Средняя путевая скорость (скорость вдоль траектории)

<v> =

где DS – путь,пройденный точкой за интервал времени Dt.

Мгновенная скорость

,

v_x =

3. Среднее ускорение

,

<a_x> =

Мгновенное ускорение

,

a_x =

4. При криволинейном движении ускорение можно представить как сумму нормальной  и тангенциальной  составляющих

.

Абсолютное значение этих ускорений

                                                                                                            а_n = v²/R; a_τ = dv/dt; ,

где R – радиус кривизны в данной точке траектории.

5. Кинематическое уравнение равномерного движения материальной точки вдоль оси х (v = const, a = 0)

х = х₀ + vt ,

где х₀ – начальная координата, t – время.

6. Кинематическое уравнение равнопеременного движения вдоль оси х (а = const)

x = x₀ + v₀t + at²/2,

где v₀ – начальная скорость, t – время.

Скорость точки при равнопеременном движении

v = v₀ + at.

7. Положение твердого тела (при заданной оси вращения) определяется углом поворота (или угловым перемещением) . Кинематическое уравнение вращательного движения:

 = f(t).  

 Угловая скорость

=

Угловое ускорение

=

Угловое перемещение, угловая скорость и угловое ускорение являются псевдовекторами, их направления совпадают с осью вращения и определяются по правилу правого винта.

8. Кинематическое уравнение равномерного вращения (ω = const, ε = 0)

φ = φ₀ +ωt,

где φ₀ – начальное угловое перемещение; t – время.

9. Т - период вращения (время одного полного оборота)

Т = t/N ;

ν – частота вращения (число оборотов в единицу времени)

ν = N/T или ν = 1/Т,

где N – число оборотов, совершаемых телом за время t ,

ω = .

10. Кинематическое уравнение равнопеременного вращения (ε = const)

φ = φ₀ + ω₀t + εt²/2,

где ω₀ – начальная угловая скорость, φ = 2πN.

Угловая скорость тела при равнопеременном вращении

ω = ω₀ + εt.

11. Связь между линейными и угловыми величинами, характеризующими вращение материальной точки:

S = φR; v = w R; a_t = e R; a_n =  

 

Колебания и волны

 

 12. Кинематическое уравнение гармонических колебаний материальной точки

x = Asin(wt+ j₀),

где x – смещение; А – амплитуда колебаний; w - круговая или циклическая частота; j₀ – начальная фаза.

13. Скорость материальной точки, совершающей гармонические колебания

v = Awcos(wt + j ₀) = v_msin(ωt + φ₀ + π/2).

14. Ускорение материальной точки, совершающей гармонические колебания

a = Aw²sin(wt + j₀) = а_msin(wt + j₀ + π).

15. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты:

а) амплитуда результирующего колебания

А =

б) начальная фаза результирующего колебания

16. Траектория точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях (x = A₁cosw t, y = A₂cos(w t + j₀)):

а) y =    (если разность фаз Dj = 0);

б) y =    (если разность фаз Dj = ±p);

в)    (если разность фаз Dj = ±p/2).

17. Уравнение плоской бегущей волны

y = A cos w (t - ),

где y – смещение любой из точек среды с координатой х в момент t, v – скорость распространения колебаний в среде.

18. Связь разности фаз Dj колебаний с расстоянием Dх между точками среды, отсчитанным в направлении распространения колебаний

,

где l - длина волны.

Динамика

 

1. Поступательное движение

 

19. Импульс материальной точки, движущейся поступательно со скоростью v

.

20. Второй закон Ньютона

,

,

где - сила, действующая на тело.

21. Силы, рассматриваемые в механике:

а) сила упругости

F = - k x,

где к - коэффициент упругости (в случае пружины – жесткость); х – абсолютная деформация;

б) вес  - сила, с которой тело действует на опору или подвес;

в) сила гравитационного притяжения

,

где m₁ и m₂ – массы взаимодействующих тел; r – расстояние между телами (тела – материальные точки или сферы). Силу можно выразить и через напряженность G гравитационного поля

F = mG;

г) сила тяжести

F = mg ,

где g – ускорение свободного падения;

д) сила трения скольжения

F_тр = mN,

где m - коэффициент трения; N – сила нормальной реакции опоры.

22. Закон сохранения импульса

Для двух тел (i = 2)

,

где v₁ и v₂ – скорости тел в момент времени, принятый за начальный; u₁ и u₂ – скорости тех же тел в момент времени, принятый за конечный.

23. Кинетическая энергия тела, движущегося поступательно

24. Потенциальная энергия:

а) упруго деформированной пружины

,

где к – жесткость пружины; х – абсолютная деформация;

б) гравитационного взаимодействия

,

где g - гравитационная постоянная; m₁ и m₂ – массы взаимодействующих тел; r – расстояние между ними (тела – материальные точки или сферы);

в) тела, находящегося в однородном поле силы тяжести,

П = mgh,

где g – ускорение свободного падения; h – высота тела над уровнем, принятым за нулевой (формула справедлива при условии h<<R, где R - радиус Земли).

25. Закон сохранения механической энергии

Е = Т + П = const,

если система консервативна, т.е. работа неконсервативных сил А^н/к (F_Т, F_cопр) = 0.

26. Механическая работа

A = F s cosa,

или

А = DЕ = Е₂ – Е₁,

работа – как мера изменения энергии.

А^{консервативных} = - ΔП, А^н/к = Е_М2 – Е_М1.

 

2. Вращательное движение

 

27. Момент импульса тела, вращающегося относительно неподвижной оси

,

где w - угловая скорость тела.

28. Основное уравнение динамики вращательного движения относительно неподвижной оси

 = I ,

где М – результирующий момент внешних сил, действующих на тело; e - угловое ускорение; I – момент инерции тела относительно оси вращения.

29. Моменты инерции некоторых тел массой m относительно оси, проходящей через центр масс:

а) стержня длины l относительно оси, перпендикулярной стержню,

;

б) обруча (тонкостенного цилиндра) относительно оси, перпендикулярной плоскости обруча (совпадающей с осью цилиндра);

I = mR²;

в) диска радиусом R относительно оси, перпендикулярной плоскости диска,

.

30. Закон сохранения момента импульса системы тел, вращающихся вокруг неподвижной оси

для двух тел

I₁w₁ + I₂w₂ = I₁^′w′₁ + I ^′w^′₂ ,

где I₁, w_1, I_2, w₂ – моменты инерции и угловые скорости тел в момент времени, принятый за начальный; I₁^′, w′₁, I ,^′w^′₂ – те же величины в момент времени, принятый за конечный.

31. Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси

 

 

4.1. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

 

№ 1. Зависимость угла поворота тела от времени дается уравнением j = А + Вt +Ct² + Dt³, где А = 1 рад, В = 0,1 рад/с, D = 0,01 рад/с². Найти: а) угловой путь, пройденный за 3 с от начала отсчета времени; б) среднюю угловую скорость; в) среднее угловое ускорение за 3 с от начала движения.

Р е ш е н и е.

Угловой путь, пройденный за 3 с, равен j = j₂ - j₁, где j₂ - угловой путь, пройденный за 3 с (t₂ = 3c); j₁ - угловой путь к моменту времени t₁ = 0 c.

а) из зависимости углового пути от времени j(t) (см. условие задачи) найдем j₁ и j₂:

j₁ = А = 1 рад.

j₂ = А + Вt₂² + Dt₂³ = 1 + 0,1×3 + 0,02×3² + 0,01×3³ = 1,75 рад.

j = j₂ - j₁ = 1,75 - 1 = 0,75 рад.

б) средняя угловая скорость за 3 с от начала вращения выражается формулой

в) среднее угловое ускорение за 3 с от начала вращения

,

где w₂ - угловая скорость в момент времени t₂ = 3 c; w₁ - угловая скорость в момент времени t₁ = 0 с.

Мгновенную угловую скорость найдем по определению

 = B + 2Ct + 3Dt².

Подставим числовые данные:

t₂ = 3 с. w₂ = 0,1 + 2× 0,2 ×3 + 3×0,01×3² = 0,49 рад/с.

t₁ = 0 c. w₁ = B = 0,1 рад/с.

Среднее угловое ускорение

<e> =  рад/с².

№ 2. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону

j = 10 + 20t - 2t².

Найти полное ускорение точки (величину и направление), находящейся на расстоянии 0,1 м от оси вращения, для момента времени t = 4 с.

Р е ш е н и е. 

Каждая точка вращающегося тела описывает окружность. Полное ускорение точки, движущейся по кривой линии, может быть найдено как геометрическая сумма тангенциального , направленного по касательной к траектории, и нормального , направленного к центру кривизны траектории:

                                           (1)

Тангенциальное и нормальное ускорения точки вращающегося тела выражаются формулами:

а_t = eR,                                                 (2)

a_n = w² R ,                                              (3)

где w - угловая скорость тела; e - его угловое ускорение; R - расстояние точки от оси вращения.

Подставляя формулы (2) и (3) в (1), находим

.                         (4)

Угловая скорость вращающегося тела равна первой производной от угла поворота по времени

В момент времени t = 4 с угловая скорость

w = (20 - 4×4)с^-1 = 4 рад/с.

Угловое ускорение вращающегося тела равно первой производной от угловой скорости по времени

Это выражение не содержит аргумента времени t, следовательно, угловое ускорение имеет постоянное значение, не зависящее от времени.

Подставив значения w и e в формулу (4), получим

 № 3. Из орудия вылетает снаряд со скоростью v₀ = 1000 м/с под углом 30⁰ к горизонту (сопротивление воздуха не учитывать).

Определить: радиус кривизны траектории R в верхней точке полета; максимальную высоту подъема; время движения; расстояние S, на которое упадет снаряд по горизонтали.

 Р е ш е н и е:

1. Принцип независимости: если тело участвует одновременно в нескольких движениях, то одно движение от другого не зависит.

2. Принцип суперпозиции: однородные величины, относящиеся к одному объекту, могут быть сложены.

Движение тела, брошенного под углом к горизонту, можно представить как сложное, состоящее из двух более простых: равномерного - в горизонтальном направлении и равнопеременного - в вертикальном. Траекторией движения будет парабола.

На чертеже обозначим оси 0x и 0y, траекторию движения, начальную скорость v₀, угол бросания a, высоту поднятия h, дальность полета S, скорость в момент падения v и угол падения b. Разложим векторы  и  на горизонтальные и вертикальные составляющие:

v_0x = v₀cosa,

v_0y = v₀sina.

Запишем уравнения скорости и пути для обоих направлений. По горизонтали:

v_x = v_0x = v₀cosa = const.,                                 (1)

S = v_x 2t = (v₀cosa)t,                                    (2)

где t - время поднятия снаряда до верхней точки.

                                         

По вертикали:

v_y = v_0y - gt = v₀sina - gt.                                   (3)

h = v₀tsinα - gt²/2.                                         (4)

Это движение равнозамедленное.

1. Радиус кривизны траектории находим из формулы нормального ускорения

Определим а_n. Полное ускорение в любой точке траектории

.

В верхней точке траектории полная скорость определяется только составляющей скорости вдоль оси 0Х, так как в этой точке v_y = 0: v_x = v_0x = const; Вследствие того, что составляющая скорости вдоль оси Ох – постоянная величина, касательное ускорение в верхней точке траектории a_t равно нулю. Следовательно,

;

a_n = g.

2. Высоту h найдем по уравнению (4), а время подъема по уравнению (3):

Подставив выражение времени t в формулу высоты h, получим

3. Путь S находим, применяя уравнение (3)

S = 2v₀cosa  = 2 .

 

№ 4. Лифт опускается вниз и перед остановкой движется замедленно. Определить, с какой силой  (вес тела) будет давить на пол лифта человек массой 60 кг, если ускорение лифта равно 4 м/с².

Р е ш е н и е.

1. Записать II закон Ньютона.

.

2. Сделать схематический чертеж, на котором указать силы, действующие на тело, ускорение тела и систему отсчета:  - сила тяжести;  - сила нормальной реакции опоры (пола кабины). По III закону Ньютона вес тела  численно равен силе нормальной реакции , противоположно направленной и приложенной к опоре: = - .

3. Расписать второй закон Ньютона в векторной форме в соответствии с условием задачи

4. Записать это уравнение в скалярной форме, проектируя все векторы на ось (направление оси выбирается произвольно):

х: N - mg = ma.

Из этого уравнения выразить N

N = mg + ma.

Следовательно,

P = g(m + a).

Подставить числовые данные:

Р = 60(4 + 9,8) = 840 Н.

 

№ 5. Вагонетку массой 3 т поднимают по рельсам в гору, наклон которой 30⁰. Какую работу совершает сила тяги на пути в 50 м, если известно, что вагонетка двигалась с ускорением 0,2 м/с²? Коэффициент трения принять равным 0,1.

Р е ш е н и е.

Работа постоянной силы тяги F_т определяется по формуле

A = F_т S cosa.,

где α угол между силой и перемещением. Сила тяги направлена вдоль перемещения, поэтому угол a = 0 и cos a = 1.

     1. .

     2. Сделать чертеж.

3. Записать уравнение II закона Ньютона в векторной форме.

На тело действуют четыре силы:

Так как силы направлены под углом друг к другу, то систему отсчета составим из двух взаимно перпендикулярных осей x и y, развернув ее для удобства так, что одну ось направим вдоль наклонной плоскости, а другую - перпендикулярно ей.

4. Записать уравнение в проекциях на оси:

х: mg sina - F_т + F_тр + 0 = -ma,

y: -mg cosa + 0 + 0 +N = 0,

F_тр = mN,

где m - коэффициент трения.

Решить систему трех уравнений относительно F_т

F_т = mg sina + mmg cosa + ma = m (g sina + mg cosa + a).

5. A = F_тS = m (g sina + mg cosa + a)S.

Подставить числовые данные:

A = 3 10³ (0,2 + 10×0,5 + 0,1×10×0,87)50 = 900 кДж.

№ 6. Маховик, выполненный в виде диска радиусом 0,4 м и имеющий массу 100 кг, был раскручен до скорости вращения 480 об/мин и предоставлен самому себе. Под действием трения вала о подшипники маховик остановился через 1 мин 20 с. Определить момент силы трения вала о подшипники.

