Напомню, что существую два случая.
Разработка урока «Решение текстовых задач»
(ОГЭ по математике: задачи на движение)
Цель:
1)Формирование предметных результатов: составления математических моделей на примерах задач на движение, планирования своей деятельности при решении задач на движение.
2)Формирование метапредметных результатов:
Регулятивные: планирование - определение последовательности промежуточных целей с учетом конечного результата (с помощью учителя и самостоятельно);
контроль - сличение способа действия и его результата
Познавательные: структурирование знаний; осознанное и произвольное построение речевых высказываний в устной и письменной форме
Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества; выражение своих мыслей с достаточной полнотой
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний, полученных при изучении темы«Решение текстовых задач на движение».
Форма урока: урок – обзор знаний.
Опорные понятия, термины:знание основных типов задач на движение; умения составлять математическую модель задачи, составлять уравнение по математической модели, умения решать уравнения.
Оборудование:доска, проектор, дидактический материал с заданиями, тетради, карточки.
Формы контроля: типовые задачи, уравнения для самостоятельного решения, задачи повышенной сложности, групповая работа, работа в парах.
|
|
|
Домашнее задание: текстовые задачи.
Структура урока:
1. Организационный момент. Сообщение темы, цели, задач урока, плана урока и мотивация учебной деятельности .
2. Актуализация знаний обучающихся. Повторение теоретического материала. ( устный опрос с использованием презентации) .
3. Решение задач в парах с самопроверкой (решение –слайд).
4. Решение задач у доски на движение навстречу друг другу и на движение в одном направлении.
5. Работа в парах– выполнение разноуровневых заданий .
6. Контроль, самоконтроль и оценивание знаний. Разбор других способов решений. Решение дополнительного задания.
7. Подведение итогов урока.
8.Задание на дом (с комментариями) .
Ход урока.
1. Сообщение темы урока, цели урока, плана урока и мотивации учебной деятельности (учитель обращает внимание, что будем разбирать задачи из тренировочных вариантов ГИА).
2. Повторение теоретического материала и устный опроси работа в парах с использованием презентации и карточек с таблицами.
Слайд 2.
«Умение решать задачи – практически искусство, подобно плаванию, или
катанию на коньках, или игре на фортепиано: научиться этому можно, лишь подражая избранным образцам и постоянно тренируясь»
|
|
|
Д. Пойа
Математик и педагог Дьёрдь Пойа, или Джордж Полиа (1887-1985) называл математику школой мышления и говорил, что хороший учитель должен помочь ученику развить вкус к самостоятельным логическим рассуждениям.
Слайд 3.
Для успешного решения задач на движение нужно все время держать в голове одну простую формулу:
Чтобы легче запомнить эту формулу, подумайте, что вы ответите на такой вопрос:
«Сколько километров я проеду на велосипеде за 2 часа, двигаясь со скоростью 13 км/ч?»
Вы, не задумываясь, ответите –26 км.
Поздравляю! Эту формулу вы всегда хорошо знали, просто не могли сформулировать.
Из нашей формулы легко выразить все ее составляющие:
Формулу для скорости: ν=St
Формулу для времени: t=Sν
Очень многим запомнить формулу помогает вот такая пирамида:
Задачи на движение, как правило, представляют собой задачи с использованием объектов, совершающих какое-либо действие. Это могут быть велосипедисты,пешеходы, автомобили, лодки и другое. Существует 3 вида задач на движение: движение двух объектов навстречу друг другу, движение в противоположных и обратных направлениях, движение из одной точки в одном направлении.
|
|
|
Слайд 4.
Полезно запомнить:
Если два тела начинают движение одновременно или догоняют друг друга, то до встречи они затрачивают одинаковое время.
При прохождении одного и того же пути, если тела начинают движение в разное время, то, которое выходит раньше затрачивает времени больше.
Слайд5. Таблица – памятка.
Такие задачи, как вы уже знаете, удобно решать с использованием таблиц.
Каждому ученику выдается памятка-таблица для решения задач на движение.
Табл.1
| СКОРОСТЬ v v = s : t | ВРЕМЯ t t = s : v | РАССТОЯНИЕ s s = t · v | ОДНОВРЕМЕННО | ||
| в противоположных направлениях | навстречу (до встречи) | в одном направлении | |||
| S 1 S 2 ·←↔→· S = S 1 + S 2 | S 1 S 2 ·→ ←· S = S 1 + S 2 | S 1 S 2 ·→·→·→ S = S 2 - S 1 | |||
На столах обучающихся памятка-таблица и таблицы для решения задач.
