмы функция маржинальной выручки от продажи своей продукции имеет видMR = . Здесь MR – маржинальная выручка фирмы, аq – объем продукции. Маржинальная выручка представляет собой производную от общей выручки, причем выручка равна нулю при нулевом уровне продаж. Найти функцию общей выручки. Используя полученную функцию определить:

а) общую выручку, если объём продукции q = штук.

б) объём продукции, который принесёт выручку тысяч рублей.

2) Скорость обесценивания оборудования вследствие его износа пропорциональна в каждый момент времени его фактической стоимости. Начальная стоимость равна тыс.руб, стоимость его через год составила тыс. руб. Запишите формулу для вычисления стоимости оборудования. Используя полученную формулу определить:

а) какова будет стоимость оборудования через года;

б) через сколько лет стоимость оборудования составит тыс. рублей.

3) Сумма тыс. руб. положена в сберегательную кассу на % в год. Найти закон изменения суммы при условии, что приращение начисляется непрерывно и скорость приращения вклада прямо пропорциональна первоначальной величине вклада. Используя полученный закон определить:

а) величину вклада через года;

б) через сколько лет величина вклада составит тыс. рублей.

4) Цена на планшеты некоторой фирмы составляет 13 тыс. рублей. Спрос s и предложение q определены соотношениями: q = p’ + p + , s = 2p’+ p + , где p’ – тенденция формирования цены (производная цены по времени). Определите формулу, по которой должна изменятся цена, чтобы спрос соответствовал предложению. Используя полученную формулу определить:

а) цену планшета через месяца;

б) через сколько месяцев цена планшета будет тыс. рублей.

5) В магазине компьютерной техники начали продажу новой модели смартфона, ежедневно продавали по смартфона. Анализ рынка показал, что можно продавать по

смартфонов в день. Через 1 месяц после начала рекламной компании стали продавать по смартфонов в день. Считая скорость роста продажи смартфонов пропорциональной разности между предельным значением объёма продаж (насыщенным спросом) и её текущим значением, записать закон изменения количества ежедневно продаваемых смартфонов от времени, прошедшего с начала рекламной компании. Используя полученный закон определить:

а) объём продаж через месяца после начала рекламной компании

б) через сколько месяцев после начала рекламной компании объём продаж составит

смартфонов.

2.2 Допуск к работе

2.2.1 Известно, что S = C∙e ^kt и при t = 0 S = 14. Найдите С

__________________________________________________________________________________

2.2.2 Известно, что S = 14∙e ^kt и при t = 1 S = 28. Найдите e ^k

__________________________________________________________________________________

2.2.3 Известно, что сумма в 300 тыс. рублей положена под 7% годовых. Найдите сумму вклада через год

__________________________________________________________________________________

2.2.4 Известно, что -ln(6-p) = t + C выразите р

__________________________________________________________________________________

2.2.5 Известно, что Р = 7 + 14∙e ^kt и при t = 1 Р = 49. Найдите e ^k

__________________________________________________________________________________

2.2.6 Известно, что р = 40 - C∙e ^-^kt и при t = 0 р = 50. Найдите С

__________________________________________________________________________________

2.2.7 Известно, что р = 40 - 3∙e ^-^kt и при t = 1 р = 70. Найдите e ^k

__________________________________________________________________________________

2.2.8 Из условия : «Скорость обесценивания оборудования вследствие его износа пропорциональна в каждый момент времени его фактической стоимости.» , получим:

__________S’ = S _______________________________

2.2.9 Из условия : «Скорость приращения вклада прямо пропорциональна первоначальной величине вклада» , получим :

__________ ’ = k _________________________

2.2.10 Из условия: «Считая скорость роста продажи смартфонов пропорциональной разности между предельным значением объёма продаж (насыщенным спросом равным 200 ) и её текущим значением» , получим

__________ p’ = ( -p) ∙ k ________________

К работе допускается ______________

3. Результаты работы

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 17

Решение дифференциальных уравнений в Mathcad

1. Цель работы

Научиться находить с помощью пакета MathCAD общие и частные решения дифференциальных уравнений первого и второго порядка, используя правила решения дифференциальных уравнений и встроенные функции пакета MathCAD.