Р е ш е н и е.

Используем основное уравнение динамики вращательного движения

МDt = I w₂ - I w₁,

где М - тормозящий момент; Dt - время действия тормозящего момента; I - момент инерции маховика; w₂ - конечная угловая скорость; w₁ - начальная угловая скорость.

Решая уравнение относительно М, получим:

Найдем числовые значения величин и подставим их в выражение для M.

Знак «минус» означает, что момент М - тормозящий.

№ 7. Железнодорожная платформа с установленным на ней орудием движется горизонтально со скоростью v₀ = 1 м/с. Масса платформы вместе с орудием М = 2 ×10⁴ кг. Из орудия выпускается снаряд по ходу платформы со скоростью u₁ = 800 м/с под углом a = 30⁰ к горизонту. Масса снаряда m = 20 кг. С какой скоростью u₂будет двигаться платформа после выстрела?

Р е ш е н и е.

1. Записать закон сохранения импульса

2. Сделать схематический чертеж с указанием импульсов тел системы, проекций и системы отсчета.

    3. Написать уравнение в проекциях

(M - m)v₀ + mv₀ =

(M - m)u₂ + mu₁cosa,

4. Решить уравнение относительно u₂

5. Подставить данные

 

№ 8. Платформа в виде диска радиусом R = 1,5 м и массой m₁ = 150 кг вращается по инерции около вертикальной оси, делая n = 10 об/мин. В центре платформы стоит человек массой m₂ = 60 кг. Какую линейную скорость относительно пола будет иметь человек, если он перейдет на край платформы?

Р е ш е н и е.

1. Записать закон сохранения момента импульса

или

I₁w₁ + I₂w₂ = I₁^΄w₁^΄ + I₂^΄w₂^΄ .                              

2. Записать закон для задачи

(I₁ +I₂) w = (I₁ + I₂^΄) w^΄,                                  (1)

 

где: I₁ - момент инерции платформы; I₂ - момент инерции человека, стоящего в центре платформы; w - угловая скорость платформы с человеком, стоящим в центре; I₂^΄ - момент инерции человека, стоящего на краю платформы; w^΄ - угловая скорость платформы с человеком, стоящим на ее краю.

    3. Линейная скорость человека, стоящего на краю платформы, связана с угловой скоростью соотношением:

v =w^΄R.                                           (2)

4. Угловую скорость w^΄ выразить из уравнения (1)

 

и подставить в уравнение (2)

.                                (3)

5. Момент инерции платформы - диска

момент инерции человека - материальной точки

I₂ = 0; I₂^’ = m₂R².

Угловая скорость платформы w до перехода человека

w = 2p n.

6. Подставить выражения I₁, I₂, I₂^’ и w в формулу (3)

и упростить

7. Подставить числовые значения величин

                                                                                                                

№ 9. Трамвайный вагон массой 16 т движется по горизонтальному пути со скоростью 6 м/с. Какова должна быть тормозящая сила, чтобы остановить вагон на расстоянии 10 м?

Р е ш е н и е.

Большинство задач механики можно решать двумя способами: используя законы динамики или с помощью законов сохранения и превращения энергии. Предлагаемую задачу решим вторым способом.

1. Определить, какие силы действуют в системе. Так как в системе работают и консервативные силы (mg) и неконсервативные (F_тр), а движение горизонтальное, удобно применить теорему об изменении кинетической энергии

2. Сделать чертеж, на котором указать начальное и конечное положения тела, силы, скорость, ускорение и систему отсчета. Принять горизонтальный путь по рельсам за нулевой уровень потенциальной энергии.

3. Расписать уравнение

.

Кинетическая энергия в конечном состоянии mv₂²/2 = 0, работы сил тяжести и нормальной реакции опоры в направлении оси х тоже равны нулю (А = F S cosa).

4. Записать уравнение в окончательном варианте

.

5. Определить силу торможения

Подставить данные

                                                                                                                

№ 10. Люстра весом 98 Н висит на цепи, которая выдерживает нагрузку 196 Н. На какой максимальный угол a можно отклонить люстру от положения равновесия, чтобы при последующих колебаниях цепь не оборвалась?

Р е ш е н и е.

1. Определить, какие силы действуют в системе (сила тяжести mg и сила натяжения нити F_н), и выбрать идею решения. Так как в задаче фиксируются два положения тела, а система консервативна (работа неконсервативных сил равна нулю), то решить задачу можно с использованием закона сохранения энергии.

Е_м = const, A^нк = 0.

      2. Сделать чертеж. За нулевой уровень потенциальной энергии удобно принять уровень положения равновесия (т. О). Отметить положения I и II системы, силы тяжести и натяжения, вектор нормального ускорения, скорость при прохождении положения равновесия, высоту h, на которую поднимается люстра, угол отклонения a.

3. Расписать закон сохранения энергии

Е_мI = E_мII; E_пI + 0 = 0 + E_кII; mgh = .

4. Так как этого уравнения недостаточно для нахождения неизвестного, применить II закон Ньютона для криволинейного движения и решить систему двух уравнений

1. mgh = ,

2. .

5. Записать второе уравнение в скалярной форме (через проекции на ось х): 

х: , где R = l - длина нити.

Из первого уравнения выразить mv² и подставить в х)

F_н - mg = .

6. Ввести неизвестное, обратившись к рисунку.

Из треугольника АВС: ВС = АВ cosa = l cosa.

h = l - l cosa = l (1- cosa)

Высотуподнятия h подставить в рабочее уравнение и найти a

F_н - mg = 2mg(1- cosa),

cosa = ,

cosa = 0,5; a  = 60⁰.

№ 11. Какую мощность N должен развить мотор самолета для обеспечения подъема самолета на высоту h = 1 км, если масса самолета m = 3000 кг, а время подъема t = 1 мин? Движение считать равноускоренным.

Р е ш е н и е.

1. Как и в предыдущих задачах, определить силы, действующие в системе, выбрать идею решения.

Так как система неконсервативна - на самолет действуют консервативная сила тяжести ( ) и неконсервативная сила тяги ( ), - а движение вертикальное, удобно выбрать закон превращения полной механической энергии.

Е_мII - Е_мI = A^нк,

где Е_м = Е_к + Е_п.

2. Сделать чертеж

3. Расписать уравнение

( ) - 0 = A_Т,

где A_Т - работа силы тяги мотора, 0 - полная энергия в положении I.

4. Записать уравнение мощности по определению

и подставить в него выражение A_Т.

5. Выразить скорость v в конечном состоянии II, используя уравнения равноускоренного движения v² - v₀²= 2ah и v = v₀ + at , где v₀ = 0.

h = v_срt = (0 + v)t/2,

.

6. Подставить v в формулу мощности

7. Произвести вычисления

N_ср = 0,8 МВт.

 

№ 12. На краю диска, масса которого m и радиус R, стоит человек массой M. Диск совершает вращательное движение с частотой n об/с. Чему равна кинетическая энергия системы? Чему равна работа внешних сил, в результате действия которых частота вращения увеличивается вдвое?

Р е ш е н и е.

Записать формулу кинетической энергии вращающегося тела

                                          (1)

где I - момент инерции системы; w - угловая скорость вращения системы.

Выразить момент инерции системы I и угловую скорость w. Момент инерции системы складывается из моментов инерции тел системы

I = I₁ + I₂,                                                

где I₁ =  - момент инерции диска; I₂ =  - момент инерции человека. Угловая скорость w = 2pn. Подставить выражения I₁ и  I₂ в формулу (1)

 

.                         (2)

Работу сил определить по теореме об изменении кинетической энергии

.

Используя уравнение (2) и условие n₂ = 2n₁, записать

 

А = p² 4n²R²(m + 2M) - p² n²R²(m + 2M) = 3p² n²R²(m + 2M).

№ 13. Материальная точка массой m = 0,01 кг совершает гармонические колебания по закону синуса с периодом Т = 2 с и начальной фазой j₀, равной нулю. Полная энергия колеблющейся точки Е = 0,1 мДж.

Требуется: найти амплитуду А колебаний; написать закон данных колебаний x = f(t); найти наибольшее значение силы F_max, действующей на точку.

Р е ш е н и е.

1. Записать закон гармонических колебаний

x = A sinw t.

Так как закон не дает возможности определить амплитуду А, обратиться к условию задачи и воспользоваться полной энергией Е. Полная энергия колеблющейся точки Е равна, например, ее максимальной кинетической энергии Е_к,max.

Скорость v колеблющейся точки определить, взяв первую производную смещения х по времени

.

Учесть, что v_max = A w (cosj =1) и подставить это выражение в уравнение энергии Е_к,max

Найти амплитуду колебаний

.

Выразить амплитуду через период Т, учитывая что .

.

Произвести вычисления

w = p с^-1

 м.

2. написать уравнение гармонических колебаний для данной точки:

х = 0,045sinp t.

3. записать второй закон Ньютона

|F_max|  = ma.

Ускорение колеблющейся точки найти, взяв первую производную скорости по времени:

.

Максимальное ускорение ( при sinw t = 1)

|a_мах| = Aw².

Записать выражение силы

|F_max| = mAw².

Произвести вычисления

F_max = 0,01×0,045×3,14² Н = 4,44 10^-3 Н.

 

№ 14. Складываются два колебания одинакового направления, заданные уравнениями:

x₁ = cosp (t + 1/6),

x₂ = 2cosp (t +1/2)

(длина в см, время в с).

Требуется: Определить амплитуды, периоды и начальные фазы складывающихся колебаний; Написать уравнение результирующего колебания.

Р е ш е н и е.

1. Записать уравнение гармонического колебания в общем виде:

x = A cos ( ) .                                 (1)

2. Привести заданные уравнения в соответствие с общим уравнением

х₁ = A cos ( ),                                    (2)

х₂ = A cos ( ).                                    (3)

3. Сравнить уравнения (2) и (3) с (1). Из сравнения: А₁ = 1см; А₂ = 2 см.

= p t; = p t; Þ T₁= 2c; T₂ = 2c.

j₀₁ = p / 6 рад = 30⁰; j₀₂ = p / 2 рад = 90⁰.

Для написания уравнения результирующего колебания необходимо определить параметры результирующего колебания: T, А, j₀.

1. Так как периоды колебаний одинаковы, период результирующего колебания будет тот же T = 2c.

2. Для определения амплитуды результирующего колебания А удобно воспользоваться векторной диаграммой. В системе координат х0y отложить под углами, соответствующими начальным фазам, векторы амплитуд  и . На них, как на сторонах, построить параллелограмм, диагональ которого и будет амплитудой результирующего колебания. Ее величину определить, используя теорему косинусов.

А =

Подставить числовые значения

 см.

Начальную фазу результирующего колебания определить по тангенсу угла j₀.

,

откуда начальная фаза

.

Подставить данные

Таким образом параметры результирующего колебания найдены:

А = 2,6 см; Т = 2 с; j = 0,4 p рад.

Написать закон колебания

) см

или

x = 2,6 cosp (t + 0,4) см.

№ 15. Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях, уравнения которых имеют вид:

x = cosp t,                                              (1)

y = 2cos  ,                                          (2)

(амплитуда - в см, время - в с).

Определить траекторию точки и построить ее с соблюдением масштаба.

Р е ш е н и е.

Для определения траектории необходимо получить зависимость координат y = f(x).Для этого из уравнений (1) и (2) исключить время. Применив формулу косинуса половинного угла

можно записать

y=2 .

Так как cosp t = x (1), то

 ; у = .

или

y² = 2 +2x.

х	у =
-1	0
-0,75	± 0,1
-0,5	± 1
0	± 1,41
0,5	± 1,73
1	± 2

Полученное уравнение представляет собой уравнение параболы, ось которой лежит на оси Оx. Как показывают уравнения (1) и (2), амплитуда колебаний точки по оси Оx равна 1, а по оси Оy = 2. Следовательно, абсциссы всех точек траектории заключены в пределах от -1 до +1, а ординаты от -2 до +2.

                                                                                                            Для построения траектории по уравнению (3) найти значения y, соответствующие ряду значений х, удовлетворяющих условию |x| £ 1.

Начертив координатные оси и выбрав масштаб, построить точки. Соединив их плавной кривой, получить траекторию точки. Она представляет собой часть параболы, заключенной внутри прямоугольника амплитуд АВСД. Из уравнений (1) и (2) находим периоды колебаний по горизонтальной и вертикальной осям Т_х и Т_у

    , х = соsp t, y = 2cos .

t, с	x	y	положение точки
0	1	2	положение А
1	-1	0	вершина параболы
2	1	-2	положение D

Приравнивая аргументы, выразим Т_х

аналогично - Т_у = 4 с.

Следовательно, когда точка совершит одно полное колебание по оси Оx, она совершит только половину полного колебания по оси Оy. После этого она будет двигаться в обратном направлении.

 

№ 16. Физический маятник представляет собой стержень длиной l = 1 м и массой 3m₁ с прикрепленным к одному из его концов обручем диаметром D = l/2и массой m₁. Горизонтальная ось маятника проходит через середину стержня перпендикулярно ему. Определить период T колебаний этого маятника.

Р е ш е н и е.

1. Записать формулу периода колебаний физического маятника

                                      (1)

где I - момент инерции маятника относительно оси колебаний; m - его масса; d - расстояние от центра масс маятника (точка С) до оси колебаний (точка О).

2. Определить момент инерции системы. Момент инерции маятника равен сумме моментов инерции стержня I₁ и обруча I₂

I = I₁ + I₂.                                (2)

Момент инерции стержня относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его центр масс, определить по формуле . В данном случае m = 3m и

.

Момент инерции обруча найти по теореме Штейнера

I₂ = I₀ + ma²,

где I₂ = момент инерции обруча относительно произвольной оси; I₀ - момент инерции, относительно оси, проходящей через центр масс обруча параллельно заданной оси; а - расстояние между указанными осями.

Найти момент инерции системы, подставив выражения I₁ и I₂ в формулу (2).

.

3. Найти расстояние d от оси колебаний до центра масс маятника

4. Определить период колебаний Т, подставив в формулу (1) момент инерции маятника I, расстояние d, массу системы (m = m₁ +3m₁ = 4m₁).

Т = 2,17 с.

