Исследование функции на максимум и минимум с помощью второй производной.
ЛЕКЦИЯ 4: «ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ»
Условие постоянства функции.
Теорема 1. Если функция непрерывна на отрезке и во всех внутренних точках отрезка её производная равна нулю, то функция постоянна на этом отрезке.
Возрастание и убывание функции.
Теорема 1. Если функция непрерывна на отрезке и её производная положительна всюду на интервале , то строго возрастает на .
Теорема 2. Если функция непрерывна на отрезке и её производная отрицательна всюду на интервале , то строго убывает на .
Пример: Найдите интервалы возрастания и убывания функции .
Решение. Найдём производную . Производная положительна в промежутке . Таким образом, функция возрастает во всей области определения.
Исследование функции на экстремум с помощью первой производной.
Определение. Пусть функция , определена в некоторой окрестности точки и непрерывна в этой точке. Точка называется точкой максимума (минимума) функции, если существует её окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство ( ), причём знак равенства имеет место лишь в случае .
Замечание 1. Максимум и минимум функции не всегда являются наибольшим и наименьшим значениями функции на данном отрезке. В точках максимума (минимума) функция принимает наибольшее (наименьшее) значение лишь для точек окрестности, достаточно близких к точке максимума (минимума). На рисунке функция достигает максимума в точках , . Точки , являются точками минимума. Наибольшее значение функция принимает в точке , а наименьшее значение в точке .
|
|
Точки максимума и минимума называют точками экстремума.
Теорема 1 (необходимое условие существования экстремума). Если дифференцируемая функция имеет в точке максимум или минимум, то её производная обращается в нуль в этой точке, т.е.
Замечание. Необходимое условие существования экстремума не является достаточным.
Пример 1. Тогда , но не является точкой экстремума.
Замечание. В точках, в которых производная не существует, может быть или максимум, или минимум, но может ни быть, ни того, ни другого.
Пример 2. не имеет производной в точке , но - точка минимума этой функции.
Пример 3. не имеет производной в точке , так как . Точка не является точкой экстремума.
Значения аргумента, при которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками.
Теорема 2 (достаточное условие существования экстремума). Пусть функция непрерывна в некотором интервале, содержащем критическую точку , и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, может быть, самой точки ). Если при переходе слева направо через эту точку производная меняет знак с плюса на минус, то при функция имеет максимум. Если же при переходе через точку слева направо производная меняет знак с минуса на плюс, то функция имеет в этой точке минимум.
|
|
Пример: Исследуйте на экстремум функцию .
Решение. Имеем:
Приравняем производную к нулю и найдем критические точки: При переходе через точку производная меняет знак с «+» на «-», значит, в этой точке функция имеет максимум. При переходе через точку производная меняет знак с «-» на «+», значит, в этой точке функция имеет минимум. Результаты исследования сведены в таблицу:
x | |||||
+ | 0 | - | 0 | + | |
возрастает | Убывает | Возрастает |
Итак, .
Исследование функции на максимум и минимум с помощью второй производной.
Теорема. Пусть и в точке существует вторая производная. Тогда, если , то – точка минимума функции, а если , то – точка максимума функции.
Пример: Исследуйте на экстремум функцию .
Решение.
- критические точки.
- точка максимума;
- точка минимума.
.
Дата добавления: 2021-04-15; просмотров: 164; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!