2. Оборудование

Пакет программ MathCAD.

3. Ход работы

3.1 Вариант

Найти общее решение данного дифференциального уравнения

Найти общее решение данного дифференциального уравнения

Найти общее решение дифференциального уравнения и выполнить проверку

Известно, что тело движется с ускорением a(t) = _______________________________,

найти закон изменения скорости и закон движения тела, если

при t = 0, S = _________ , v = ______________

Решите дифференциальное уравнение, используя блок given, odesolve

на отрезке [ ; ], разбив его на ______ частей, если у( ) =

Решите дифференциальное уравнение, используя команду rkfixed

на отрезке [ ; ], разбив его на ______ частей, если у( ) =

Решите дифференциальное уравнение, используя блок given, odesolve

на отрезке [ ; ], разбив его на ______ частей, если у( ) =

Постройте в одной системе координат график приближённого и точного аналитического решения у =

3.2. Допуск к работе

4.2.1. Разделите переменные

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4.2.2. Комбинацией каких клавиш вызывается в документе MathCAD команда символьных операций (→) ?

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4.2.3. Пусть y’ = z , тогда y ” = ?

4.2.4. Известно, что S(t) = 15t² + 4t + C и при t = 2, S = 10. Найти С

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4.2.5. Продолжите равенства a(t) = v ‘ (t) =

v (t) = S ‘ (t) =

4.2.6. Известно, что отрезок [2;3] разбили на 10 частей продолжите ряд

2; _______________________________________________________________

4.2.7. Известно, что отрезок [4;7] разбили на 6 частей продолжите ряд

2; _______________________________________________________________

4.2.8. Комбинацией каких клавиш MathCAD вызывается знак «жирного» равенства?

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4.2.9. Как на панели матриц выглядит клавиша для вывода на экран двоеточия в MathCAD (2 .. 3)?

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4.2.10 С помощью какой закладки мастера форматирования графиков можно

изменить внешний вид линии графика ( например сделать его точечным)?

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

К работе допускается ______________

4. Результаты работы

dy(x,C1) =

y(x,C1,C2) =

3. Характеристическое уравнение:

Корни характеристического уравнения: k₁= k₂=

Общее решение уравнения:

Поверка правильности решения: (запись с экрана)

v(t,C1) =

C1 =

S(t,C1,C2) =

C2 =

S(t,C1,C2) =

given

___________________ = ________________

y( ) = ____

y := odesolve (x,___ , _____)

x:= ____ , ______ .. ____

x = y(x)=

y:=

F(x,y):=

y1:=rkfixced(y,___ , ____ , ____, F

y1=

given

___________________ = ________________

y( ) = ____

y := odesolve (x,___ , _____)

x:= ____ , ______ .. ____

x = y(x)=

h(x): =

5. Вывод

В ходе выполнения данной работы _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 18

Числовые и степенные ряды.

1. Цель работы

1.1.Научиться вычислять члены числового ряда и исследовать числовые ряды на сходимость

1.2 Научиться раскладывать функции в ряды Тейлора и Маклорена

2. Ход работы:

Вариант

1.Найдите первые три члена ряда : .

2.Определить сходится или расходится данный геометрический ряд :

3.Определить сходится или расходится данный гармонический ряд :

4.Выполняется ли необходимый признак сходимости у ряда :

5.С помощью предельного признака исследовать ряд :

6.С помощью признака Даламбера исследовать сходимость ряда : .

7.С помощью признака Коши исследовать сходимость ряда :

8.Исследовать на сходимость знакочередующийся ряд. Если ряд сходятся, то определить, сходятся он абсолютно или условно.

9.Разложите многочлен по степеням .

10. Написать первые три, отличные от нуля, члена разложения по степеням х функции

11. Разложите функции в степенной ряд используя разложение элементарных функций и определите интервал сходимости:

2.2 Допуск к работе

Заполните пропуски:

2.2.1 Дан ряд пятый член ряда:

2.2.2 Ряд вида называется геометрическим рядом.