 

№ 17. Волна распространяется по прямой со скоростью v = 20 м/с. Две точки, находящиеся на этой прямой на расстоянии l₁ = 12 м и l₂ = 15 м от источника волн, колеблются по закону синуса с одинаковыми амплитудами А = 0,1 м и с разностью фаз D j = 0,75p. Найти: длину волны l ; написать уравнение волны; найти смещение указанных точек в момент времени t = 1,2 с.

Р е ш е н и е.

1. Точки, находящиеся друг от друга на расстоянии, равном длине волны l, колеблются с разностью фаз, равной 2p; точки, находящиеся друг от друга на любом расстоянии Dl, колеблются с разностью фаз

Решить это уравнение относительно l

,

где Dl - расстояние между точками, равное 3 м.

Подставить значения величин

 = 8 м.

2. Записать уравнение плоской волны

s = A sin (w t – k x ),

где к - волновое число 2p/l,

или                                         s = A sinw (t - ).

Найти циклическую частоту w ,

 решая систему относительно w, получаем

Написать уравнение волны

s = 0,1sin5p (t - ).

3. Найти смещение s, подставляя в это уравнение значения t и l.

s₁ = 0,1sin5p(1,2 - 12/20) = 0,1sin3p = 0;

s₂ = 0,1sin5p(1,2 - 15/20) = 0,1sin2,25p = 1sin0,25p = 0,071 м.

 

4.2. ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАЧИ

 

1. Точка движется по окружности радиусом R = 4 м. Закон ее движения выражается уравнением S = A + Bt², где А = 6 м, В = -2 м/с². Найти момент времени t, когда нормальное ускорение точки а_n = 9 м/с², скорость v, тангенциальное ускорение а_t и полное ускорение точки а. (Ответ. 1,5 с; -6 м/c; -4 м/c²; 9,84 м/с²).

2. Две материальные точки движутся согласно уравнениям: x = A₁t +B₁t² + C₁t³ и x₂ = A₂t +B₂t² + C₂t³, где А₁ = 4 м/с; В₁ = 8 м/с²; С₁ = -16 м/с³; A₂ = 2 м/c; B₂ = -4 м/с²; С₂ = 1 м/с³. В какой момент времени t ускорения этих точек будут одинаковыми? Найти скорости v₁ и v₂ точек в этот момент. (Ответ. 0,235 с; 5,1 м/с; 0,286 м/с).

3. Шар массой m₁ = 10 кг сталкивается с шаром массой m₂ = 4 кг. Скорость первого шара v₁ = 4 м/c, второго - v₂ = 12 м/с. Найти общую скорость u шаров после удара в двух случаях: 1) когда малый шар нагоняет большой шар, движущийся в том же направлении; 2) когда шары движутся навстречу друг другу. Удар считать прямым, центральным, неупругим. (Ответ. 6,28 м/с; -0, 573 м/с).

4. В лодке массой М = 240 кг стоит человек массой m = 60 кг. Лодка плывет со скоростью v = 2 м/с. Человек прыгает с лодки в горизонтальном направлении со скоростью u = 4 м/c (относительно лодки). Найти скорость лодки после прыжка человека: 1) вперед по движению лодка; 2) в сторону, противоположную движению лодки. (Ответ. 1м/с; 3 м/с).

5. Человек, стоящий в лодке, сделал шесть шагов вдоль нее и остановился. На сколько шагов передвинулась лодка, если масса лодки в два раза больше массы человека или в два раза меньше? (Ответ: 2 шага, 4 шага).

6. Из пружинного пистолета выстрелили пулькой, масса которой m = 5 г. Жесткость пружины к = 1,25 кН/м. Пружина была сжата на Dl = 8 см. Определить скорость пульки при вылете из пистолета. (Ответ. 40 м/c).

7. Шар массой m₁ = 200 г, движущийся со скоростью v₁ = 10 м/с, ударяет неподвижный шар массой m₂ = 800 г. Удар прямой, центральный, упругий. Определить скорости шаров после удара. (Ответ. -6 м/с; 4 м/с).

8. Шар, движущийся горизонтально, столкнулся с неподвижным шаром и передал ему 64% своей кинетической энергии. Шары упругие, удар прямой, центральный. Во сколько раз масса второго шара больше первого? (Ответ. в 4 раза).

9. Цилиндр, расположенный горизонтально, может вращаться около оси, совпадающей с осью цилиндра. Масса цилиндра m₁ = 12 кг. На цилиндр намотали шнур, к которому привязали гирю массой m₂ = 1 кг. С каким ускорением будет опускаться гиря? (Ответ. 1,4 м/с²; 8,4 Н).

10. Через блок, выполненный в виде колеса. Перекинута нить, к концам которой привязаны грузы m₁= 100г и m₂ = 300 г. Массу колеса считать равномерно распределенной по ободу, массой спиц пренебречь. Определить ускорение, с которым будут двигаться грузы, и силы натяжения по обе стороны блока. (Ответ. 3,27 м/с²; 1,31 Н; 1,9 Н).

11. Двум одинаковым маховикам, находящимся в покое, сообщили одинаковую угловую скорость w = 63 рад/с и предоставили их самим себе. Под действием сил трения первый маховик остановился через одну минуту, а второй сделал до полной остановки N = 300 об. У какого маховика тормозящий момент больше и во сколько раз? (Ответ. У первого больше в 1,2 раза).

12. Шар скатывается с наклонной плоскости высотой h = 90 см. Какую линейную скорость будет иметь центр шара в тот момент, когда шар скатится с наклонной плоскости? (Ответ. 3,55 м/с).

13. На верхней поверхности горизонтального диска, который может вращаться вокруг вертикальной оси, проложены по окружности радиуса r  = 50 см рельсы игрушечной железной дороги. Масса диска  М = 10 кг, его радиус R = 60 см. На рельсы диска был поставлен заводной паровозик m = 1 кг и выпущен из рук. Он начал двигаться относительно рельсов со скоростью и = 0.8 м/с. С какой угловой скоростью будет вращаться диск? (Ответ. 0,195 рад/с).

14. Платформа в виде диска вращается по инерции около вертикальной оси с частотой n₁ = 14 об/мин. На краю платформы стоит человек. Когда человек перешел в центр платформы, частота возросла до n₂ = 25 об/мин. Масса человека m = 70 кг. Определить массу платформы М Момент инерции человека рассчитывать, как для материальной точки. (Ответ. 210 кг).

15. Искусственный спутник вращается вокруг Земли по круговой орбите на высоте h = 3200 км над Землей. Определить линейную скорость спутника. (Ответ. 6,45 км/с).

16. Точка совершает гармонические колебания. В некоторый момент времени смещение точки х = 5 см, скорость v = 20 см/с и ускорение а = -80 см/с². Найти циклическую частоту и период колебаний, фазу колебаний в рассматриваемый момент времени и амплитуду колебаний. (Ответ. 4 с ^-1; 1,57 с; p/4 рад; 7,07 см).

17. Точка совершает гармонические колебания, уравнение которых имеет вид: х = А sin w t, где А = 5 см, w = 2 с^-1. Найти момент времени (ближайший к началу отсчета), в который потенциальная энергия точки Е_п =10^-4 Дж, а возвращающая сила F = 5×10^-3 Н. Определить также фазу колебаний в этот момент времени. (Ответ. 2.04 с; 4,07 рад).

18. Два гармонических колебания, направленных по одной прямой, имеющих одинаковые амплитуды и периоды, складываются в одно колебание той же амплитуды. Найти разность фаз складываемых колебаний. (Ответ. 120⁰ или 240⁰).

19. Точка совершает одновременно два гармонических колебания, происходящих по взаимно перпендикулярным направлениям и выражаемых уравнениями: х = A₁cosw₁t и y = A₂cosw₂(t + t), где А₁ = 4 см; А₂ = 8 см; w₁ = p с^-1; w₂ = p с^-1; t = 1 с. Найти уравнение траектории и начертить ее с соблюдением масштаба. (Ответ. 2х + у = 0.).

20. Поперечная волна распространяется вдоль упругого шнура со скоростью v = 15 м/с. Период колебаний точек шнура Т = 1,2 с. Определить разность фаз D j колебаний двух точек, лежащих на луче и отстоящих от источника волн на расстояниях х₁ = 20 м и х₂ = 30 м. (Ответ. 200⁰).

ПРОВЕРОЧНЫЙ ТЕСТ

 

1. Тело движется по траектории, указанной на рисунке, так, что его нормальное ускоре­ние остается постоянным. В какой точке траектории скорость тела наибольшая?

Варианты ответа:

1) Q, 2) N, 3) M, 4) L, 5)K.

2. Мяч падает с высоты h. После отскока его скорость составляет 80% от скорости непосредственно перед ударом об пол. Высота, на которую поднимется мяч после удара, наиболее близка к:

Варианты ответа:

1 ) 0,647h; 2) 0,947h; 3) 0,807h; 4) 0,757h;5) 0,507h.

3. Камень брошен под углом 60⁰ к горизонту. Как соотносятся между собой начальная кинетическая энергия Т₁ камня с его кинетической энергией Т₂ в верхней точке траектории?

Варианты ответа:

1) Т₁ = 4Т₂; 2) Т₁ = ¾ Т₂; 3) Т₁ = ; 4) Т₁ =  Т₂; 5) Т₁ = 2 Т₂.

4. Цилиндр радиуса R, расположенный вертикально, вращается вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью. На внутренней поверхности цилиндра находится небольшое тело, вращающееся вместе с цилиндром. Коэффициент трения между телом и поверхностью цилиндра равен μ. При какой минимальной угловой скорости вращения цилиндра тело еще не будет скользить вниз по поверхности цилиндра?

Варианты ответа: 1) ; 2) ; 3) ; ; .

5. Шарик массой m, подвешенный на нити, качается в вертикальной плоскости так, что его ускорение в крайнем и нижнем положениях равны по модулю друг другу. Если угол отклонения нити в крайнем положении равен α, то сила натяжения нити в нижнем положении равна

Варианты ответа:

1) mg (1+sinα); 2) mg (1+cosα); 3)  mg (1-cosα); 4) 3 mg; 5) mg (1-sinα).

 6. На вал с насажанным на него колесом диаметром 20 см, относительно оси действует вращающий момент 8 Н×м. С какой минимальной силой должна быть прижата тормозная колодка к ободу вращающегося колеса, чтобы колесо остановилось?

Варианты ответа: 1) 100 Н; 2) 10 Н; 3) 80 Н; 4) 50 Н; 5) 200 Н. 

7. Два маленьких шарика А и В из пластилина массой М и 3М соответственно подвешены к потолку на нитях одинаковой дли­ны l.  Шарик А отклоняют так, что он поднимается на высоту h  и опускают. После столкновения шариков А и В они поднимаются на макси­мальную высоту, равную...

Варианты ответа: 1) (1/16)h;   2) (1/8)h ; 3) (1/4)h;  4) (1/3)h; 5) (1/2)h.

8. Диск начинает вращаться вокруг неподвижной оси; при этом угол поворота j меняется по закону: j = (2t² - t). Чему равны угловая скорость и угловое ускорение диска через 2c?

Варианты ответа:

1) 7 [1/c], 4 [1/с²]; 2) 8 [1/c], 3 [1/с²]; 3) 7 [1/c), 3 (1/с²];

2) 4) 8 [1/c], 4 [1/с²]; 5) 4 [1/c], 4 [1/с²].

9. Человек, стоящий на вращающейся скамье Жуковского, повернул вертикально расположенный в руках стержень в горизонтальное положение. В результате этого у системы:

А. Увеличится момент инерции.    Б. Увеличится угловая скорость.

В. Момент импульса не изменится. Г. Увеличится кинетическая энергия.

Варианты ответа: 1) только А и В; 2) только Б и Г; 3) только А, Б и Г;

                                      4) только В; 5) только А.

10. Момент инерции однородного тела зависит от:

А. Момента приложенных к телу сил.   Б. Массы тела.

В. Формы и размеров тела.                      Г. Выбора оси вращения.

Д. Углового ускорения.

Варианты ответа:

1) Б, В и Г; 2) Б и В; 3) А и Д; 4) А, Г и Д; 5) от всех этих факторов.

11. Теломожет вращаться относительно оси ОО' под действием сил F₁, F₂, F₃ и F₄ (см. рис.). Момент какой силы относительно ОО' отличен от нуля, если ось вращения и вектора сил лежат в плоскости рисунка?

Варианты ответа:

1) моменты всех сил относительно оси ОО' равны нулю

2) F₁; 3) F₂; 4) F₃; 5) F_4.

 

12. На рисунке приведены 2 маятника, отличающиеся положением грузов на невесомом стержне. Указать верные утверждения для этих маятников.

А. Момент инерции маятника I больше момента инерции маятника II.

Б. Оба маятника имеют одинаковую частоту колебаний.

В. Период колебаний маятника зависит как от его момента инерции, так и от положения центра масс.

Г. Маятник I можно считать математическим.

Д. Период колебаний маятника I больше периода колебаний маятника

Варианты ответа:

1) А, В, Г, Д; 2) В, Г, Д; 3) В, Д; 4) А, Б, В; 5) Б, Г.

13. Крутильный маятник представляет собой вертикальную проволоку, на нижнем конце которой закреплен очень легкий горизонтальный стержень с двумя грузами небольших размеров. Во сколько раз изменится период колебаний маятника, если расстояние от оси вращения до грузов увеличить в два раза?

Варианты ответа:

1) увеличится в 2 раза; 2) увеличится в 4 раза; 3) увеличится в  раз;

4) уменьшится  раз; 5) уменьшится в 2 раза.

14. Маятник настенных механических часов представляет собой легкий стержень с гpузиком. Для регулировки точности хода часов гpузик можно перемещать по стержню. Как изменится период колебаний маятника, если гpузик переместить с конца стержня на середину?

Варианты ответа:

1) уменьшится  раз ; 2) увеличится в 2 раза; 3) увеличится в 4 раза ;

4) увеличится в  раз; 5) уменьшится в 2 раза.

15. Частица может колебаться вдоль оси x под действием результирующей силы F = -k x с амплитудой А и частотой w, где k - поло­жительная константа. В момент, когда x = A/2, скорость частицы будет равна:

Варианты ответа:

1)   А w ; 2) 2w А;  3)  w А;  4) w А; 5) (1/3) w А.

