Тема 13.12. Производная. Понятие о производной функции, её геометрический и физический смысл
Г.
Раздел 13. Итоговое повторение курса математики
Тема 13.11. Объемы многогранников и тел вращения
Объем и его измерение. Интегральная формула объема
Алгоритм вычисления объёмов геометрических тел с помощью определённого
Интеграла
1. Ввести систему координат так, что ось ОХ перпендикулярна основанию геометрического тела.
2. Найти пределы интегрирования а и b.
3. Провести сечение плоскостью перпендикулярно оси Ох через точку с абсциссой х.
4. Определить вид сечения, задать формулой его площадь как функцию S(x).
5. Проверить непрерывность функции S(x) на [a;b].
6. Вычислить объем по формуле:
Вычисление объёма тела вращения
Рассмотрим криволинейную трапецию, т.е. фигуру, ограниченную прямыми х=а и х=b, осью Ох и функцией y=f(x). Требуется найти объём тела вращения, образованного вращением криволинейной трапеции вокруг оси Ох. Объём данного тела вычисляется по формуле:
Если криволинейная трапеция вращается вокруг оси Оу, тогда объём определяется формулой:
Если плоская фигура, ограниченная двумя непрерывными функциями y= f1(х), y= f2(х), f1(х) £ f2(х) и прямыми х = а, у = b, a < b, вращается вокруг оси ОХ, то объем тела вращения вычисляется по формуле:
.
Если указанная фигура вращается вокруг оси Oy, то объем соответствующего тела вращения может быть вычислен по формуле:
, (здесь a ³0).
Пример 2. 
|
|
|
1. Строим заданные кривые и плоскую фигуру, вращающуюся вокруг оси ОХ (рис. 12).
2. 
.
3. Применяем формулу (1).
.
4. 
.
5. 
(ед.3).
Формулы объема куба, прямоугольного параллелепипеда, призмы, цилиндра
Объём призмы: Объём цилиндра:
Формулы объема шара и площади сферы
| Тело | Объём | Площадь боковой поверхности | Площадь полной поверхности |
| Наклонная призма | V=Sпсa, | Sб=Pпсa, | Sп=Sб+2Sосн, |
| Прямоугольный параллелепипед | V=abc, | Sб=2c(a+b), | Sп=2(ab+bc+ac), |
| Куб | V=a3 | Sб=4a2 | Sп=6a2 |
| Пирамида | 
| равна сумме площадей её боковых граней | Sп=Sб+2Sосн, |
| Усеченная пирамида | 
| равна сумме площадей её боковых граней | Sп=Sб+S1+S2 , |
| Цилиндр | V=π R 2H | Sб=2π R H | Sп=2π R H + 2p R2, |
| Конус | 
| Sб=2π R L | Sп=2π R (R+L), |
| Усеченный конус | 
| Sб=π L (R+r), | Sп=π L (R+r)+p R2+p r2, |
| Сфера и шар | 
| S=4πR2, | |
Подобие тел. Отношения площадей поверхностей и объемов подобных тел. Подобие
Преобразование фигуры в фигуру, называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояние между точками увеличивается (уменьшается) в одно и то же число раз.
|
|
|
Это значит, что если произвольные точки А и В фигуры F при этом преобразовании переходят в точки А1 и В1 фигуры F1, то А1В1=kАВ, где k>0.
Число k называется коэффициентом подобия. Если k=1 преобразование подобия является движением.
Свойства преобразования подобия:
1. При преобразовании подобия три точки А, В и С, лежащие на одной прямой, переходят в три точки А1, В1 и С1, так же лежащие на одной прямой. Причем если точка В лежит между А и С, то точка В1 лежит между точками А1 и С1.
2. Преобразование подобия переводит прямые в прямые, полупрямые в полупрямые, отрезки в отрезки, плоскости в плоскости.
3. Преобразование подобия сохраняет углы между полупрямыми.
4. Не всякое преобразование подобия является гомотетией.
Пусть задана фигура F и О – фиксированная точка. Проведем через произвольную точку Х фигуры луч ОХ и отложим на нем отрезок ОХ1 равный kОХ, где k – положительное число. Преобразование фигуры F , при котором каждая точка Х переходит в точку Х1, построенную указанным способом, называется гомотетией относительно центра О. Число k – называется коэффициентом гомотетии.
Для подобных пространственных тел, имеющих объем, верна аналогичная теорема: отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента подобия.
|
|
|
Тема 13.12. Производная. Понятие о производной функции, её геометрический и физический смысл
Производная
Производной функции y = f (x) в точке x0называется предел:
Если этот предел существует, то функция f (x) называется дифференцируемой в точке x0:
Производная функции: у(x) обозначается так:
Вычисление производной на основе определения:
1) найти разность: у(x)-у(x0);
2) найти отношение: 
3) найти предел этого отношения, при х→х0.
Дата добавления: 2021-04-15; просмотров: 63; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!