Геометрический ряд:

1) ______________________ при ;

2) расходится при .

2.2.3 Ряд вида называется обобщённым гармоническим рядом.

Гармонический ряд:

1) сходится при ;

2) _____________ при .

2.2.4 Если ряд сходится, то его общий член стремится к _________ т.е. .

2.2.5 Вопрос о сходимости рядов вида , где - многочлен от n степени k, a - многочлен от n степени l, полностью исчерпывается сравнением с рядом , где .

2.2.6 Предельный признак сравнения.Если для положительных рядов

существует конечный

то эти ряды сходятся или расходятся ____________________.

2.2.7 Признак Даламбера.Если члены положительного ряда таковы, что существует предел , то при ряд сходится, а при ряд расходится.

2.2.8 Признак Коши.Если члены положительного ряда таковы, что существует предел , то при ряд _____________ , а при ряд _______________

2.2.9 ПризнакЛейбница .Если члены ряда

где , по абсолютной величине монотонно ______________ ,

и их общий член стремится к ________

то ряд сходится. При этом его сумма – положительное число, меньше первого члена этого ряда.

2.2.10 Знакочередующийся ряд называется ________________________________ , если сходится ряд, составленный из модулей его членов. Знакочередующийся ряд называется условно сходящимся, если он____________ , а ряд, составленный из модулей его членов, _____________.

2.2.11 Ряд

называется рядом Тейлора функции в точке .

2.2.12Если в ряде Тейлора положим , то получим частный случай ряда Тейлора, который называют рядом Маклорена:

К работе допускается ______________

3. Результаты работы

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 19

Разложение функций в ряды и

исследование рядов на сходимость с помощью Mathcad.

1. Цель работы

1.1 Научиться исследовать числовые ряды на сходимость с помощью пакета Mathcad;

1.2 Научиться находить радиус и область сходимости степенного ряда с помощью пакета Mathcad.

1.3 Научиться раскладывать функцию в ряд Тейлора и Маклорена с помощью пакета Mathcad.

2. Оборудование

Пакет программ MathCAD

3. Ход работы:

Вариант

1. Рассматривая частичные суммы, исследовать ряд на сходимость с помощью пакета Mathcad:

2. Проверить с помощью пакета Mathcad выполнение необходимого признака сходимости у ряда:

3. Используя предельный признак сравнения исследовать ряд на сходимость с помощью пакета Mathcad:

4. Исследовать ряд на сходимость с помощью пакета Mathcad:

5. Исследовать на сходимость знакочередующийся ряд помощью пакета Mathcad. Если ряд сходится, то определить сходится он абсолютно или условно:

6. Найти радиус и область сходимости степенного ряда помощью пакета Mathcad:

7. Разложить функцию в ряд по степеням х помощью пакета Mathcad:

8. Разложить многочлен в ряд по степеням (х ) помощью пакета Mathcad:

3.2 Допуск к работе

2.2.1 На какой панели в пакете Mathcad находятся знаки суммы и бесконечности?

_____________________________________________________________________________________

2.2.2 Сделайте вывод о сходимости числового ряда, на основании исследования его частичных сумм:.

_____________________________________________________________________________________

2.2.3 Сделайте вывод о выполнении необходимого условия сходимости ряда:

_____________________________________________________________________________________

2.2.4 С каким рядом надо сравнить ряд для исследования его на сходимость с использованием предельного признака сходимости?