16. Момент инерции однородного диска массойm и радиусомR от­носительно оси, проходящей через его центр масс перпендикулярно плоскости диска, равен J = ¹/₂ mR ². Чему равен момент инерции диска относительно оси, проходящей через его край и перпендикулярной плоскости диска?

Варианты ответа: 1) ³/₂ mR²; 2) ¹/₂ mR² ; 3) mR² ; 4) 0,4 mR² ; 5) 2mR² .

17. Момент импульса тела относительно неподвижной оси изменяет­ся по закону L = at². Какой из графиков правильно отражает зависимость величины момента сил, действующих на тело?

Варианты ответов:

1) с

2) a

3) b

4) e

5) d.

 

18. На твердое тело, находившееся в состоянии покоя, начал действовать постоянный момент силы. При этом:

А. момент импульса тела стал увеличиваться;

В. момент инерции тела стал увеличиваться;

С. кинетическая энергия тела стала увеличиваться;

D. угловое ускорение тела стало увеличиваться.

Варианты ответов:

1) только А и В; 2) только С; 3) только С и D; 4) В, С и D; 5) А, В, С и D.

 19. Если координаты тела массой m = 10 кг, движущегося прямолинейно вдоль оси х, меняются со временем по закону x = 10t (1-2t) м, то модуль силы, действующий на тело равен

Варианты ответа: 1) 400 Н; 2) 0 Н; 3) 10 Н; 4) 20 Н; 40 Н.

20. Уравнение y = A sin 2p (t/T - x/L), где А,T, l - положительные величины, описывает волну, для которой ...

Варианты ответа:

1) скорость равна l/T; 2) амплитуда равна 2А; 3) скорость направлена вдоль отрицательной оси x; 4) период равен T/p; 5) скорость равна x/t;

                                                                                                                

4.4. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1

 

№	Номера задач
0	100	110	120	130	140	150	160	170	180	190
1	101	111	121	131	141	151	161	171	181	191
2	102	112	122	132	142	152	162	172	182	192
3	103	113	123	133	143	153	163	173	183	193
4	104	114	124	134	144	154	164	174	184	194
5	105	115	125	135	145	155	165	175	185	195
6	106	116	126	136	146	156	166	176	186	196
7	107	117	127	137	147	157	167	177	187	197
8	108	118	128	138	148	158	168	178	188	198
9	109	119	129	139	149	159	169	179	189	199

 

100. Материальная точка движется по окружности с постоянной угловой скоростью рад/с. Во сколько раз путь DS, пройденный точкой за время t = 4 с, будет больше модуля ее перемещения D ? Принять, что в момент начала отсчета времени радиус-вектор , задающий положение точки на окружности, относительно исходного положения был повернут на угол рад.

101. Материальная точка движется прямолинейно с ускорением а = 5 м/с². Определить, на сколько путь, пройденный точкой в n-ю секунду, будет больше пути, пройденного в предыдущую секунду? Принять v₀ = 0.

102. Точка движется по окружности радиусом R = 20 см c постоянным ускорением а_t = 5 см/с². Через какое время после начала движения нормальное ускорение а_n точки будет: равно тангенциальному; 2) вдвое больше тангенциального?

103. Точка движется по окружности радиусом R = 30cм c постоянным угловым ускорением e. Определить тангенциальное ускорение а_t точки, если известно, что за время t = 4 c она совершила три оборота и в конце третьего оборота ее нормальное ускорение а_n = 2,7 м/с². Рассмотреть два случая: e >0, e<0.

104. Линейная скорость точек на окружности вращающегося диска v₁ =3 м/с. Точки, расположенные на 10 см ближе к оси, имеют линейную скорость v₂ =2 м/с. Сколько оборотов в секунду делает диск?

105. Первую половину пути тело двигалось со скоростью v₁ =2 м/с, вторую половину пути со скоростью V₂ =8 м/с. Определить среднюю скорость движения.

106. Точка движется по окружности радиусом R = 10 см с постоянным тангенциальным ускорением а_t. Найти нормальное ускорение а_n точки через t = 20 с после начала движения. Если известно, что к концу пятого оборота после начала движения линейная скорость точки равна v = 10 см/с.

107. Точка движется по прямой согласно уравнению: x = At + Bt³, где А = 6 м/с, В = -0,125 м/с³. Определить среднюю путевую скорость <v> точки в интервале времени от t₁ = 2 c до t₂ = 6 c.

108. Движение точки по прямой задано уравнением x =At +Bt², где А = 2 м/с, В = (-0,5)м/с². Определить среднюю скорость движения точки в интервале времени от t₁ =1c до t₂ =3c.

109. Из одного и того же места начали равноускоренно двигаться в одном направлении две точки, причем вторая начала свое движение через 2 с после первой. Первая точка двигалась с начальной скоростью v₁ = 1 м/с и ускорением a₁=2 м/с², вторая – с начальной скоростью v₂=10 м/с и ускорением а₂=1 м/с². Когда и где вторая точка догонит первую?

110. Мяч бросили со скоростью 10 м/с под углом 40⁰ к горизонту. Найти: на какую высоту поднимется мяч, на каком расстоянии от места бросания мяч упадет на землю, какое время он будет в движении?

111. Камень брошен в горизонтальном направлении. Через 0,5 с после начала движения численное значение скорости камня стало в 1,5 раза больше его начальной скорости. Найти начальную скорость камня. Сопротивление воздуха не учитывать.

112. С вышки бросили камень в горизонтальном направлении. Через 2 с камень упал на землю на расстоянии S = 40 м от основания вышки, Определить начальную v_о и конечную v скорости камня.

113. Пуля выпущена с начальной скоростью v_о =200 м/с под углом a =60 ^о к плоскости горизонта. Определить наибольшую высоту H подъема, дальность S ее полета. Сопротивлением воздуха пренебречь.

114. Тело брошено под углом a = 30⁰ к горизонту со скоростью v₀ = 30 м/с. Каковы будут нормальное a_n и тангенциальное а_t ускорения тела через время t = 1 с после начала движения?

115. Тело брошено под углом φ =30⁰ к горизонту. Найти тангенциальное а_τ и нормальное а_n ускорения в начальный момент движения.

116. Тело брошено со скоростью v₀ под углом к горизонту. Продолжительность полета 2,2 с. Найти наибольшую высоту поднятия этого тела.

117. Камень брошен горизонтально со скоростью v₀ = 15 м/с. Найти нормальное и тангенциальное ускорение камня через 1 с после начала движения.

118. Камень брошен вертикально вверх с начальной скоростью v_о = 20 м/с. Через сколько секунд камень будет находиться на высоте h =15 м? Какова будет скорость камня на этой высоте? Сопротивлением воздуха пренебречь.

119. С башни высотой H =25 м горизонтально брошен камень со скоростью v_о =15 м/с. Какое время камень будет в движении? На каком расстоянии S от основания башни он упадет на землю? С какой скоростью он упадет на землю? Какой угол составит траектория камня с горизонтом в точке его падения на землю? Сопротивлением воздуха пренебречь.

120. К пружинным весам подвешен блок. Через блок перекинули шнур, к концам которого привязали грузы массой m₁ = 1,5 кг и m₂ = 3 кг. Каково будет показание весов во время движения грузов? Массой блока и шнура пренебречь.

121. На барабан радиусом R =0,5 м намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m =10 кг. Найти момент инерции барабана, если известно, что груз опускается с ускорением а =2,04 м/с² ?

122. На концах нити, переброшенной через блок, висят на одинаковой высоте две гирьки массой по 96 г каждая. Если на одну из них положить перегрузок, вся система придет в движение и через 3 с расстояние между гирьками станет равным 1,8 м. Определить: вес перегрузка, силу натяжения нити, силу давления перегрузка на гирьку и силу давления на ось блока.

123. К концам нити, перекинутой через блок, укрепленный на динамометре, подвешены два груза массой 0,1 и 0,2 кг. Определить ускорение грузов, натяжение нити и показание динамометра.

124. Грузик, привязанный к нити длиной l = 1 м, описывает окружность в горизонтальной плоскости. Определить период Т обращения, если нить отклонена на угол j = 60⁰ от вертикали.

125. К краю стола прикреплен блок. Через блок перекинута невесомая и нерастяжимая нить, к концам которой прикреплены грузы. Один груз движется по поверхности стола, а другой – вдоль вертикали вниз. Определить коэффициент трения между поверхностями груза и стола, если масса каждого груза и блока одинаковы и грузы движутся с ускорением а = 2,6 м/с². Трением в блоке пренебречь.

126. Блок, имеющий форму диска массой m = 0,4 кг вращается под действием силы натяжения нити, к концам которой подвешены грузы m₁ = 0,3 кг и m₂ = 0,7 кг. Определить силы натяжения Т₁ и Т₂ нити по обе стороны блока.

127. Нить с привязанными к ее концам грузами m₁ = 50 г и m₂ = 60 г перекинута через блок диаметром D = 4 см. Определить момент инерции блока I , если под действием силы тяжести грузов он получил угловое ускорение e = 1,5 рад/с². Трением и проскальзыванием нити по блоку пренебречь.

128. Тонкий стержень длиной l = 50 см и массой m = 400 г вращается с угловым ускорением e = 3 рад/с² около оси, проходящей через середину стержня перпендикулярно к его длине. Определить вращающий момент М.

129. По ободу шкива, насажанного на общую ось с маховым колесом, намотана нить, к концу которой подвешен груз массой m = 1 кг. На какое расстояние h должен опуститься груз, чтобы колесо со шкивом получило частоту вращения n = 60 об/мин? Момент инерции колеса со шкивом I = 0, 42 кг×м², радиус шкива R = 10 см.

130. Орудие, жестко закрепленное на железнодорожной платформе, производит выстрел вдоль полотна железной дороги под углом a = 30⁰ к линии горизонта. Определить скорость u₂ отката платформы, если снаряд вылетает со скоростью u₁ = 480 м/с. Масса платформы с орудием и снарядами m₂ = 18 т, масса снаряда m₁ = 60 кг.

131. Снаряд массой m = 10 кг, обладал скоростью v = 200 м/с в верхней точке траектории. В этой точке он разорвался на две части. Меньшая часть массой m₁ = 3 кг, получила скорость u₁ = 400 м/с в прежнем направлении. Найти скорость u₂ второй, большей части, после разрыва.

132. С тележки, свободно движущейся по горизонтальному пути со скоростью v₁ = 3 м/с, в сторону, противоположную движению тележки, спрыгнул человек, после чего скорость тележки изменилась и стала равной u₁ = 4 м/с. Определить горизонтальную составляющую скорости u₂ человека при прыжке относительно тележки. Масса тележки m₁ = 210 кг, масса человека m₂ = 70 кг.

133. На полу стоит тележка в виде длинной доски, снабженной легкими колесами. На одном конце стоит человек. Масса его m₁ = 60 кг, масса доски m₂ = 20 кг. С какой скоростью (относительно пола) будет двигаться тележка, если человек пойдет вдоль нее со скоростью (относительно доски) v = 1 м/с? Массой колес и трением пренебречь.

134. Человек массой m₁= 70 кг, бегущий со скоростью v₁ = 9 км/час, догоняет тележку массой m₂ = 190 кг, движущуюся со скоростью v₂  = 3,6 км/час, и вскакивает на нее. С какой скоростью будет двигаться тележка с человеком?

135. На сколько переместится относительно берега лодка длиной l = 3,5 м и массой m₁ = 200 кг, если стоящий на корме человек массой m₂ = 80 кг переместился на нос лодки? Считать лодку расположенной перпендикулярно берегу.

136. Определить импульс, полученный стенкой при ударе о нее шарика массой m = 300 г, если шарик двигался со скоростью v = 8 м/с под углом a = 60⁰  к плоскости стенки. Удар считать упругим.

137. С высоты h₁ = 2 м на стальную плиту свободно падает шарик массой m = 200 г и подпрыгивает на высоту h₂ = 0,5 м. Определить импульс, полученный плитой при ударе.

138. Человек и тележка движутся навстречу друг другу, причем масса человека в два раза больше массы тележки. Скорость человека 2 м/с, а тележки – 1 м/с. Человек вскакивает на тележку и остается на ней. Какова скорость человека с тележкой?

139. Снаряд массой m =10 кг обладал скоростью v = 200 м/с в верхней точке траектории. В этой точке он разорвался на две части. Меньшая часть массой m₁ =3 кг получила скорость v₁ = 400 м/с в прежнем направлении под углом φ =60^о к горизонту. С какой скоростью и в каком направлении полетит большая часть снаряда?

140. Тело массой m₁ =2 кг движется навстречу второму телу, масса которого m₂ =1,5 кг, и не упруго сталкивается с ним. Скорость тел непосредственно перед столкновением была равна соответственно v₁ = 1 м/с и v₂ =2 м/с. Какое время будут двигаться эти тела после столкновения, если коэффициент трения k=0,05 ?

141. На горизонтальном столе лежит брусок массой 5 кг. В брусок попадает пуля массой 10 г, летящая горизонтально со скоростью 500 м/с. Какое расстояние пройдет брусок по столу до полной остановки? Коэффициент трения бруска о стол k=0,05.

142. Вычислить работу, совершаемую при равноускоренном подъеме груза массой 100 кг на высоту 4 м за время 2 с.

143. Под действием груза в 20 Н, подвешенного к пружине, пружина растянулась на 10 см. Определить потенциальную энергию пружины.

144. Если на верхний конец вертикально расположенной спиральной пружины положить груз, то пружина сжимается на Dl = 3 мм. На сколько сожмет пружину тот же груз, упавший на ее конец с высоты h = 8 см?

145. Конькобежец, стоя на льду, бросил вперед гирю массой m₁= 5 кг и вследствие отдачи покатился назад со скоростью u₂ = 1 м/с. Масса конькобежца m₂ = 60 кг. Определить работу, совершенную конькобежцем при бросании гири.

146. Сплошной однородный диск катится по горизонтальной плоскости со скоростью 10 м/с. Какое расстояние пройдет диск до остановки, если его предоставить самому себе? Коэффициент сопротивления движению диска равен 0,02.

147. Сплошной цилиндр скатился с наклонной плоскости высотой 15 см. Какую скорость поступательного движения будет иметь цилиндр в конце наклонной плоскости?