Решим задачи устно, заполнив таблицы.
Слайд на каждую задачу.
Задача 1на движение в противоположных направлениях.
Из одного пункта в противоположных направлениях вышли два лыжника. Один идет со скоростью 14 км/ч, а другой со скоростью 13 км/ч. Какое расстояние будет между лыжниками через два часа?
|
|
|
Слайд 6. Табл.2
| СКОРОСТЬ v (км/ч) | ВРЕМЯ t (ч) | РАССТОЯНИЕ s (км) | В противоположных направлениях | |
| v = s : t | t = s : v | s = t · v | S 1 S 2 ·←↔→· S = S 1 + S 2 | |
| 1 лыжник | 14 | 2 | 14·2 | ? |
| 2 лыжник | 13 | 2 | 13·2 |
Решение:14·2⁺13·2=54 (км)
Ответ: 54 км.
Задача 2 на движение навстречу.
Из двух сел одновременно выехали навстречу 2 всадника и встретились через 4 часа. Скорость одного из них 11 км/ч. Расстояние между селами 80 км. Найдите скорость другого всадника.
Слайд 7. Табл.3
| СКОРОСТЬ v (км/ч) | ВРЕМЯ t (ч) | РАССТОЯНИЕ s (км) | навстречу | |
| v = s : t | t = s : v | s = t · v | 44 36 ·→ ←· 80 S = S 1 + S 2 | |
| 1 всадник | 11 | 4 | 11·4=44 | ? |
| 2 всадник | 36:4=9 | 4 | 36 |
Решение:1)80- 11*4=36 (км); 2) 36:4=9 (км/ч)
Ответ: 9 км/ч.
Задача 3 на движениев одном направлении.
Из одного пункта в одном направлении одновременно выехали две автомашины. Скорость первой машины 40 км/ч, а второй в 2 раза больше. Какое расстояние будет между ними через 2 часа?
Слайд 8. Табл.4
| СКОРОСТЬ v (км/ч) | ВРЕМЯ t (ч) | РАССТОЯНИЕ s (км) | В одном направлении | |
| v = s : t | t = s : v | s = t · v | S=S 2 -S 1 | |
| 1 автомашина | 40 | 2 | 40·2 | ? |
| 2 автомашина | 40·2 | 2 | 80·2 |
Решение:160-80=80 (км)
Ответ: 80 км.
3. Решение задач в парах.
Решить задачу на движение навстречу друг другу №4 и №5 ( по парам).
Предлагается решить две задачи.
Проверить устно (самопроверка) с комментариями (слайд).
Слайд 9-13.
Задача 4. Из двух пунктов, расстояние между которыми 210 км, вышли одновременно навстречу друг другу два электропоезда. Скорость одного из них на 5 км/ч больше скорости другого. Найдите скорость каждого электропоезда, если они встретились через 2 часа после своего выхода.
Слайд. Табл.5
| СКОРОСТЬ v (км/ч) | ВРЕМЯ t (ч) | РАССТОЯНИЕ s (км) | НАВСТРЕЧУ | |
| v = s : t | t = s : v | s = t · v | 2·х + 2·(х ⁺ 5) ·→ ←· 210 | |
| 1 электропоезд | х | 2 | 2·х | ? |
| 2 электропоезд | х ⁺ 5 | 2 | 2·(х ⁺ 5) |
Слайд.
Решение:
2·х⁺2·(х⁺5)=210
2х+2х+10=210
4х=200
х=50
1) 50+5=55(км/ч)
Ответ: 50км/ч, 55 км/ч.
Слайд.
Задача 5. Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из двух поселков, расстояние между которыми 46 км. Через 2 ч они встретились. Какова скорость каждого велосипедиста, если известно, что скорость одного из них на 3 км/ч меньше скорости другого?
Слайд. Табл.6
| СКОРОСТЬ v (км/ч) | ВРЕМЯ t (ч) | РАССТОЯНИЕ s (км) | НАВСТРЕЧУ | |
| v = s : t | t = s : v | s = t · v | х+3 2(х+3) ·→ ←· S = S 1 + S 2 46 | |
| 1 велосипедист | x | 2 | 2 x | |
| 2 велосипедист | х+3 | 2 | 2(х+3) |
Слайд.
Решение:
2х+2(х+3) = 46,
2х+2х+6=46,
4х=40,
х=10
1)10+3=13(км/ч).
Ответ: 10км/ч, 13км/ч.