_____________________________________________________________________________________

2.2.5 Сделайте вывод о сходимости ряда, исследуемого по признаку Коши

2.2.6 Сделайте вывод о сходимости ряда, исследуемого по признаку Даламбера

_____________________________________________________________________________________

2.2.7 Сделайте вывод о сходимости знакочередующегося ряда:

_____________________________________________________________________________________

2.2.8 Укажите интервал сходимости степенного ряда:

_____________________________________________________________________________________

2.2.9 Заполните пропуски:

К работе допускается ______________

3. Результаты работы

Вывод: ____________________________________________________________________________

3) α =

сравним с рядом :

обобщённый гармонический ряд ____________________

Вывод: ____________________________________________________________________________

4) a(n)=

Вывод: ряд _________________________________ по признаку _____________________________

ряд _________________________________ по признаку _____________________________

ряд из модулей

по признаку __________________________________________________________________т.к

Вывод: _________________________________________________________________________

Интервал сходимости ________________________

Сходимость на концах:
x =

_____________________________________________________________________________________

x =

_____________________________________________________________________________________

Вывод: область сходимости: ____________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

5. Вывод

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 20

Приближённые вычисления с помощью рядов

с использованием Mathcad и Excel.

1. Цель работы

Научиться применять ряды для приближённых вычислений значений функций и определённых интегралов

2. Оборудование

Пакет программ MathCAD, MS Excel

3. Ход работы:

Вариант

С помощью MS Excel вычислите

1) первые двадцать членов ряда ;

2) найдите их модули;

3) оцените погрешность, допускаемую при замене суммы ряда суммой первых его пяти членов;

4) найдите сумму членов ряда с точностью 0,01;

5) найдите сумму членов ряда с точностью 0,001;

Для функции y(x) =

1) Вычислите точное значение при х = ;

2) Разложите функцию в степенной ряд;

3) Замените функцию суммой первых пяти членов ряда;

4) Найдите приближённое значение функции при данном значении х;

5) Вычислите абсолютную и относительную погрешность этого приближения;

6) Постройте в одной системе координат график функции и суммы первых пяти членов ряда

Для функции y(x) =

1) Вычислите точное значение при х = ;

2) Разложите функцию в степенной ряд;

3) Замените функцию суммой первых пяти членов ряда;

4) Найдите приближённое значение функции при данном значении х;

5) Вычислите абсолютную и относительную погрешность этого приближения;

6) Постройте в одной системе координат график функции и суммы первых пяти членов ряда

Для интеграла

1) Вычислите точное значение;

2) Разложите подынтегральную функцию в степенной ряд;

3) Замените подынтегральную функцию суммой первых пяти членов ряда;

4) Проинтегрируйте полученное выражение;

5) Найдите приближённое значение интеграла, вычислив значение полученной функции при х равном верхнему пределу интегрирования;

6) Вычислите абсолютную и относительную погрешность этого приближения;

С помощью степенного ряда вычислить значение функции y(x) = , при х = с точностью ε = 0,001.

С помощью степенного ряда вычислить интеграл с точностью ε = 0,001.

Используя значение и разложение в ряд Маклорена вычислить приближённое значение числа с точностью ε =

3.2 Допуск к работе

3.2.1 Заполните ячейки В2 и С2 формулами, для вычисления первых членов и их модулей для ряда:

3.2.2 Записаны первые пять членов ряда

а1	а2	а3	а4	а5	а6	а7
0,17	0,13	0,12	0,11	0,09	0,05	0,007

А) Сколько членов ряда надо взять, чтобы вычислить его сумму с точностью 0,1 ____________

Б) Сколько членов ряда надо взять, чтобы вычислить его сумму с точностью 0,01 ___________

В) Какова будет погрешность, если сумму ряда заменить суммой первых его трёх членов _____

3.2.3 Как в программе Mathcad задать функцию f(x)= 3 x ²+4 sin x

____________________________________________________________________________________

3.2.4 Как в программе Mathcad разложить функцию в ряд

____________________________________________________________________________________

3.2.5 Точное значение 0,357, а приближённое 0,361 Вычислите абсолютную погрешность

____________________________________________________________________________________

3.2.6 Точное значение 0,357, а приближённое 0,361. Запишите формулу для вычисления относительной погрешности

____________________________________________________________________________________

3.2.7 Какая кнопка в программе Mathcad вызывает шаблон для вычисления определённого интеграла?

____________________________________________________________________________________

3.2.8 Какая кнопка в программе Mathcad вызывает шаблон для нахождения неопределённого интеграла?