148. В деревянный шар массой m₁ = 8 кг, подвешенный на нити длиной 1,8 м, попадает горизонтально летящая пуля массой m₂ = 4 г. С какой скоростью летела пуля, если нить с шаром и застрявшей в ней пулей отклонилась от вертикали на угол a = 3⁰? Размером шара пренебречь. Удар прямой, центральный.

149. Атом распадается на две части массами m₁ = 1,6 10^-25 кг и m₂ =2,3 10^-25 кг. Определить кинетические энергии Т₁ и Т₂ частей атома, если их общая кинетическая энергия Т = 2,2 10^-11 Дж. Кинетической энергией и импульсом атома до распада пренебречь.

150. Горизонтальная платформа массой 200 кг вращается вокруг горизонтальной оси, проходящей через центр платформы, делая 10 об/с. Человек массой 60 кг стоит на расстоянии R от центра платформы. Сколько оборотов в секунду будет делать платформа, если расстояние человека от центра платформы станет равным R/2? Платформа - однородный диск радиусом R м, человек - точечная масса.

151. На краю горизонтальной неподвижной платформы, имеющей форму диска радиусом 2 м, стоит человек. Масса платформы 200 кг, масса человека 80 кг. Платформа может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр. Пренебрегая трением, найти, с какой угловой скоростью будет вращаться платформа, если человек будет идти вдоль ее края со скоростью 2 м/с относительно платформы.

152. В центре скамьи Жуковского стоит человек и держит в руках металлический стержень длиной l = 1,5 м и массой 8 кг вертикально по оси вращения. При этом скамейка с человеком вращается с частотой n₁  = 4 об/с. Момент инерции человека и скамейки I = 6 кг м². Сколько оборотов в секунду будет делать скамья с человеком, если человек повернет стержень в горизонтальное положение, причем центр масс стержня находится на расстоянии l/3 от оси.

153. Платформа в виде диска радиусом 1 м вращается по инерции с частотой 6 об/мин. На краю платформы стоит человек, масса которого 80 кг. С какой частотой будет вращаться платформа, если человек перейдет в её центр? Момент инерции платформы 120 кг∙м². Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки.

154. Деревянный стержень массой m = 1 кг и длиной l  = 0,4 м может вращаться около оси, проходящей через его середину перпендикулярно стержню. В конец стержня попадает пуля массой 0,01 кг, летящая перпендикулярно стержню со скоростью 200 м/с. Сколько оборотов в секунду будет делать стержень, если пуля застрянет в нем?

155. На скамье Жуковского, вращающейся около вертикальной оси с частотой 2 об/с, стоит человек и держит на вытянутых руках две одинаковые гири. Расстояние между гирями равно 1,5 м. Когда человек опускает руки, расстояние между гирями становится равным 0,4 м и частота вращения скамьи 3 об/с. Момент инерции человека и скамьи 8 кг м². Трением пренебречь. Определить массу гири.

156. Платформа в виде диска диаметром D = 3 м и массой m₁ = 180 кг может вращаться вокруг вертикальной оси. С какой угловой скоростью w₁ будет вращаться эта платформа, если по ее краю пойдет человек массой m₂ = 70 кг со скоростью v = 1,8 м/с относительно платформы?

157. Горизонтальная платформа массой m =100 кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы, с частотой n₁ =10 об/мин. Человек массой m =60 кг стоит при этом на краю платформы. С какой частотой n₂ начнет вращаться платформа, если человек перейдет от края платформы к её центру. Считать платформу однородным диском, а человека – точечной массой.

158. Однородный стержень длиной l = 1 м может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через один из его концов. В другой конец абсолютно не упруго ударяет пуля массой m = 7 г, летящая перпендикулярно стержню и его оси. Определить массу М стержня, если в результате попадания пули он отклонился на угол a = 60⁰. Принять скорость пули v = 360 м/с. Масса стержня много больше массы пули.

159. В центре скамьи Жуковского стоит человек и держит в руках металлический стержень длиной l = 1,5 м и массой 8 кг вертикально оси вращения. При этом скамейка с человеком вращается с частотой n = 4 об/с. Момент инерции человека скамейки I = 6 кг×м²_. Сколько оборотов в секунду будет делать скамья с человеком, если человек повернет стержень в горизонтальное положение, причем человек держит стержень за конец?

160. На каком расстоянии от поверхности Земли ускорение свободного падения равно 1 м/c²?

161. Сравнить ускорение силы тяжести на поверхности Луны с ускорением силы тяжести на поверхности Земли.

162. Какова масса Земли, если известно, что Луна в течение года совершает 13 обращений вокруг Земли и расстояние от Земли до Луны равно 3,84×10⁸м?

163. С поверхности Земли вертикально вверх пущена ракета со скоростью v = 5 км/с. На какую высоту она поднимется?

164. По круговой орбите вокруг Земли обращается спутник с периодом Т = 90 мин. Определить высоту спутника. Ускорение свободного падения g₀ у поверхности Земли и ее радиус считать известными.

165. Какую скорость необходимо сообщить спутнику, чтобы вывести его на круговую орбиту на расстоянии 400 км от поверхности Земли?

166. Спутник обращается вокруг Земли по круговой орбите на высоте h = 520 км. Определить период обращения спутника. Ускорение свободного падения g₀ у поверхности Земли и ее радиус считать известными.

167. Определить линейную и угловую скорости спутника Земли, обращающегося по круговой орбите на высоте h = 1000 км. Ускорение свободного падения g₀ у поверхности Земли и ее радиус считать известными.

168. Во сколько раз средняя плотность земного вещества отличается от средней плотности лунного? Принять радиус Земли R_з в 390 раз больше радиуса Луны R_л и вес тела на Луне в 6 раз меньше веса тела на Земле.

169. Стационарный искусственный спутник движется по окружности в плоскости земного экватора, оставаясь все время над одной и той же точкой земной поверхности. Определить угловую скорость w спутника и радиус R его орбиты.

170. Однородный стержень совершает малые колебания в вертикальной плоскости около горизонтальной оси, проходящей через его верхний конец. Длина стержня l = 0,5 м. Определить период колебаний стержня и его приведенную длину.

171. Тонкий обруч, повешенный на гвоздь, вбитый горизонтально в стену, колеблется в плоскости, параллельной стене. Радиус R обруча равен 30 см. Вычислить период колебаний Т обруча.

172. Определить частоту гармонических колебаний диска радиусом R = 20 см, около горизонтальной оси, проходящей через середину радиуса диска перпендикулярно его плоскости.

173. Определить момент инерции тонкого стержня длиной 30 см и массой 100 г относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец.

174. Определить момент инерции тонкого стержня длиной 30 см и массой 100 г относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через точку, отстоящую от конца стержня на одну треть его длины.

175. Однородный стержень длиной 0,5 м совершает малые колебания около горизонтальной оси, проходящей на расстоянии 10 см от его верхнего конца. Определить период колебаний стержня.

176. Длина тонкого прямого стержня 60 см, масса – 100 г. Определить момент инерции стержня относительно оси, перпендикулярной к его длине и проходящей через точку стержня, удаленную на 20 см от одного из его концов.

177. Математический маятник длиной l = 1 м установлен в лифте. Лифт поднимается с ускорением a = 2,5 м/с². Определить период T колебаний маятника.

178. Из однородного диска радиусом R сделали физический маятник. Вначале ось проходит через образующую диска, потом – на расстоянии R/2 от центра диска. Определить отношение периодов колебаний.

179. Физический маятник представляет собой тонкий однородный стержень массой m с укрепленным в его середине маленьким шариком массой m. Маятник совершает колебания около горизонтальной оси, проходящей через конец стержня. Определить период гармонических колебаний Т маятника. Длина l стержня равна 1 м., шарик – материальная точка.

180. Точка совершает гармонические колебания, уравнение которых x = A sin w t, где А = 5 см, w = 2 с^-1. В момент времени, когда точка обладала потенциальной энергией Е = 0,1 мДж, на нее действует возвращающая сила F = 5 мН. Найти этот момент времени.

181. Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях, уравнения которых: х = сosp t см и y = 2 cos (p t/2) см. Определить траекторию точки. Построить траекторию с соблюдением масштаба.

182. Шарик массой m = 60 г колеблется с периодом Т = 2 с. В начальный момент времени смещение шарика х₀ = 4 см и он обладал энергией Е = 0,02 Дж. Записать уравнение гармонического колебания шарика и закон изменения возвращающей силы с течением времени.

183. Материальная точка массой 10 г совершает гармонические колебания, уравнение которых имеет вид х = 0,2 sin 8πt м. Найти возвращающую силу в момент времени t = 0,1 с, а также полную энергию точки.

184. Амплитуда затухающих колебаний маятника за время t = 5 мин уменьшилась в два раза. За какое время t₂, считая от начального момента, амплитуда уменьшится в восемь раз?

185. Складываются два колебания одинакового направления и периода: x₁ = A₁ sin w₁t и x₂ = A₂ sin w₂ (t +t) , где А₁ и А₂ = 3 см, w ₁ = w ₂ = p с^-1, t = 0,5 с. Определить амплитуду А и начальную фазу j ₀ результирующего колебания. Написать его уравнение. Построить векторную диаграмму для момента времени t = 0.

186. На гладком горизонтальном столе лежит шар массой М = 200 г, прикрепленный к горизонтально расположенной легкой пружине с жесткостью к = 500 Н/м. В шар попадает пуля массой m = 10 г, летящая со скоростью v = 300 м/с, и застревает в нем. Пренебрегая перемещением шара во время удара и сопротивлением воздуха, определить амплитуду А и период Т колебаний шара.

187. Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, уравнения которых: x₁ = A sin w₁t и x₂ = A cos w₂ t, где А₁= 8 см, А₂ = 4 см, w ₁ = w ₂ = 2 с^-1. Написать уравнение траектории и построить ее. Показать направление движения точки.

188. Точка совершает одновременно два колебания, происходящие по взаимно перпендикулярным направлениям и выражаемых уравнениями: x = A₁ sin w₁t и y = A₂ cos w₂t, где А₁ = 2 см, w₁ = 1 с^-1, А₂ = 2 см, w₂ = 2 с^-1. Найти уравнение траектории, построить ее с соблюдением масштаба и указать направление движения.

189. Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, выражаемых уравнениями: x = 2 cos ωt см и y = 3 sin 0,5ωt см. Найти уравнение траектории точки и построить ее.

190. От источника колебаний распространяется волна вдоль прямой линии. Амплитуда А колебаний равна 10 см. Как велико смещение точки, удаленной от источника на l = 3/4 l, в момент, когда от начала колебаний прошло время t = 0,9Т ?

191. Уравнение незатухающих колебаний дано в виде x = 4 sin 600p t см. Найти смещение от положения равновесия точки, находящейся на расстоянии 75 см от источника колебаний через 0,01 с после начала колебаний. Скорость распространения колебаний 300 м/с.

192. Определить скорость v распространения волн в упругой среде, если разность фаз D j двух точек, отстоящих друг от друга на D l = 15 см, равна p/2. Частота колебаний n = 25 Гц.

193. Две точки находятся на прямой, вдоль которой распространяются волны со скоростью v = 10 м/с. Период колебаний Т = 0,2 с, расстояние между точками D l = 1 м. Найти разность фаз D j колебаний в этих точках.

194. Уравнение незатухающих колебаний дано в виде x = sin 2,5p t см. Найти смещение от положения равновесия, скорость и ускорение точки, находящейся на расстоянии 20 м от источника колебаний, для момента t = 1 c после начала колебаний. Скорость распространения колебаний 100 м/с.

195. Найти смещение от положения равновесия точки, отстоящей от источника колебаний на расстоянии l = l/12, для момента t = T/6. Амплитуда колебаний А = 0,05 м.

196. Смещение от положения равновесия точки, находящейся на расстоянии 4 см от источника колебаний, в момент t = T/6 равно половине амплитуды. Найти длину бегущей волны.

197. Какую разность фаз будут иметь колебания двух точек, находящихся на расстоянии 10 и 16 м от источника колебаний? Период колебаний 0,04 с, скорость распространения колебаний 300 м/с .

198. Волна распространяется в упругой среде со скоростью v = 100 м/с. Наименьшее расстояние D l между точками среды, фазы колебаний которых противоположны, равно 1 м. Определить частоту n колебаний.

199. Уравнение незатухающих колебаний дано в виде: x = 10 sin 0,5p t. Найти: уравнение волны, если скорость распространения колебаний 300 м/с; написать уравнение колебаний для точки, отстоящей от источника колебаний на 600 м; написать уравнение колебаний для точек волны в момент t = 4 с от начала колебаний.

 

5. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

 

Молекулярная физика. Термодинамика

1. Моль – количество вещества (молекул) масса которого в граммах

численно равна массе молекулы m₀ в атомных единицах массы (1 а.е.м. равна 1/12 массы атома углерода ₆С¹²).

2. Количество вещества тела (системы) в молях

ν = N / N_A = m/μ,

где N – число структурных элементов (молекул, атомов, ионов и т.п.), составляющих тело (систему); N_А – постоянная Авогадро (N_А = 6,02∙10²³ моль^-1); μ – масса моля вещества.

3. Количество вещества смеси газов

ν = ν₁ + ν₂ +…+ ν_n  = N₁/N_A + N₂/N_A + … + N_n/N_A ,

или

,

где ν_i, N_i, m_i, μ_i – соответственно количество вещества, число молекул, масса, молярная масса i – го компонента смеси.

4. Уравнение Менделеева - Клапейрона (уравнение состояния идеального газа)

,

где m – масса газа, μ –молярная масса газа, R – молярная газовая постоянная, ν – количество вещества, Т – термодинамическая температура.

5. Опытные газовые законы, являющиеся частными случаями уравнения Менделеева – Клапейрона для изопроцессов:

а) закон Бойля-Мариотта (изотермический процесс: Т = const, m = const)

pV = const,

или для двух состояний газа

p₁V₁ = p₂V₂,

б) закон Гей-Люссака (изобарный процесс: р = const, m = const)

,

или для двух состояний

;

в) закон Шарля (изохорный процесс: V = const, m = const)

,

или для двух состояний

;

г) объединенный газовый закон (m = сonst)

,

где p₁, V₁, T₁ – соответственно давление, объем и температура газа в начальном состоянии; p₂, V₂, T₂ – те же величины в конечном состоянии.