4. Решение задач у доски на движение навстречу друг другу и на движение в одном направлении.
4.1. Решение нестандартной задачи на движение навстречу друг другу.
Слайд 14.
Из городов A и B навстречу друг другу выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоцилист приехал в B на 2 часа раньше, чем велосипедист приехал в A, а
встретились они через 45 минут после выезда. Сколько часов затратил на
путь из города B в город А велосипедист?
Совместное обсуждение по условию задачи: задача на движение навстречу друг другу.
Обратить внимание на разные единицы времени, 45мин=45/60 =3/4часа.
Расстояние от города А до города В возьмем за 1.
Скорость мотоциклиста 1/ t , скорость велосипедиста 1/( t+2)
Составляем уравнение (1/t+ 1/t+2) 3/4= 1 , отсюда (1/t + 1/ t+2)=4/3, 3(2+2t)=4t2 +8t,
2t2+t - 3=0,
t1=1, t2=-1,5
t2=-1,5<0 – не подходит по смыслу задачи.
1) 1+2=3 часа затратил велосипедист.
Ответ: 3 часа.
4.2. Решение нестандартной задачи на движение в одном направлении.
(ГИА-2014-2015-2016)
Слайд 15.
Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 148 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего в том же направлении параллельно путям со скоростью 4 км/ч, за 10 секунд. Найдите длину поезда в метрах.
Решение
Скорость поезда относительно пешехода равна 148-4 = 144 км/ч.
Вспомним перевод единицы измерения.
1 километр = 1000 метров
1 час = 3600 секунд
144 км/ч = 144·1000/3600 = 40 м/с.
Тогда длина поезда : 40·10 = 400 (метров).
Ответ: 400.
5. Работа в группах ( в парах) – выполнение разноуровневых заданий .
Слайд 16.
Самостоятельная работа в парах или в группах по 4 человека.
Учитель раздает карточки с разноуровневыми заданиями.
Обучающиеся могут сами выбрать задачи по уровню.
Задачи для самостоятельной работы.
1группа: задачи №1, 2
2группа: задачи № 3, 4
3группа: задачи № 5, 6.
1. Первые 360 км автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, следующие 180 км - со скоростью 90км/ч, а затем 200км – со скоростью100км/ч. Найти среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
2. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 50 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на 60 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 2 часа 40 минут позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.
3.Автомобиль ехал 1,5 часа со скоростью 40км/ч, 2,5 часа – со скоростью 60км/ч, а оставшуюся часть пути со скоростью 75км/ч. Определите среднюю скорость автомобиля, если на весь путь он потратил 5часов.
4 . Расстояние между городами A и B равно 435 км. Из города A в город B со скоростью 60км/ч выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города В выехал со скоростью 65км/ч второй автомобиль. На каком расстоянии от города А автомобили встретятся?. Ответ дайте в километрах.
5. Поезд, двигаясь со скоростью 70км/ч, проезжает мимо платформы за 45сек.Определите длину платформы( в метрах), если длина поезда 600м.
6. Велосипедист начал догонять пешехода, когда между ними было 2,1км, и догнал его через 0,25ч. Найдите скорость велосипедиста, если скорость пешехода была в 3,4раза меньше скорости велосипедиста.
7.(дополнительный) Из пункта А в пункт В вышел пешеход со скоростью 5 км/ч. Одновременно с ним из А в В выехал велосипедист со скоростью 10 км/ч. Велосипедист доехал до В, повернул назад и поехал с той же скоростью навстречу пешеходу. Через сколько часов после начала движения они встретятся, если расстояние между А и В равно 30 км?
6. Контроль, самоконтроль и оценивание знаний.
Разбор других способов решений. Решение дополнительного задания.
Учитель заранее подготовил карточки, в которые обучающиеся записывают решения, ответы и сдают свои решения.
Слайд 17-20.
Затем на экране появляются решения задач.
Обучающиеся занимаются самопроверкой, оценкой своих знаний, обсуждают другие способы решений. Делают выводы.
Решения задач для самостоятельной работы.
Слайд.
№1. Первые 360 км автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, следующие 180 км - со скоростью 90км/ч, а затем 200км – со скоростью100км/ч. Найти среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
Среднюю скорость найдем по формуле Vсредняя =Sвесь:tвсего пути
1 ) 360+180+200 =740(км)-весь путь
2 )360:60+180:90+200:100=10(ч) время всего пути
3 )740:10=74км/ч средняя скорость
2. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 50 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на 60 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 2 часа 40 минут позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.
