Первое достаточное условие экстремума.
Пусть функция y=f(x) дифференцируема в 
-окрестности точки 
, а в самой точке непрерывна.
Тогда
· если 
при 
и 
при 
, то - точка максимума;
· если при и при , то - точка минимума.
Другими словами:
· если в точке функция непрерывна и в ней производная меняет знак с плюса на минус, то - точка максимума;
· если в точке функция непрерывна и в ней производная меняет знак с минуса на плюс, то - точка минимума.
Алгоритм нахождения точек экстремума по первому признаку экстремума функции.
· Находим область определения функции.
· Находим производную функции на области определения.
· Определяем нули числителя, нули знаменателя производной и точки области определения, в которых производная не существует (все перечисленные точки называют точками возможного экстремума, проходя через эти точки, производная как раз может изменять свой знак).
· Эти точки разбивают область определения функции на промежутки, в которых производная сохраняет знак. Определяем знаки производной на каждом из интервалов (например, вычисляя значение производной функции в любой точке отдельно взятого интервала).
· Выбираем точки, в которых функция непрерывна и, проходя через которые, производная меняет знак - они и являются точками экстремума.
Пример.
Найти экстремумы функции 
.
Решение.
Областью определения функции является все множество действительных чисел, кроме x=2.
|
|
|
Находим производную:
Нулями числителя являются точки x=-1 и x=5, знаменатель обращается в ноль при x=2. Отмечаем эти точки на числовой оси
Определяем знаки производной на каждом интервале, для этого вычислим значение производной в любой из точек каждого интервала, например, в точках x=-2, x=0, x=3 и x=6.
, следовательно, на интервале 
производная положительна (на рисунке ставим знак плюс над этим интервалом). Аналогично
Поэтому над вторым интервалом ставим минус, над третьим – минус, над четвертым – плюс.
Осталось выбрать точки, в которых функция непрерывна и ее производная меняет знак. Это и есть точки экстремума.
В точке x=-1 функция непрерывна и производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, по первому признаку экстремума, x=-1 – точка максимума, ей соответствуем максимум функции 
.
В точке x=5 функция непрерывна и производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, x=-1 – точка минимума, ей соответствуем минимум функции 
.
Графическая иллюстрация.
Ответ: 
ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ: первый достаточный признак экстремума не требует дифференцируемости функции в самой точке 
.
Практическое задание.
|
|
|
Выполните из учебника https://docs.google.com/viewer?url=https%3A%2F%2Fs.11klasov.ru%2Findex.php%3Fdo%3Ddownload%26id%3D14644%26viewonline%3D1 следующие задания:
a) № 30.14 (а,г) стр.97;№30.15 (а, г) стр.97.
b) №32.6 стр.103.
Дата добавления: 2021-07-19; просмотров: 62; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!