6. Закон Дальтона, определяющий давление смеси газов

р =  р₁ + р₂ +…+ р_n,

где р_i – парциальные давления компонентов смеси; n – число компонентов смеси.

Парциальным давлением называется давление газа, которое производил бы газ, если бы только он один находился в сосуде, занятом смесью при температуре смеси.

Молярная масса смеси газов

,

где m₁ – масса i –го компонента смеси; ν_i – количество вещества i –го компонента смеси; n – число компонентов смеси.

Массовая доля i-го компонента смеси газа (в долях единицы или процентах)

,

где m – масса смеси.

7. Концентрация молекул

,

где N – число молекул, содержащихся в данной системе, ρ – плотность вещества, V – объем системы. Формула справедлива не только для газов, но и для любого агрегатного состояния вещества.

8. Основное уравнение кинетической теории газов

р = ²/₃n<ε_п>,

где <ε_п> - средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы.

9. Зависимость давления газа от концентрации молекул и температуры

p = nkT.

                                                                                                                

10. Скорости молекул:

<v_кв> =  – средняя квадратичная;

<v> =  – средняя арифметическая;

v = – наиболее вероятная,

где m₁ – масса одной молекулы.

11. Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы

<ε_п> = ³/₂ kT,

где k – постоянная Больцмана.

Полная средняя кинетическая энергия молекулы

<ε_i> = ,

где i – число степеней свободы молекулы.

12. Внутренняя энергия идеального газа

.

13. Теплоемкость тела .

Удельная теплоемкость .

Молярная теплоемкость .

14. Удельные теплоемкости газа при постоянном объеме (с_v) и постоянном давлении (с_р)

.

Связь между удельной и молярной С теплоемкостями

с = С/μ,     С = сμ.

Уравнение Майера

С_р –С_v = R.

15. Работа расширения газа:

 в общем случае;

А = р(V₂ – V₁) при изобарном процессе;

 при изотермическом процессе.

16. Первое начало термодинамики

Q = ΔU + A,

где Q – теплота, сообщенная системе (газу); ΔU – изменение внутренней энергии системы; А – работа, совершенная системой против внешних сил.

17. Адиабатный процесс – процесс в теплоизолированной системе (ΣQ_i = 0). Уравнения Пуассона, связывающие параметры идеального газа при адиабатном процессе:

pV^γ = const,   .

 

;     .

 

,

где γ = с_р/c_V – показатель адиабаты.

18. Термический КПД цикла

,

где Q₁ – теплота, полученная рабочим телом от теплоисточника; Q₂ –теплота, переданная рабочим телом теплоприемнику.

19. Термический КПД цикла Карно (имеет наибольший КПД)

,

где Т₁ и Т₂ – термодинамические температуры нагревателя и холодильника.

20. Изменение энтропии при переходе из состояния 1 в состояние 2

.

 

5.1. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

 

№ 1. Определить число N молекул, содержащихся в объ­еме V = 1 мм³  и массу т₁ молекулы воды. Считая условно, что молекулы воды имеют вид шариков, соприкасающихся друг с дру­гом, найти диаметр d молекул.

Р е ш е н и е. Число N молекул, содержащихся в некоторой массе
m, равно произведению числа Авогадро N_A на количество вещест­ва ν:

N = ν N_A.

Так как количество молей вещества

ν = m/μ,

где μ - молярная масса, то

.

Выразив в этой формуле массу как произведение плотности на объем V, получим

.                                            (а)

Подставим в формулу (а) следующие значения величин: ρ = I0³ кг/м³ (см. справочную таблицу); V = 1 мм³ = 10^-9 м³, μ = 18 10^-3 кг/моль (см. справочную таблицу); N_A.=6,02 10²³ моль^-1 и произведем вычисления:

молекул = 3,34×10¹⁹ молекул.

Массу одной молекулы можно найти делением молярной массы на число Авогадро:

m₁ = μN_A..

Подставив сюда числовые значения μ и N , найдем массу молекулы воды:

m₁ = кг = 2,99 ×10^-26кг.

Если молекулы воды плотно прилегают друг к другу, то мож­но считать, что на каждую молекулу приходится объем (кубичес­кая ячейка) V₁= d³, где d - диаметр молекулы. Отсюда

.                                                (б)

Объем V₁найдем, разделив молярный объемV_μ на число молекул в моле, т.е. на число Авогадро N_A:

.

Подставим полученное выражение V₁ в формулу (б)

.

Входящий в эту формулу молярный объем определяется выражением V_μ = μ/ρ. Тогда искомый диаметр молекулы

.                                           (в)

Проверим, дает ли правая часть выражения (в) единицу длины:

Подставим числовые значения физических величин в форму­лу (в) и произведем вычисления:

м = 3,11×10 ^–10 м = 311 нм.

 

№ 2. В баллоне объемом V = 10 л находится гелий под давлением р₁ = 1 МПа, при температуре Т₁ = 300 К. После того как из баллона было взято т = 10 г гелия, температура в баллоне понизилась до Т₂ = 290 К. Определить давление р₂гелия, оставшегося в баллоне.

Р е ш е н и е.

Для решения задачи воспользуемся уравнением Менделеева - Клапейрона, применив его к конечному состоянию газа.

,                                     (а)

где т₂ - масса гелия в баллоне в конечном состоянии; μ - мо­лярная масса гелия; R - универсальная газовая постоянная.

Из уравнения (а) выразим искомое давление p₂:

.                                       (б)

Массу гелия т₂выразим через массу т₁и массу m гелия, взятого из баллона:

m₂ – m₁ = m.                                        (в)

Массу гелия т₁ найдем также из уравнения Менделеева - Клапейрона, применив его к начальному состоянию:

.                                           (г)

Подставляя в выражение (в) массу т₁ из формулы (г), а затем полученное выражение т₂в формулу (б), найдем

,

или после преобразования и сокращения

Выразим величины, входящие в эту формулу, в единицах СИ и произведем вычисления: р₁ = I МПа = 10⁶ Па, m = 10 г = 10^-2 кг, μ = 4×10^-3 кг/моль, R = 8,31 Дж/моль К; Т₁ = 300 К, T₂ = 290 К; V = 10^-2 м³.

 

№ 3. Баллон содержит m₁ = 80 г кислорода и т₂ = 320 г аргона. Давление смеси р = I МПа, температура T = 300 К. Прини­маяданные газы за идеальные, определить объем V баллона.

Р е ш е н и е.

По закону Дальтона, давление смеси равно сумме парциальных давлений газов, входящих в состав смеси.

По уравнению Менделеева - Клапейрона, парциальные давления кислорода р₁и аргона р₂ выражаются формулами:

Следовательно, по закону Дальтона давление смеси газов

.

откуда объем баллона

                                       (а)

Выразим в единицах СИ числовые значения величин, входящих в эту формулу: m₁ = 0,08 кг, μ₁ = 32×I0 ^-3 кг/моль, т₂ = 0,32 кг, μ₂ = 40×10^-3 кг/моль, р₁ = I МПа = I0⁶ Па, R.= = 8,31 Дж/моль К.

Подставим числовые значения в формулу (а) и произведем вычисления:

.

 

№ 4. Найти среднюю кинетическую энергию < ε _вращ> вращательного движения одной молекулы кислорода при температуре Т = 350 К, а также кинетическую энергию E_к , вращательного движе­ния всех молекул кислорода массой т = 4 г.

Р е ш е н и е.

Известно, что на каждую степень свободы молекулы газа приходится одинаковая средняя энергия <ε₁> = ½ kТ , где k - постоянная Больцмана, Т - абсолютная температура газа. Так как вращательному движению двухатомной молекулы (молекула кислорода - двухатомная) соответствуют две степени свободы, то средняя анергия вращательного движения молекулы кислорода выразит­ся формулой

                                      (а)

Подставив в формулу (а) значения k = 1,38 10^-23  Дж/К и Т = = 350 К, получим

 <ε_вращ> = 1,38 10^-23∙350Дж = 4,83 10^-21 Дж.

Кинетическая энергия вращательного движения всех молекул газа определяется равенством

Е_к =  <ε_вращ>N.                                       (б)

Число всех молекулгаза можно вычислить по формуле

N = N_Aν ,                                           (в)

где  N_A - число Авогадро; μ - количество вещества.

Если учесть, что количество молей вещества ν = m/μ, где т - мас­са газа, μ - молярная масса газа, то формула (в) примет вид

.

Подставив это выражение в формулу (б), получим

                              ( г)

Выразим величины, входящие в эту формулу, в единицах СИ:

N_A= 6,02 10²³ моль^-1, т = 4 г = 4 10^-3 кг, μ = 32 10^-3 кг/моль, <ε_вращ> = 4,83× ×10^-21 Дж. Подставив эти значения в формулу (г),найдем

Е_к = 6,02 10²³  Дж =364 Дж.

 

№ 5. Вычислить удельные теплоемкости при постоянном объеме c_V и при постоянном давлении с_р неона и водорода, при­нимая эти газы за идеальные.

Р е ш е н и е.

Удельные теплоемкости идеальных газов выражаются формулами:

 .                                               (а)

                                                   (б)

где i - число степеней свободы молекулы газа; μ - молярная масса.

Для неона (одноатомный газ) i = 3 и μ =20×10^-3 кг/моль (см. справочную таблицу). Вычисляя по формулам (а) и (б), полу­чим:

Для водорода (двухатомный газ) i = 5 и μ = 2×10^-3 кг/моль. Вычисляя по тем же формулам, получим:

 1,04×10 ⁴Дж/(кг∙К)

.

 

№ 6. Вычислить удельные теплоемкости с_V и c_p смеси неона и водорода, если массовая доля неона ω₁=80%, массовая доля водорода ω₂ = 20 %. Значения удельных теплоемкостей газов взять из предыдущего примера.

Р е ш е н и е.

Удельную теплоемкость смеси при постоянном объеме с_V найдем следующим образом. Теплоту, необходимую для нагревания сме­си на ΔT, выразим двумя способами:

Q = c_V  (m₁+m₂) ΔT ,                                     (а)

Q = (с_V,1m₁+ c_V,2m₂) ΔT ,                                       (б)

где c_V,1 - удельная теплоемкость неона; c_V,2 - удельная теплоем­кость водорода.

Приравняв правые части (а) и (б) и разделив обе части по­лученного равенства на ΔT, получим

                         c_V(m₁ + m₂) = с_V,1m₁ + c_V,2m₂,

откуда

                   (в)

или

c_V = c_V,1ω₁ +c_V,2ω_2,                                          (г)

где - - массовые доли неона и водорода в смеси.

Подставив в формулу (г) числовые значения величин, найдем:

с_V  = (6,24∙10²∙0,8 + 1,04∙10⁴∙0, 2) Дж/(кг∙К) = 2,58∙10³ Дж/(кг∙К).

Рассуждая таким же образом, получим формулу для вычисления удельной теплоемкости смеси при постоянном давлении:

c_р = c_р,1ω₁ +c_р,2ω_2,                                       (д)

Подставим в формулу (д) числовые значения величин:

с_р = (1,04∙10³∙0,8 + 1,46∙10⁴∙0,2) Дж/(кг∙К)= 3,75∙10³ Дж/(кг∙К).

 

№ 7. Кислород массой т = 2 кг занимает объем V₁ = I м³ и находится под давлением p₁ = 0,2 MПа. Газ был нагрет сначала при постоянном давлении до объема V₂= 3 м³, а затем при постоян­ном объеме до давления p₃ = 0,5 МПа. Найти изменение ΔU внутрен­ней энергии газа, совершенную им работу А и теплоту Q , передан­ную газу. Построить график процесса.

Р е ш е н и е.

Изменение внутренней энергии газа выражается форму­лой

                               (а)

где i - число степеней свободы молекул газа (для двухатомных молекул ки- слорода i =5), μ - молярная масса.

Начальную и конечную температуру газа найдем из уравнения Клапейрона – Менделеева pV = :

 .                                          (б)

 

Выпишем заданные величиныв системе СИ: m = 2 кг, μ = 32 10^-3 кг/моль, R = 8,31 Дж/(моль∙ К), V₁ = 1 м³, V₂ = V₃ = 3 м³, р₁ = р₂ = 0,2 МПа = 2×10⁵ Па, р₃ = 0,5 МПа = 5×I0⁵ Па. Подставляя эти значения в выражение (б) и выполняя арифметические действия, получим:

;

;

.

Подставляя в выражение (а) числовые значения величин, входящих в него, находим:

.

Работа расширения газа при постоянном давлении выражается формулой

Подставляя числовые значения величин, получим

.

Работа газа, нагреваемого при постоянном объеме, равна нулю, т.е. А₂ =0. Следовательно, полная работа, совершенная газом, равна А = А₁ + А₂ = 0,4×10⁶ Дж.

Согласно первому началу термодинамики, теплота Q , передан­ная газу, равна сумме изменения внутренней энергии ΔU и работы А; Q = DU + А, следовательно, Q = 0,4×10⁶ Дж + 3,24×10⁶ Дж = 3,64×I0⁶ Дж = 3,64 МДж.

График процесса приведен на рисунке.

 

№ 8. В цилиндре под поршнем находится водород массой m = 0,02 кг при температуре Т = 300 К. Водородсначала расши­рился адиабатически, увеличив свой объем в n₁= 5 раз, а затем был cжат изотермически, причем объем газа уменьшился в n₂ = 5 раз. Найти температуру в конце адиабатического расширения и работу, совершенную газом при этих процессах. Изобразить процесс графи­чески.

Р е ш е н и е.

Температуры и объемы газа, совершающего адиабатический процесс, связаны между собой соотношением

,

где γ - отношение теплоемкости газа при постоянном давлении и постоянном объеме (для водорода как двухатомного газа γ =1,4),

n₁ = V₂/V₁ = 5.

Отсюда получаем выражение для конечной температуры T₂

.

Подставляя числовые значения заданных величин, находим

.

Так как 5^0,4 = 1,91, то Т₂ = 157 К.

Работа A₁ газа при адиабатическом расширении может быть определена по формуле

где С_V - молярная теплоемкость газа при постоянном объеме.