Пусть х км/ч скорость велосипедиста, тогда скорость автомобилиста х+60км/ч . 2ч 40мин. =8/3часа. 50/х – 50/(х+60) = 8/3,
150(х+60)-150х=8х(х+60), 8х2 +480х-9000=0, х2 +60х-1125=0 , х1=15, х2 =-75<0.·
Ответ:15км/ч
№3.Автомобиль ехал 1,5 часа со скоростью 40км/ч, 2,5 часа – со скоростью 60км/ч, а оставшуюся часть пути со скоростью 75км/ч. Определите среднюю скорость автомобиля, если на весь путь он потратил 5часов.
1)40 ·1,5=60(км) –путь за 1, 5часа
2)60·2,5=150(км) путь за 2,5ч
3 ) 5-( 1,5+2,5)=1(ч) оставшееся время
4) 75·1=75(км) оставшийся путь.
5) 60+150+75=285(км) весь путь
6)285:5=57(км/ч) –средняя скорость на всем пути.
4 . Расстояние между городами A и B равно 435 км. Из города A в город B со скоростью 60км/ч выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города В выехал со скоростью 65км/ч второй автомобиль. На каком расстоянии от города А автомобили встретятся?. Ответ дайте в километрах.
1) 60·1=60(км) путь первого автомобилиста за 1час
2) 435-60=375(км) осталось
3) 60+65=125(км/ч) скорость сближения
4) 375:125=3(ч) встретятся
5) 60(1+3)=240(км) от пункта А встретятся.
Ответ: 240км.
№5. Поезд, двигаясь со скоростью 70км/ч, проезжает мимо платформы за 45сек.Определите длину платформы( в метрах), если длина поезда 600м.
45сек.=45:3600= 0,0125(ч), 600м=0, 6км
1)70·0, 0125=0,875(км) прошел поезд за 0,0125часа
2) 0,875-0,6=0,275(км)=275м
Ответ:275метров
№6. Велосипедист начал догонять пешехода, когда между ними было 2,1км, и догнал его через 0,25ч. Найдите скорость велосипедиста, если скорость пешехода была в 3,4раза меньше скорости велосипедиста.
Пусть скорость пешехода х км/ч, тогда скорость велосипедиста 3,4х км/ч.
0,25х км прошел пешеход, пока его не догнал велосипедист.
3,4х·0,25 км проехал велосипедист, пока не догнал пешехода. Составляем уравнение 3,4х·0,25 – 0,25х=2,1, 0,25(3,4х-х) =2,1, 0,6х=2,1,
х =3,5 скорость пешехода.
3,5·3,4=11,9(км/ч) скорость велосипедиста.
Ответ: 11,9км/ч
№7. (дополнительный) Из пункта А в пункт В вышел пешеход со скоростью 5 км/ч. Одновременно с ним из А в В выехал велосипедист со скоростью 10 км/ч. Велосипедист доехал до В, повернул назад и поехал с той же скоростью навстречу пешеходу. Через сколько часов после начала движения они встретятся, если расстояние между А и В равно 30 км?
Слайд.
В задаче речь идет по сути дела о движениинавстречу друг другу с удвоенного расстояния.
1) 30·2 = 60 (км) удвоенное расстояние между А и В;
2) 10 + 5 = 15 (км/ч ) скорость сближения
3) 60:15 = 4 (ч).
Ответ: через 4 часа встретятся.
7. Подведение итогов урока.
7.1 В конце урока были выставлены оценки некоторым обучающимся.
Всем обучающимся будут выставлены оценки по результатам проверки самостоятельной работы.
7.2 Повторим главное при решении задач на движение.
1) Внимательно читать условия задачи, обращать внимание на единицы измерения, в каких единицах требуется указать ответ.
2) Вычислительные ошибки можно найти, сделав проверку в уравнении.
3)Не забывать про арифметические способы решения текстовых задач, они иногда оказываются более красивыми и короткими.
4) Полезно делать схему движения или таблицу.
5)Не путать среднюю скорость и среднее арифметическое чисел.
7.3. На следующем уроке рассматриваем задачи на движение ( задачи из ОГЭ- 2014-2016 г), а так же задачи на движение по реке, ( по кругу, в гору, с горы).
8.Задание на дом (с комментариями и указанием ответа) .
Слайд 22.
Задачи№ 8, 9, 10. Задачи для самостоятельной работы- подготовка к ОГЭ.
