Тип: Нахождение ежегодного ( ежемесячного) транша.
Таблицы.
При решении задач, связанных с аннуитетными платежами
S – сумма кредита
r% - годовые (ежемесячные) проценты
b=1+0,01r – коэффициент
х – ежегодная (ежемесячная) выплата
| Год | Долг с % | Выплата | Долг после выплаты |
| 1 | Sb | x | Sb-x |
| 2 | (Sb-x)b=Sb2-xb | x | Sb2-xb-x |
| 3 | (Sb2-xb-x)b=Sb3-x b2-xb | x | Sb3-x b2-xb-x |
| n | Sbn-xbn-1-xbn-2-…-xb2-xb | x | Полная выплата, долг равен 0 |
Геометрическая прогрессия
bn =b1· qn-1
Формула суммы n-первых членов геометрической прогрессии
Sn= 
Из этой формулы следует: bn-1+bn-2 +…+b2+b+1= 
1 тип: Нахождение количества лет ( месяцев) выплаты кредита. n-? (Аннуитетные платежи)
Задача №1
Максим хочет взять кредит 1,5 млн рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами ( кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 10% годовых. На какое минимальное количество лет может Максим взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 350 тысяч рублей?
Решение:
Кредит (S) 1500000 руб.
Ставка (r) 10% годовых. Введём коэффициент b=1+0,01r
Ежегодная выплата (х) ≤350000 руб.
Сколько лет (n)-?
| Год | Долг с % | Платёж | Долг после выплаты |
| 1 | 1500000•1,1=1650000 | 350000 | 1300000 |
| 2 | 1300000•1,1=1430000 | 350000 | 1080000 |
| 3 | 1080000•1,1=1188000 | 350000 | 838000 |
| 4 | 838000•1,1=921800 | 350000 | 571800 |
| 5 | 571800•1,1=628980 | 350000 | 278980 |
| 6 | 278980•1,1=306878 | 306878 | 0 |
Ответ: 6 лет.
|
|
|
Задача №2
1 января 2015 года Андрей Владимирович взял в банке 1,1 млн. рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 3% на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 3%), затем Андрей Владимирович переводит в банк платеж. На какое минимальное количество месяцев Андрей Владимирович может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 220 тыс. рублей?
Задача №3.
1 января 2015 года Павел Витальевич взял в банке 1 млн. рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 1% на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 1%), затем Павел Витальевич переводит в банк платеж. На какое минимальное количество месяцев Павел Витальевич может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 125 тыс. рублей?
2 тип: Нахождение суммы кредита.
S -? (Аннуитетные платежи)
Задача №1.
31 декабря 2014 года Сергей взял в банке некоторую сумму в кредит под 12% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга ( то есть увеличивает долг на 12%), затем Сергей переводит в банк 3512320 рублей. Какую сумму взял Сергей в банке, если он выплатил долг тремя равными платежами ( то есть за три года)?
|
|
|
Решение:
Ставка (r) - 12% , b=1,12
Ежегодная выплата (х) - 3512320 рублей
Количество лет (n) 3 года
Сумма кредита (S) -?
| Год | Долг с % | Платёж | Долг после выплаты |
| 1 | Sb | х | Sb-x |
| 2 | b(Sb-x)= Sb2-xb | х | Sb2-xb-x |
| 3 | b(Sb2-xb-x )= Sb3_ хb2-xb | х | 0 |
Sb3_ хb2-xb –x = 0
Sb3-(1+b+b2)x=0
S= 
Ответ: 8436000рублей.
Задача №2.
31 декабря 2014 года Игорь взял в банке некоторую сумму в кредит под 13% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга ( то есть увеличивает долг на 13%), затем Игорь переводит в банк 5107600 рублей. Какую сумму взял Игорь в банке, если он выплатил долг двумя равными платежами ( то есть за два года)?
Задача№3.
31 декабря 2014 года Михаил взял в банке некоторую сумму в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга ( то есть увеличивает долг на 10%), затем Михаил переводит в банк 2928200 рублей. Какую сумму взял Михаил в банке, если он выплатил долг четырьмя равными платежами ( то есть за четыре года)?
|
|
|
тип: Нахождение ежегодного ( ежемесячного) транша.
х-? (Аннуитетные платежи)
Задача №1.
31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 9282000рублей в кредит по 10% годовых. Схема выплат кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Алексей переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами ( то есть за четыре года)?
Решение:
Сумма кредита (S)- 9282000рубля
Ставка (а)=10%, b=1,1
Количество лет (n) 4 года
Ежегодная выплата ( транш) Х -?
| Год | Долг с % | Выплата | Долг после выплаты |
| 1 | Sb | x | Sb-x |
| 2 | (Sb-x)b=Sb2-xb | x | Sb2-xb-x |
| 3 | (Sb2-xb-x)b=Sb3-x b2-xb | x | Sb3-x b2-xb-x |
| 4 | (Sb3-x b2-xb-x)b= Sb4-xb3-xb2-xb | x | 0 |
Sb4-xb3-xb2-xb – x = 0
Sb4-(b+b2+b3)x=x
Sb4-(1+b+b2+b3)x=0 X= 
X= 
Ответ: 2928200 рублей.