Подставив числовые значения величин: R = 8,31 Дж/(моль К) и i = 5 (для водорода как двухатомного газа), μ = 2 10^-3 кг/моль, m =  0,02 кг, T₁ = 300 К, T₂ = 157 К в правую часть последней формулы, получим

Работа А₂ газа при изотермическом процессе может быть выражена в виде

где n₂ = V₂/V₃ = 5.

Подставляя известные числовые значения величин, входящих в правую часть этого равенства, находим

                                                                                                            Знак “минус” показывает, что при сжатии работа газа совершается над газом внешними силами. График процесса – на рисунке.

                                                                                                                

№ 9. Тепловая машина работает по обратимому циклу Карно. Температура нагревателя Т₁ = 500 К. Определить термический к.п.д. цикла и температуру Т₂ охладителя тепловой машины, если за счет каждого килоджоуля теплоты, полученной от нагревателя, машина совершает работу А = 350 Дж.

Р е ш е н и е.

Термический к.п.д. тепловой машины, называемый также коэффициентом использования теплоты, показывает, какая доля теплоты, полученной от нагревателя, превращается в механическую работу. Термический к.п.д. выражается формулой

,

где Q_н – теплота, полученная от нагревателя; А – работа, совершенная рабочим телом тепловой машины. Подставив числовые значения в эту формулу, получим

Зная к.п.д. цикла, можно по формуле  определить температуру охладителя Т₂:

Т₂ = Т₁(1- η).

Подставив в эту формулу полученное значение к.п.д, и температуру T₁нагревателя, получим

Т₂ = 500(1 – 0,35) К = 325 К.

№ 10. Найти изменениеΔS энтропии при нагревании воды массой m = 100 г от температуры t₁= 0°С до температуры t₂ = 100°С и последующим превращением воды в пар той же темпе­ратуры.

Р е ш е н и е.

Найдем отдельно изменение энтропии ΔS^'′ при нагре­вании воды и изменение энтропии ΔS′′ при превращении ее в пар. Полное изменение энтропии выразится суммойΔS^'′ иΔS′′.

Как известно, изменение энтропии выражается общей формулой

.                                    (а)

При бесконечно малом изменении температуры нагреваемого те­ла затрачивается количество теплоты dQ = m c dT , где m - масса тела; c - его удельная теплоемкость. Подставив выражение dQ в равенство (а), получим формулу для вычисления изменения энтропии при нагревании воды:

.

Вынесем за знак интеграла постоянные величины и произведем интегрирование, тогда получим

.

Выразим заданные величины в единицах СИ: m = 0,1 кг;Т₁ = 273 К; T₂ = 373 К; c = 4190 Дж/кг К; λ = 2,26 МДж/кг.

После вычислений найдем

ΔS΄ = 132 Дж/К.

При вычислении по формуле (а) изменение энтропии во время превращения воды в пар той же температуры постоянная температура Т₂ выноситсяза знак интеграла. Вычислив интеграл, найдем

,                                        (б)

где Q - количество теплоты, переданное при превращении нагретой воды в пар той же температуры.

Подставив в равенство (б) выражение количества теплоты Q = λm, где λ – удельная теплота парообразования, получим

.                                            (в)

Произведя вычисления по формуле (в), найдем

ΔS΄΄= 605 Дж/К.

Полное изменение энтропии при нагревании воды и последующем

превращении ее в пар:

ΔS = ΔS΄ + ΔS΄΄ = 737 Дж/К.

 

 

5.2. ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАЧИ

 

1. Вычислить массу m атома азота. (Ответ. 2,33∙10^-26 кг).

2. Плотность газа ρ при давлении р = 96 кПа и температу­ре t = 0°С равна 1,35 г/л. Найти молярную массу μ газа. (От­вет. 32∙10^-3 кг/моль).

3. Определить давление p₁ и p₂ газа, содержащего N =10⁹ мо­лекул и имеющего объем V = 1 см³ при температуре T₁ = 3 К и T₂ = 1000 К. (Ответ. 41,4 нПа; 13,8 мкПа).

4. При температуре t = 35°С и давлении p = 708 кПа плот­ность некоторого газа ρ = 12,2 кг/м³. Определить относительную молекулярную массу μ газа. (Ответ. 44,1).

5. Какой объем V занимает смесь азота массой m₁ = I кг и гелия массой m₂ = I кг при нормальных условиях? (Ответ. 6,4 м³).

6. В баллоне вместимостью V = 15 л находится смесь, содер­жащая m₁ = 10 г водорода, m₂ = 54 г водяного пара и m₃ = 60 г окиси углерода. Температура смеси t = 27°С. Определить давление. (Ответ. 1,69 МПа).

7. Найти полную кинетическую энергию, а также кинетическую энергию вращательного движения одной молекулы аммиака NH₃ при температуре t = 27°С. (Ответ. 1,24 10^-20 Дж; 6,2 10 ^-21 Дж).

8. Определить удельные теплоемкости c_V и c_p газообразной окиси углерода СО (Ответ. 743 Дж/кг).

9. Смесь газа состоит из кислорода (O₂) с массовой долей ω₁ = 85 % и озона (O₃) с массовой долей ω₂ = 15 %. Определить удельные теплоемкости c_V и c_pэтой смеси. (Ответ. 629 Дж/(кг∙К) ; 877 Дж/(кг∙К).

10. Газовая смесь состоит из азота массой m₁ = 3 кг и водяно­го пара массой m₂= I кг. Принимая эти газы за идеальные, опре­делить удельные теплоемкостиc_V и c_p газовой смеси. (Ответ. 902 Дж/(кг∙K), 1,24 кДж/(кг∙К).

11. Молекула газа состоит из двух атомов; разность удель­ных теплоемкостей газа при постоянном давлении и постоянном объ­еме равна 260 Дж/(кг К). Найти молярную массу газа и его удель­ные теплоемкости. c_V и c_p (Ответ. 32 10^-3 кг/моль; 910 Дж/(кг К); 650 Дж/(кг.К).

12. Один киломоль идеального двухатомного газа совершает замк­нутый цикл, график которого изображен на рисунке. Определить: теплоту Q₁ , полученную от нагревателя; теплоту Q₂, переданную охладителю; работу А, совершенную газом за один цикл; термический к.п.д. η цикла. (Ответ. 7,61 МДж; 7,19 МДж; 0,4 МДж; 5,3 %).

13. Водород занимает объем V = 10м³ при давлении p₁ = 0,1 МПа. Газ нагрели при постоянном объеме до давления p₂ = 0,3 МПа. Опреде­лить изменение ΔU внутренней энер­гии газа, работу А, совершенную га­зом и теплоту Q, сообщенную газу. (Ответ. 5 МДж; 0 МДж; 5 МДж).

14. Кислород при неизменном давле­нии р = 80 кПа нагревается. Его объ­ем увеличивается от V₁ = I м³ до V₂ =3 м³. Определить изменение ΔU внутренней энергии кислорода, работу А, совершенную им при расширении, а также теплоту Q , сообщенную газу. (Ответ: 400 кДж; 160 кДж; 560 кДж).

15. В цилиндре под поршнем находится азот, имеющий массу m₁ =  0,6 кг и занимающий объем V₁ = 1,2м³ при температуре Т₁ = 500 К. В результате нагревания газ расширился и занял объем V₂ = 4,2м³,причем температура осталась неизменной. Найти изменение ΔU внутренней энергии газа совершенную им работу и теплоту, сообщен­ную газу. (Ответ. 0; 126 кДж;126 кДж).

16. В бензиновом автомобильном моторе степень сжатия горючей смеси равна 6,2. Смесь засасывается в цилиндр при температуре t = 15⁰ С. Найти температуру t₂ горючей смеси в конце такта сжатия. Горючую смесь рассматривать как двухатомный газ, процесс считать адиабатным. (Ответ. 324°С).

17. Газ совершает цикл Карно. Абсолютная температура нагре­вателя в три раза выше, чем температура охладителя. Нагреватель передал газу Q = 41,9 кДж теплоты. Какую работу совершил газ? (Ответ. 28,1 кДж).

18. В результате изохорического нагревания водорода массой т = 1 г давление р газа увеличилось в два раза. Определить изменение ΔS энтропии газа. (Ответ. 7,2 Дж/К).

19. Кислород массой т = 2 кг увеличил свой объем в п = 5 раз, один раз - изотермически, другой - адиабатически. Каково будет изменение энтропии в этих двух случаях? (Ответ. 836 Дж/К; 0).

20. Найти изменение энтропии при плавлении I кг льда, находящегося при 0°С. Удельная теплота плавления льда λ = 3,35∙10⁵ Дж/кг. (Ответ. 1230 Дж/К).

21. 640 г расплавленного свинца при температуре плавления вы­лили на лед при 0°С. Найти изменение энтропии при этом процессе. Удельная теплота плавления свинца λ = 0,226 10⁵ Дж/кг. Удельная теплоемкостьсвинца с - 126 Дж/(кг К). (Ответ. 63 Дж/К). 

 

5.3. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2.

 

№	Номера задач
0	200	210	220	230	240	250	260	270	280	290
1	201	211	221	231	241	251	261	271	281	291
2	202	212	222	232	242	252	262	272	282	292
3	203	213	223	233	243	253	263	273	283	293
4	204	214	224	234	244	254	264	274	284	294
5	205	215	225	235	245	255	265	275	285	295
6	206	216	226	236	246	256	266	276	286	296
7	207	217	227	237	247	257	267	277	287	297
8	208	218	228	238	248	258	268	278	288	298
9	209	219	229	239	249	259	269	279	289	299

 

200. Сколько атомов содержится в ртути:

 1) количеством вещества ν =0,2 моль; 2) массой m =1 г?

201. Вода при температуре t = 4⁰С занимает объем V = 1 см³.

Определить количество вещества ν и число молекул воды.

202. Сколько молекул газа содержится в баллоне емкостью V = 30 л при температуре Т = 300 К и давлении p =5 МПа?

203. Определить количество вещества ν и число N молекул кислорода массой m = 0,5 кг.

204. Найти молекулярную массу μ и массу m одной молекулы поваренной соли.

205. Определить массу m_о одной молекулы углекислого газа.

206. Определить концентрацию n молекулы кислорода, находящегося в сосуде вместимостью V = 2 л. Количество вещества ν-кислорода равно 0,2 моль.

207. Определить количество молей вещества ν и число N молекул азота массой m = 0,2 кг.

208. Определить количество вещества ν водорода, заполняющего сосуд объемом V = 3 л, если концентрация молекул в сосуде n = 2∙10^{1 8} м ^–3.

209. В баллоне вместимостью V = 3 л содержится кислород массой m=10г. Определить концентрацию n молекул газа.

210. В баллоне находится газ при температуре Т₁ = 400 К. До какой температуры Т₂ надо нагреть газ, чтобы его давление увеличилось в 1,5 раза?

211. В баллоне содержится газ при t₁=100⁰C. До какой температуры t₂ нужно нагреть газ, чтобы его давление увеличилось в два раза?

212. Массу m =5г азота, находящуюся в закрытом сосуде объемом V = 4л при температуре t₁ =20⁰С, нагревают до температуры  t₂ =40⁰С. Найти давления p₁ и p₂ газа до и после нагревания.

213. Некоторый газ при температуре t =10⁰C и давлении p =200 кПа имеет плотность ρ =0,34 кг/ м³. Найти молярную массу μ газа.

214. Масса m =12 г газа занимает объем V₁ = 4 л при температуре t₁ = 7⁰С. После нагревания газа при постоянном давлении, его плотность стала равной ρ₂ = 0,6 кг/ м³. До какой температуры нагрели газ?

215. В баллоне емкостью V =12 л находится m =1,5 кг азота при температуре t₁=327⁰С. Какое давление p₂ будет создавать азот в баллоне при температуре t₂= 50⁰С, если 35% азота будет выпущено? Какое было начальное давление p₁ ?

216. Определить плотность ρ водяного пара, находящегося под давлением p = 2,5 кПа и имеющего температуру Т =250 К.

217. Масса m = 10г кислорода находится при давлении p =304 кПа и температуре t₁=10⁰C. После расширения вследствие нагревания, при постоянном давлении, кислород занял объем V₂=10 л. Найти объем V₁ газа до расширения, температуру t₂  газа после расширения, плотности ρ₁ и ρ₂ газа до и после расширения.

218. Определить температуру газа, находящегося в закрытом баллоне, если его давление увеличилось на 0,4% относительно первоначального при нагревании на DT =1 K.

219. При нагревании некоторой массы газа на DТ =1К при постоянном давлении объем этой массы газа увеличился на 1/ 350 часть первоначального объема. Найти первоначальную температуру Т газа.

220.   В баллоне емкостью V =25 л находится водород при температуре Т=290 К. После того как часть водорода израсходовали, давление в баллоне понизилось на Dp =0,4 Мпа. Определить массу m израсходованного водорода.

221. В баллоне находилась масса m₁ =10 кг газа при давлении p₁ = 10 МПа. Какую массу Dm газа взяли из баллона , если давление стало равным p₂=2,5 Мпа? Температуру газа считать постоянной.

222. В сосуде находится 14 г азота и 8 г водорода при температуре 10⁰С и давлении 1 МПа. Найти: 1) молярную массу смеси, 2) объем сосуда.

223. Какой объем V занимает смесь азота массой m₁ =1 кг и гелия массой m₂=1кг при нормальных условиях?

224. В баллоне вместимостью V =15 л находится аргон под давлением p₁=600 кПа и температуре Т₁ =300 К. Когда из баллона было взято некоторое количество газа, давление в баллоне понизилось до p₂=400кПа, а температура установилась Т₂ =260 К. Определить массу m аргона, взятого из баллона.

225. 1 кг сухого воздуха содержит m₁ =232 г кислорода и m₂ =768 г азота (массой других газов пренебрегаем). Определить относительную молекулярную массу воздуха.

226. Газовая смесь, состоящая из кислорода и азота, находится в баллоне под давлением p =1 МПа. Считая, что масса кислорода составляет 20% от массы смеси, определить парциальные давления р₁ и р₂ отдельных газов.

227. Найти молярную массу смеси, состоящей из 64 г кислорода и 28 г азота.