____________________________________________________________________________________

3.2.9 Как в программе Mathcad построить два графика в одной системе координат

____________________________________________________________________________________

К работе допускается ______________

4. Результаты работы

n	an	модуль an	1) погрешность, допускаемую при замене суммы ряда суммой первых его пяти членов; _____________________________________________ 2) сумма членов ряда с точностью 0,01; ______________________________________________ 3) сумма членов ряда с точностью 0,001; ______________________________________________
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

2) y(x) =

y(x),series,___ ,_____ →

g(x)=

точное значение у( _____ ) =

приближённое значение g( ____ ) =

абсолютная погрешность ______

относительная погрешность ________

3) y(x) =

y(x),series,___ ,_____ →

g(x)=

точное значение у( _____ ) =

приближённое значение g( ____ ) =

абсолютная погрешность ______

относительная погрешность ________

4) Точное значение =

Подынтегральная функция g(x) =

Разложение подынтегральной функции в степенной ряд

_g(x) series, _______, →_____________________________________________________

Интеграл от полученного степенного ряда

__________________________________________________________________________

Приближённое значение интеграла

абсолютная погрешность ______

относительная погрешность ________

y(x) =

y(x),series,___ ,_____ →

члены ряда

а1	а2	а3	а4	а5	а6	а7	а8	а9

точное значение у( _____ ) =

приближённое значение

6) Точное значение =

Подынтегральная функция g(x) =

Разложение подынтегральной функции в степенной ряд

_g(x) series, _______, →_____________________________________________________

Интеграл от полученного степенного ряда

__________________________________________________________________________

члены ряда

а1	а2	а3	а4	а5	а6	а7	а8	а9

приближённое значение

7) y(x) =

y(x),series,___ ,_____ →

члены ряда

а1	а2	а3	а4	а5	а6	а7	а8	а9

Точность ε =

приближённое значение

5. Вывод

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 21

Комплексные числа.

Цель работы

Научиться выполнять действия с комплексными числами, заданными в

различных формах.

Ход работы

Вариант

1) Решите уравнение: x² x = 0.

2) Вычислите: i+ i+

3) - 6) Вычислите z₁+z₂; z₁-z_2;z₁·z₂; z₁:z₂ если, z₁= ; z₂=

7) Запишите число в тригонометрической и показательной формах, если .

8) Вычислите z₁·z₂_,используя тригонометрическую форму записи комплексного числа, если

9) Вычислите z₁:z₂_,используя показательную форму записи комплексного числа, если ;

10) Вычислите z₁²_,используя тригонометрическую форму записи комплексного числа, если

Решите уравнения:

11)

12)

13) Запишите комплексное число ___________ в тригонометрической и показательной форме.

14) Запишите комплексное число __________ в тригонометрической и показательной формах.

Допуск к работе

2.1.1. Что такое мнимая единица?

________________________________________________________________________

2.1.2. Какой вид имеет комплексное число в алгебраической форме?

_______________________________________________________________________

2.1.3. Как вычислить модуль комплексного числа ?

_______________________________________________________________________

2.1.4. Как вычислить аргумент комплексного числа ?

______________________________________________________________________

2.1.5. Какой вид имеет комплексное число в тригонометрической форме?

______________________________________________________________________

2.1.6. Какой вид имеет комплексное число в показательной форме?

______________________________________________________________________

2.1.7. Как вычисляется сумма и разность двух комплексных чисел и ?

______________________________________________________________________________

2.1.8.Какое комплексное число называется сопряжённым к комплексному числу ____________________________________________________________________

2.1.9 Запишите формулы для выполнения действий над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме.

z₁·z₂= _____________________________________________________

z₁:z₂= _____________________________________________________

z₁ⁿ = ____________________________________________________________________

2.1.10 Запишите формулы для выполнения действий над комплексными числами, заданными в показательной форме.

z₁·z₂= _____________________________________________________

z₁:z₂= _____________________________________________________

z₁ⁿ = ____________________________________________________________________

К работе допускается _______________

3. Результаты работы

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 22

Дата добавления: 2021-04-15; просмотров: 143; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 234 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!