Задача №2.
31 декабря 2014 года Иван взял в банке 4230000 рублей в кредит по 11,5% годовых. Схема выплат кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 11,5%), затем Иван переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Иван выплатил долг двумя равными платежами ( то есть за два года)?
|
|
|
Задача №3.
31 декабря 2014 года Павел взял в банке 6327000 рублей в кредит по 12% годовых. Схема выплат кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12%), затем Павел переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Павел выплатил долг тремя равными платежами ( то есть за три года)?
4 тип : Нахождение разницы. (Аннуитетные платежи)
Задача №1.
31 декабря 2014 года Федор взял в банке 6951000рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплат кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Федор переводит в банк платеж. Весь долг Федор выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа?
Решение: Сумма кредита (S) – 6951000 рублей
Ставка (r) -10%, b=1,1
3 равных платежа
| Год | Долг с % | Платёж | Долг после выплаты |
| 1 | Sb | х | Sb-x |
| 2 | b(Sb-x)= Sb2-xb | х | Sb2-xb-x |
| 3 | b(Sb2-xb-x )=Sb3_ хb2-xb | х | 0 |
Sb3- хb2-xb – x = 0
Sb3-(b2+b+1)x=0
X= 
2 равных платежа
| Год | Долг с % | Платёж | Долг после выплаты |
| 1 год | Sb | х | Sb-x |
| 2 год | b(Sb-x)= Sb2-xb | х | 0 |
Sb2-xb=x
Sb2-(1+b)x=0
X= 
За три года: 2795100 
3=8385300
За два года:4005100 2=8010200
Разница: 8385300-8010200=375100
Ответ: на 375100 рублей.
Задача №2.
31 декабря 2014 года Степан взял в банке 4004000 рублей в кредит под 20% годовых. Схема выплат кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%), затем Степан переводит в банк платеж. Весь долг Степан выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа?
Задача №3.
31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 3689000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплат кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Алексей переводит в банк платеж. Весь долг Алексей выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа?
Задачи, связанные с известным остатком. (Фиксированные платежи)
Задача №1.
15-го января был выдан полугодовой кредит на развитие бизнеса. В таблице представлен график его погашения.
| Дата | 15.01 | 15.02 | 15.03 | 15.04 | 15.05 | 15.06 | 15.07 |
| Долг (в процентах от кредита) | 100% | 90% | 80% | 70% | 60% | 50% | 0% |
В конце каждого месяца, начиная с января, текущий долг увеличивался на 5%, а выплаты по погашению кредита происходили в первой половине каждого месяца, начиная с февраля. На сколько процентов общая сумма выплат при таких условиях больше суммы самого кредита?
Решение: S – сумма кредита
r% - годовые (ежемесячные) проценты (5%)
b=1+0,01r – коэффициент (1,05)
| Месяц | Долг с % | Выплата | Долг после выплаты |
| 15.02 | Sb | Sb-0,9S | 0,9S |
| 15.03 | 0,9Sb | 0,9Sb -0,8S | 0,8S |
| 15.04 | 0,8Sb | 0,8Sb -0,7S | 0,7S |
| 15.05 | 0,7Sb | 0,7Sb -0,6S | 0,6S |
| 15.06 | 0,6Sb | 0,6Sb -0,5S | 0,5S |
| 15.07 | 0,5Sb | 0,5Sb | Полная выплата - остаток 0 |
Общая сумма выплат:
(Sb+0,9Sb+0,8Sb+0,7Sb+0,6Sb+0,5Sb)-(0,9S+0,8S+0,7S+0,6S+0,5S)=
4,5Sb-3,5S=S(4,5b-3,5)=S(4,5*1,05-3,5)=1,225S
Ответ : 22,5 процента .
Задача №2.
15-го января планируется взять кредит в банке на 1 млн рублей на 6 месяцев. Условия его возврата таковы:
− 1-го числа каждого месяца долг возрастает на целое число r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца;
− со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
− 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей
| Дата | 15.01 | 15.02 | 15.03 | 15.04 | 15.05 | 15.06 | 15.07 |
| Долг (в млн рублей) | 1 | 0,6 | 0,4 | 0,3 | 0,2 | 0,1 | 0 |
Найдите наибольшее значение r, при котором общая сумма выплат будет составлять менее 1,2 млн рублей.
Задача №3.
В июле 2016 года планируется взять кредит в банке в размере S тыс. рублей, где S — натуральное число, на 3 года. Условия его возврата таковы
− каждый январь долг увеличивается на 15% по сравнению с концом предыдущего года;
− с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
− в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.
| Месяц и год | Июль 2016 | Июль 2017 | Июль 2018 | Июль 2019 |
| Долг (в тыс. рублей) | S | 0,7S | 0,4S | 0 |
Найдите наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет составлять целое число тысяч рублей.
Дата добавления: 2021-04-15; просмотров: 194; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!