228. Сосуд емкостью V =0,01 м³ содержит азот массой m₁ =7 г и водород массой m₂ =1 г при температуре Т =280 К. Определить давление р смеси газов.

229. Найти плотность ρ газовой смеси, состоящей по массе из одной части водорода и восьми частей кислорода при давлении р =100 кПа и температуре Т =300 К.

230. Определить среднюю кинетическую энергию < ε> одной молекулы водяного пара при температуре Т =500 К.

231. Водород находится при температуре Т =300 К. Найти среднюю кинетическую энергию < ε_вр> вращательного движения одной молекулы, а также суммарную кинетическую энергию Е_к всех молекул этого газа; количество водорода ν =0,5 моль.

232. Определить внутреннюю энергию U водорода, а также среднюю кинетическую энергию < ε> молекулы этого газа при температуре Т = 300 К, если количество вещества этого газа равно 0,5 моль.

233. Количество вещества гелия ν =1,5 моль, температура Т =120 К. Определить суммарную кинетическую энергию Е_к поступательного движения всех молекул этого газа.

234. Определить среднюю квадратичную скорость <υ_кв> молекулы газа, заключенного в сосуд вместимостью V =2 л под давлением P =200 кПа, масса газа m =0,3 г.

235. Внутренняя энергия U_m одного моля некоторого идеального двухатомного газа равна 6,02 кДж/ моль. Определить среднюю кинетическую энергию < ε_вр> вращательного движения одной молекулы этого газа.

236. Определить суммарную кинетическую энергию Е_к поступательного движения всех молекул газа, находящихся в сосуде вместимостью V = 3 л под давлением Р =540 кПа.

237. Найти среднюю кинетическую энергию < ε_вр > вращательного движения одной молекулы кислорода при температуре Т =286 К, а также кинетическую энергию Е_к вращательного движения всех молекул этого газа, если его масса m = 4 г.

238. Баллон содержит водород массой m =10 г при температуре Т = 280 К. Определить кинетическую энергию < ε_п > поступательного движения и полную кинетическую энергию всех молекул.

239. Определить среднюю кинетическую энергию < ε_п > поступательного движения и среднее значение < ε > полной кинетической энергии молекулы водяного пара при температуре Т= 600 К. Найти также кинетическую энергию Е_к поступательного движения всех молекул пара, содержащего количество вещества ν = 1 кмоль.

240. Вычислить теплоемкость (при постоянном объеме) газа, заключенного в сосуд емкостью V = 20 л при нормальных условиях. Газ одноатомный.

241. Чему равны удельные теплоемкости с_р и с_v некоторого двухатомного газа, если плотность этого газа при нормальных условиях равна 1,43 кг/ м ³?

242. Найти удельные теплоемкости с_р и с_v некоторого газа, если известно, что молярная масса этого газа равна μ = 0,03 кг/ моль, и отношение с_р/ с_v =1,4.

243. В сосуде вместимостью V = 6 л находится при нормальных условиях двухатомный газ. Определить теплоемкость С_v этого газа при постоянном объеме.

244. Определить молярную массу газа, если разность его удельных теплоемкостей с_р – с_v =2,08 кДж / (кг∙К.)

245. Определить молярные теплоемкости газа, если его удельные теплоемкости с_V =10,4 кДж / (кг∙К) и с_р =14,6 кДж / (кг∙К).

246. Определить молярную массу М двухатомного газа и его удельные теплоемкости, если известно, что разность с_р- с_V удельных теплоемкостей этого газа равна 260 Дж / (кг∙К).

247. Вычислить удельные теплоемкости газа, зная, что его молярная масса μ = 4∙10 ^–3 кг/ моль и отношение теплоемкостей С_Р / С_V =1,67.

248. Трехатомный газ под давлением Р =240 кПа и температуре t = 20⁰С занимает объем V =10 л. Определить теплоемкость С_Р этого газа при постоянном давлении.

249. Одноатомный газ при нормальных условиях занимает объем  V = 5 л. Вычислить теплоемкость С_V этого газа при постоянном объеме.

250. Два киломоля углекислого газа нагреваются при постоянном давлении на 50⁰. Найти: 1) изменение его внутренней энергии, 2) работу расширения, 3) количество теплоты, сообщенной газу.

251. Кислород массой 200 г занимает объем V₁ =100 л и находится под давлением Р₁ =200 кПа. При нагревании газ расширяется при постоянном давлении до объема V₂ =300 л, а затем его давление возросло до Р₃ =500 кПА при неизменном объеме. Найти изменение внутренней энергии DU газа, совершенную работу А и теплоту Q, переданную газу. Построить график процесса.

252. Азот массой m =0,1 кг был изобарно нагрет от температуры Т₁ =200К до температуры Т₂ =400 К. Определить работу А, совершенную газом, и теплоту Q, полученную им, а также изменение DU внутренней энергии азота.

253. Определить работу А, которую совершит азот, если ему при постоянном давлении сообщить количество теплоты Q = 21 кДж. Найти также изменение DU внутренней энергии газа.

254. В закрытом сосуде объемом 10 л находится воздух при давлении Р=0,1 МПа. Какое количество теплоты Q надо сообщить воздуху, чтобы повысить давление в сосуде в 5 раз?

255. Найти работу и увеличение внутренней энергии гелия, изобарически расширившегося от объема в 5 л до объема в 10 л. Процесс происходит при давлении в 20 Н/см².

256. Для нагревания некоторой массы газа на 50⁰ при постоянном давлении необходимо затратить 160 кал. Если эту же массу газа охладить на 100⁰ при постоянном объеме, то выделяется 240 кал. Какое число степеней свободы имеют молекулы этого газа?

257. В закрытом сосуде объемом V = 2 л находится азот, плотность которого ρ =1,4 кг/ м³. Какое количество теплоты Q надо сообщить азоту, чтобы нагреть его на DT =100 К?

258. При изобарическом расширении двухатомного газа была совершена работа 160 Дж. Какое количество теплоты было сообщено газу?

259. Насколько увеличится внутренняя энергия 200 г азота и какую внешнюю работу произведет газ, если его нагреть при постоянном давлении от 20⁰ до 100⁰С?

260. Масса m =10,5 г азота изотермически расширяется при температуре t =(-23⁰С), причем его давление изменяется от Р₁ =250 кПа до Р₂ =100 кПа. Найти работу, совершенную газом при расширении.

261. При изотермическом расширении массы m =10 г азота, находящегося при температуре t =17⁰С, была совершена работа 

А =860 Дж. Во сколько раз изменилось давление азота при расширении?

262. Работа изотермического расширения массы m =10 г некоторого газа от объема V₁ до V₂ =2V₁ оказалась равной А =575 Дж. Найти среднюю квадратичную скорость молекул газа при этой температуре.

263. Гелий, находящийся при нормальных условиях изотермически расширяется от объема V₁ =1л до V₂ =2 л. Найти работу, совершенную газом при расширении, и количество теплоты, сообщенную газом.

264. При изотермическом расширении газа, занимавшего объем V =2 м³, давление его меняется от Р₁ =0,5 МПа до Р₂ =0,4 МПа. Найти работу, совершенную при этом.

265. Масса m =10 г кислорода, находящегося при нормальных условиях, сжимается до объема V₂ =1,4 л. Найти давление Р₂ и температуру t₂ кислорода после сжатия, если кислород сжимается изотермически.

266. Масса m =28 г азота, находящегося при температуре t₁ =40⁰C и давлении Р₁ =100 кПа, сжимается до объема V₂ =13 л. Найти температуру t₂ и давление Р₂ азота после сжатия, если азот сжимается изотермически. Найти работу сжатия.

267. При изотермическом расширении водорода массой m =1 г объем газа увеличился в два раза. Определить работу расширения, совершенную газом, если температура газа t =15⁰С. Определить теплоту Q, переданную при этом газом.

268. В цилиндре под поршнем находится азот, имеющий массу m =0,6 кг и занимающий объем V₁ =1,2 м³ при температуре Т₁ =560 К. В результате нагревания газ расширился и занял объем V₂ =4,2 м³, причем температура осталась неизменной. Найти изменение DU внутренней энергии газа, совершенную им работу А и теплоту, сообщенную газу.

269. Необходимо сжать воздух от объема V₁ =10 л до V₂ =2 л. Как выгоднее его сжимать (адиабатически или изотермически)?

270. При адиабатическом сжатии 1 кмоль двухатомного газа была совершена работа 146 кДж. Насколько увеличилась температура газа при сжатии?

271. 1 кмоль азота, находящегося при нормальных условиях, расширяется адиабатически от V₁ до V₂ =5V₁. Найти: изменение внутренней энергии газа; работу, совершенную при расширении.

272. Во сколько раз уменьшится средняя квадратичная скорость молекул двухатомного газа при адиабатическом увеличении объема газа в два раза?

273. Двухатомный газ, находящийся при температуре 27⁰С и давлении 2 МПа, сжимается адиабатически от объема V₁ до объема V₂ =0,5 V₁ . Найти температуру и давление газа после сжатия.

274. Газ расширяется адиабатически, при этом объем его увеличивается вдвое, а температура (абсолютная) падает в 1,32 раза. Какое число степеней свободы имеют молекулы этого газа?

275. Воздух в цилиндрах двигателя внутреннего сгорания сжимается адиабатически и его давление при этом изменяется от Р₁ = 0,1 МПа до Р₂ =3,5 МПа. Начальная температура воздуха 40⁰С. Найти температуру воздуха в конце сжатия.

276. До какой температуры охладится воздух, находящийся при температуре 0⁰С, если он расширяется адиабатически от объема V₁ до объема V₂ =2 V₁?

277. 7,5 л кислорода адиабатически сжимается до объема 1 л, причем в конце сжатия установилось давление 1,6 МПа. Под каким давлением находился газ до сжатия?

278. При адиабатическом сжатии газа его объем уменьшился в n =10 раз, а давление увеличилось в к =2,14 раза. Определить отношение γ = С_Р/ С_V теплоемкостей газа.

279. При адиабатном сжатии давление воздуха было увеличено от Р₁ =50 кПа до Р₂ =0,5 МПа. Затем при неизменном объеме температура воздуха была понижена до первоначальной. Определить давление Р₃ газа в конце процесса.

280. Газ, совершающий цикл Карно, за счет каждой килокалории теплоты, полученной от нагревателя, совершает работу, равную 610 Дж. Каков КПД этого цикла? Во сколько раз абсолютная температура нагревателя больше абсолютной температуры холодильника?

281. Газ, совершающий цикл Карно, отдал теплоприемнику теплоту Q₂ =14 кДж. Определить температуру Т₁ теплоотдатчика, если при температуре теплоприемника Т₂ =280 К работа цикла А =6 кДж.

282. Газ, совершающий цикл Карно, 2/3 теплоты, полученной от нагревателя, отдает охладителю. Температура охладителя Т₂ =280 К. Определить температуру Т₁ нагревателя.

283. Совершая замкнутый цикл, газ получил от нагревателя теплоту

Q =4 кДж. Какую работу А совершил газ в результате протекания всего цикла, если термический к.п.д. цикла η =0,1?

284. В результате кругового процесса газ совершил работу А =1 Дж и передал охладителю теплоту Q₂ =4,2 Дж. Определить термический к.п.д. цикла η.

285. Идеальная тепловая  машина работает по циклу Карно. При этом 80% тепла, получаемого от нагревателя, передается холодильнику. Количество тепла, получаемого от нагревателя, равно 1,5 ккал. Найти:

1) к.п.д. цикла, 2) работу, совершенную при полном цикле.

286. Нагреватель тепловой машины, работающий по циклу Карно, имеет температуру 200⁰С. Какова температура холодильника, если за счет каждой килокалории тепла, получаемой от нагревателя, машина совершает работу 1710 Дж.

287. Газ, совершающий цикл Карно, отдал теплоприемнику 67% теплоты, полученной от теплоотдатчика. Определить температуру Т₂ теплоприемника, если температура теплоотдатчика Т₁ =430 К.

288. Во сколько раз увеличится коэффициент полезного действия η цикла Карно при повышении температуры теплоотдатчика от Т₁ =380 К до Т₁^¢ = 560 К? Температура теплоприемника Т₂ =280 К.

289. В цикле Карно газ получил от теплоотдатчика теплоту Q₁ =500 Дж и совершил работу А = 100 Дж. Температура теплоотдатчика Т₁ 400 К. Определить температуру Т₂ теплоприемника.

290. Найти изменение энтропии при превращении 10 г льда при -20⁰С в пар при 100⁰С.

291. Найти изменение DS энтропии при плавлении массы m =1 кг льда (t = 0⁰C).

292. Кусок льда массой m =200 г, взятый при температуре  t₁ = -10⁰С, был нагрет до t₂ =0⁰C и расплавлен, после чего образовавшаяся вода была нагрета до температуры t₃ =10⁰C. Определить изменение DS энтропии льда.

293. Найти изменение энтропии при переходе 6 г водорода от объема 20 л под давлением 150 кПа к объему 60 л под давлением 100 кПа.

294. При нагревании 1 кмоль двухатомного газа его абсолютная температура увеличивается в 1,5 раза. Найти изменение энтропии, если нагревание происходит: 1) изохорически; 2) изобарически.

295. Найти прирост энтропии при превращении 1 г воды при 0⁰С в пар при 100⁰С.

296. Найти изменение энтропии при переходе 8 г кислорода от объема 10 л при температуре 60⁰С к объему 40 л при температуре 300⁰С.

297. Смешано m₁ =5 кг воды при температуре Т₁ =280 К с m₂ =8 кг воды при температуре Т₂ =350 К. Найти: температуру θ смеси; изменение DS энтропии, происходящее при смешивании.

298. 10 г кислорода нагревается от t₁ =50⁰С до t₂ =150⁰C. Найти изменение энтропии, если нагревание происходит: 1) изохорически, 2) изобарически.

299. Лед массой m₁ =2 кг при температуре t₁ =0⁰С был превращен в воду той же температуры при помощи пара, имеющего температуру t₂ = 100⁰С. Определить массу m₂ израсходованного пара. Каково будет изменение DS энтропии системы лед-пар при таянии льда?

 

 

---

Дата добавления: 2021-04-05; просмотров: 678; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!