№8. Два мотоцикла стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой 16км.Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 15км/ч больше скорости другого? (ответ:32)
№9. Дорога между пунктами A и B состоит из подъёма и спуска, а её длина
равна 8км. Турист прошёл путь из A в B за 5.часов Время его движения на
спуске составило 1час. С какой скоростью турист шёл на спуске, если скорость его
движения на подъёме меньше скорости движения на спуске на 3км/ч ?
(ответ:4 )
№10. Два автобуса выезжают одновременно навстречу друг другу из пункта A и B и в 12 часов дня. Если скорость первого автобуса увеличить в два раза, а
скрость второго оставить прежней, то встреча произойдет на 56 минут раньше. Еслиже увеличить в два раза скорость второго автобуса, оставив прежней скорость первого, то встреча произойдет на 65 мин раньше. Определить время встречи, если
увеличены вдвое скорости обоих автобусов.(ответ:10часов 29 мин.)
Задачи для самостоятельной работы дома ( подготовка к ОГЭ).
№11. Два мотоцикла стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 16 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 15 км/ч больше скорости другого?
Решение
Так как скорость одного из мотоциклистов на 15 км/ч больше скорости другого, то скорость их сближения равна 15 км/ч.
Изначально расстояние между мотоциклистами - полкруга, то есть 8 км.
Получаем: 8/15 (часов) - время, через которое мотоциклисты поравняются в первый раз.
8/15⋅60=32 минуты.
То есть в первый раз мотоциклисты поравняются через 32 минуты.
Ответ: 32.
№12. Первый велосипедист выехал из поселка по шоссе со скоростью 12 км/ч. Через час после него со скоростью 10 км/ч из того же поселка в том же направлении выехал второй велосипедист, а еще через час - третий. Найдите скорость третьего велосипедиста, если сначала он догнал второго, а через два часа после этого догнал первого.
Решение
Пусть x - скорость третьего велосипедиста. И пусть третий велосипедист догнал второго через y часов.
Так как 3 велосипедист догнал 2-ого через y часов, а 2 велосипедист находился в пути на 1 час больше третьего, то составим уравнение:
xy = 10(y+1).
Так как 3 велосипедист догнал 1 через y+2 часов, то составим второе уравнение:
(2+y)x = 12(y+4), откуда x = 12(y+4)/(y+2).
Подставим выражение для x в первое уравнение:
12y(y+4)/(y+2) = 10(y+1),
6y2+24y = 5y2+15y+10,
y2+9y-10 = 0,
y1 = 1, y2 = -10.
Время не может быть отрицательным, поэтому y = 1. Подставим это значение y в выражение для x:
x = 12*5/3 = 20. То есть скорость 3 велосипедиста равна 20 км/ч.
Ответ: 20.
№ 13. Из пункта А в пункт В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого автомобилиста на 9 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью 60 км/ч, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста, если известно, что она больше 40 км/ч.
Решение
Пусть x (км/ч) - скорость первого автомобилиста. Тогда скорость второго автомобилиста на первой половине пути равна (x-9) км/ч.
Положим, что весь путь равен 1. Тогда t1 = 1/x - время, которое затратил на путь 1 автомобилист.
t2 = 0,5/(x-9) + 0,5/60 = 0,5/(x-9) + 1/120 - время, которое затратил на весь путь 2 автомобилист.
Так как автомобилисты прибыли в пункт B одновременно, то составим и решим уравнение:
1/x = 0,5/(x-9) + 1/120,
Умножим все уравнение на общий знаменатель 120x(x-9):
120 (x-9) = 60 x + x(x-9),
120 x - 1080 - 60x - x2+9x = 0,
x2 - 69 x + 1080 = 0,
x1 = 45, x2 = 24.
Так как по условию задачи скорость 1 автомобилиста больше 40 км/ч, то
x = 45.
Ответ : 45.
К следующему уроку.
Рассмотреть задачи на движение по реке.
Решение задач у доски на движение по реке.
Задачи на течение представляют собой все типы задач на движение, только осложненные ещё одной величиной - скоростью течения.
Напомню, что существую два случая.
1 случай – ты плывешь по течению, и тогда ты плывешь с собственной скоростью + скорость течения. Течение как бы помогает тебе двигаться вперед.
2 случай – ты плывешь против течения. Тяжело? Правильно, потому что течение пытается «откинуть» тебя назад. Ты прилагаешь все больше усилий, чтобы проплыть хотя бы 100 метров, соответственно скорость, с которой ты передвигаешься, равна собственная скорость – скорость течения.
Слайд.
Дата добавления: 2021-07-19; просмотров: 79; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!